RESOLUTION DE PROBLEMES ET calcul au cycle 2

Présentation au sujet: "RESOLUTION DE PROBLEMES ET calcul au cycle 2"— Transcription de la présentation:

1 RESOLUTION DE PROBLEMES ET calcul au cycle 2
Octobre Roland Charnay

2 L’enseignement du calcul, une question complexe
Quart d’heure de calcul mental Soustraction posée ou non au CE1 Souvent ramenée à celle de la maîtrise du calcul mental et des techniques opératoires (cf. débats récents) Mais qui englobe d’autres aspects… Octobre Roland Charnay

3 Maîtriser une opération
Problèmes Procédures, techniques Résultats à mémoriser, automatiser à savoir élaborer Langage, évocation analogique verbal symbolique Justifications Propriétés Octobre Roland Charnay

4 Exemple du triple code : petits nombres
cinq 5 Roland Charnay

5 Exemple du triple code : numération décimale
cent soixante-treize 173 Roland Charnay

6 Exemple du triple code multiplication
Trois fois quatre Quatre multiplié par trois Produit de trois par quatre 3 x 4 4 x 3 Roland Charnay

7 Qu'est-ce que savoir calculer ?
traduction d’une situation en termes mathématiques Interprétation des résultats Etre capable de rendre des situations calculables de façon automatisée ou raisonnée pour aboutir à un résultat exact ou approché Etre capable de traiter des calculs, soi-même Calculatrice Tableur au collège Etre capable d'organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine Octobre Roland Charnay

8 Plan Les problèmes arithmétiques Les moyens de calcul
Octobre Roland Charnay

9 Les problèmes arithmétiques
Difficultés Modalités de résolution Pistes de travail Octobre Roland Charnay

10 Exemple au CE1 (d’après Cap Maths)
Combien y a-t-il d’enfants sur le bateau ? Octobre Roland Charnay

11 Ce qui peut faire difficulté
Prendre les informations Lire Comprendre, interpréter Se construire une représentation mentale de la situation Raisonner Faire appel au sens des concepts Imaginer une résolution possible Gérer des calculs, une schématisation… La mettre en œuvre, la mener à son terme Trouver la réponse à partir des traitements Interpréter les traitements réalisés Selon une forme adaptée ou demandée Communiquer la réponse Octobre Roland Charnay

12 Résoudre un problème Résoudre un problème
Mais aussi… l’idée que les élèves se font de l’activité « Résoudre un problème » C’est trouver la bonne opération Résoudre un problème C’est utiliser une opération étudiée récemment Résoudre un problème C’est chercher des mots « qui aident » dans l’énoncé C’est inventer, explorer… Octobre Roland Charnay

13 Schéma d’analyse sommaire des sources de difficulté
Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question) sur le contexte sur les concepts mathématiques (sens, expertise pour certains problèmes) raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Roland Charnay

14 A la bonne place (éva début CE2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Roland Charnay

15 Quelles résolutions possibles (le bateau)
                                                            A                                    B = = 60 = 35 C 2 5 + . . 6 0 D 60 – 25 = 35 E Octobre Roland Charnay

16 Différentes modalités de résolution
Résolution dans la réalité Résolution par simulation de la réalité, plus ou moins schématisée (par des objets, par un dessin, par des objets « symboliques » : traits, croix…), puis recours au comptage Résolution par une série de calculs proches de « l’action » Résolution utilisant une opération connue (ou plusieurs) Octobre Roland Charnay

17 Quelle représentation de la tâche ?
Trouver la bonne opération Statut du brouillon Acceptation de modalités différentes de résolution Exploitation de la diversité des modalités Elaborer un moyen de répondre à la question Octobre Roland Charnay

18 Aider à la représentation de la situation
L’énoncé écrit n’est qu’une façon de présenter un problème L’image est en est une autre La simulation une autre encore Le problème posé à partir d’une expérience doit prévaloir au cycle 2 Au cycle 2, l’abus de travail sur fiches nuit gravement aux apprentissages mathématiques Octobre Roland Charnay

19 Schéma pour des situations d’apprentissage
Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Octobre Roland Charnay

20 Difficultés pour identifier les opérations pertinentes
L’opération en jeu n’est pas toujours un bon critère Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ? 21 % de réponses exactes (entrée 6e) Octobre Roland Charnay

21 Difficultés pour identifier les opérations pertinentes
La concordance avec le sens « primitif » du concept intervient fortement La soustraction pour « le bateau » est un cas de discordance D’où la nécessité d’apprendre que la résolution « par soustraction » est équivalente à la résolution « par complément » La taille des nombres intervient également Soustraire 28 de 31 est plus difficile que « Combien ajouter à 28 pour avoir 31 » ? Octobre Roland Charnay

22 Exemple : 100 passagers, 5 adultes
Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemple : 100 passagers, 5 adultes Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale) Octobre Roland Charnay

23 Quels problèmes au cycle 2 ?
La plupart des problèmes qui seront « un jour » résolus par addition, soustraction, multiplication ou division peuvent être proposés tout au long du cycle 2 Ils sont d’abord résolus par des modes de résolution personnels Puis, par des modes de résolution experts, lorsque ceux-ci sont enseignés au cycle 2 ou au cycle 3 Octobre Roland Charnay

24 Les moyens de calcul Différents moyens Etat des lieux
Pistes de travail Octobre Roland Charnay

25 Les moyens de calcul Résultat exact Résultat approché
CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental Résultats Procédures Procédures construites choix