De la fonction à la dérivée : la covariation à la rescousse!

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1 De la fonction à la dérivée : la covariation à la rescousse!
Par Valériane Passaro GRMS 2014 Faculté des études supérieures et postdoctorales

2 Déclencheur de ma réflexion : MANQUE DE TEMPS
Introduction Déclencheur de ma réflexion : MANQUE DE TEMPS Pour préparer les élèves à aborder le calcul différentiel au collégial Pourquoi enseigne-t-on l’étude des fonctions au secondaire? Qu’est-ce que je dois absolument faire avec mes élèves lors de l’étude des fonctions? Il y a une dizaine d’années alors que j’enseignais en 536, j’étais une enseignante débutante qui voulait bien faire les choses et je planifiais pour la première fois l’enseignement des fonctions…je me suis vite rendue compte que je n’arriverais pas à tout faire, je manquais de temps. Le calcul différentiel est la suite logique de l’étude des fonctions. Enseignante au secondaire qui se posait beaucoup de questions

3 La covariation peut être travaillée dès le secondaire.
Ce que disent certains chercheurs sur l’enseignement du calcul différentiel Ça veut dire quoi « travailler sur la covariation »? LA COVARIATION PERMET DE DONNER UN SENS À LA NOTION DE DÉRIVÉE Pour comprendre le calcul différentiel il faut avoir travaillé sur la covariation. La covariation peut être travaillée dès le secondaire. L’enseignement du calcul différentiel est assez semblable à celui d’il y a 50 ans. Ça n’a pas beaucoup évolué. C’est encore très symbolique et on remarque toujours que les élèves ont de la difficulté avec le symbolisme. Travail de la covariation (lancé par Claude Janvier dans les années 90 puis développé par Carlson dans les années 2000)

4 CO VARIATION La covariation
deux grandeurs varient de façon concomitante Étude covariationnelle d’une fonction: étude des variations concomitantes des deux grandeurs mises en relation Point de vue mathématique, 1re année du 2e cycle

5 L’étude des variations concomitantes
Quand le volume augmente, le niveau augmente aussi. Plus le volume augmente, plus le niveau augmente. … On s’intéresse au niveau de l’eau en fonction du volume dans le pichet ci-contre. Q1 : Décrivez comment réagit le niveau de l’eau à mesure que le volume d’eau augmente dans le pichet.

6 L’étude des variations concomitantes
Q2 : Le niveau de l’eau varie-t-il toujours de la même façon à mesure que le volume d’eau augmente dans le pichet ? Oui! Le niveau augmente toujours. Non! Le niveau augmente mais il n’augmente pas toujours « pareil ». Variation : on sait qu’on une fonction croissante mais encore…

7 Comment le niveau augmente-il?
Quel est le comportement de l’augmentation du niveau de l’eau au fur et à mesure que le volume augmente? Étude covariationnelle d’une fonction: étude du comportement de l’augmentation (ou de la diminution) de la grandeur dépendante alors que la grandeur indépendante augmente Pour moi c’est quand on essaie de répondre à ces questions qu’on entre dans l’étude de la covariation. Pour certains ce questionnement=étude de la dérivée (c’est ça mais…). MAIS on n’est pas obligé de définir la notion de dérivée pour apporter des réponses à ces questions. On peut travailler à développer une intuition de la dérivée, à donner un sens avant de définir.

8 Q3 : Le verre A, rempli jusqu’à la marque, est utilisé pour remplir le pichet.
a) Pour chaque verre ajouté, l’accroissement du niveau de l’eau est-il le même ? b) À mesure que le pichet se remplit, les accroissements du niveau de l’eau sont-ils : constants, de plus en plus petits, de plus en plus grands ou autrement ? Modélisation, manipulation, prise de données non numériques

9 Les accroissements du niveau de l’eau sont constants.
L’augmentation du niveau de l’eau est constante. Les accroissements du niveau de l’eau sont de plus en plus grands. L’augmentation du niveau de l’eau augmente. Les accroissements du niveau de l’eau sont de plus en plus petits. L’augmentation du niveau de l’eau diminue. J’entame alors la parenthèse sur l’étude des accroissements.

10 L’étude des accroissements et la modélisation graphique
Traçage à main levée de l’esquisse du graphique Construction du graphique par report des accroissements DÉBUT DE LA PARENTHÈSE On reste au niveau de la quantification non-numérique.

11 L’étude des accroissements et l’interprétation graphique

12 Étude covariationnelle d’une fonction c’est:
l’étude du comportement de l’augmentation (ou de la diminution) de la grandeur dépendante alors que la grandeur indépendante augmente PAR L’INTERMÉDIAIRE DE l’étude des accroissements de la grandeur dépendante lorsque les accroissements de la grandeur indépendante sont constants

13 L’étude des accroissements et la fonction dérivée
Une échelle est appuyée contre un mur dont la hauteur est égale à la longueur de l’échelle. On s’intéresse à la distance entre le haut de l’échelle et le haut du mur (distance du haut) et à la distance entre le bas de l’échelle et le bas du mur (distance du bas). Q1 : Décrivez comment réagit la distance du haut à mesure que la distance du bas augmente. Q2 : La distance du haut varie-t-elle toujours de la même façon à mesure que la distance du bas augmente ?

14 Pour des accroissements constants de la distance du bas, les accroissements de la distance du haut sont de plus en plus grands. L’augmentation de la distance du haut augmente.

15 À mesure que le temps passe, la vitesse du haut de l’échelle augmente
Le bas de l’échelle est fixé sur un mobile qui se déplace à vitesse constante. A) On s’intéresse à la distance entre le haut de l’échelle et le haut du mur (distance du haut) et au temps qui passe. Q1 : Décrivez comment se comporte la distance du haut à mesure que le temps passe. B) On s’intéresse à la vitesse à laquelle se déplace le haut de l’échelle et au temps qui passe. Q1 : Décrivez comment se comporte la vitesse à laquelle se déplace le haut de l’échelle à mesure que le temps passe. À mesure que le temps passe, la distance du haut augmente de plus en plus À mesure que le temps passe, la vitesse du haut de l’échelle augmente Les laisser travailler 10 minutes. On connait le comportement de f puisque c’est le même que la fonction vue précédemment (distance du haut en fonction de distance du bas). Le comportement de À mesure que le temps passe, l’augmentation de la distance du haut augmente

16 𝑓:𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 ℎ𝑎𝑢𝑡 de l’échelle 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑑𝑢 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠
Le bas de l’échelle est fixé sur un mobile qui se déplace à vitesse constante. A) On s’intéresse à la distance entre le haut de l’échelle et le haut du mur (distance du haut) et au temps qui passe. Q1 : Décrivez comment se comporte la distance du haut à mesure que le temps passe. B) On s’intéresse à la vitesse à laquelle se déplace le haut de l’échelle et au temps qui passe. Q1 : Décrivez comment se comporte la vitesse à laquelle se déplace le haut de l’échelle à mesure que le temps passe. 𝑓:𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 ℎ𝑎𝑢𝑡 de l’échelle 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑑𝑢 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑓 ′ :𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 ℎ𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑒 𝑙 ′ é𝑐ℎ𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑑𝑢 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 Les laisser travailler 10 minutes. On connait le comportement de f puisque c’est le même que la fonction vue précédemment (distance du haut en fonction de distance du bas). Le comportement de

17 Lien entre f et f’ (en contexte)
Le comportement de la dérivée de f est le même que celui de l’augmentation de f. Vitesse du haut de l’échelle= 𝑎𝑐𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑢 ℎ𝑎𝑢𝑡 𝑎𝑐𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 La vitesse moyenne se comporte comme l’augmentation de la distance du haut. La vitesse instantanée se comporte comme la vitesse moyenne lorsqu’on prend des accroissements très petits du temps. Vitesse instantanée=dérivée Comme l’accroissement de temps est constant la vitesse se comporte de la même manière que l’accroissement.

18 Lien entre f et f’ (sans contexte)
𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛= 𝑎𝑐𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑢 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 = ∆ 𝑦 ∆ 𝑥 Taux de variation moyen entre x1 et x2 ∆ 𝑦 1 ∆ 𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 Dérivée en un point = taux de variation instantané en ce point Tout le travail sur les accroissements est celui du taux de variation. Je fais un retour sur des choses qu’on connait mais qu’on peut maintenant voir autrement grâce aux accroissements. ℎ ′ 𝑥 1 = lim ∆ 𝑥 →0 ∆ 𝑦 1 ∆ 𝑥

19 Travailler la covariation
Synthèse Travailler la covariation Comment se comporte l’augmentation (ou la diminution) de la grandeur dépendante? Faire l’étude du comportement des accroissements de la grandeur dépendante alors que les accroissements de la grandeur indépendante sont constants

20 Démarche suggérée Prendre une situation visualisable, manipulable (distance, volume, longueurs etc.) Suggérer de regarder les accroissements pour répondre à la question « comment ça augmente ou diminue? » FAIRE UNE ÉTUDE QUALITATIVE D’ABORD Faire l’étude de trois fonctions (distance en fonction de…, distance en fonction du temps puis vitesse en fonction du temps) pour faciliter le passage à la notion de dérivée DÉVELOPPER UNE NOTION INTUITIVE SANS NOMMER OU DÉFINIR J’en ai donné deux exemples. La question est importante parce que c’est elle qui créé le besoin! Je ne veux pas que l’étude des accroissements deviennent une tâche supplémentaire. Ce n’est pas quelque chose en plus c’est une façon de faire différente.

21 À considérer Les élèves rencontrent des difficultés avec les notions de fonction et de dérivée. L’étude des accroissements: Donne un sens au taux de variation Permet la coordination graphique-situation, graphique-équation, table de valeurs-équation etc. Est à la base de la notion de dérivée Programme MELS : - Analyse de situations • Observation, interprétation et description de différentes situations • Représentation d’une situation à l’aide d’une fonction réelle : verbalement, algébriquement, graphiquement et à l’aide d’une table de valeurs - Observation de régularités - Description des propriétés de la fonction …

22 Questions? Merci de votre attention!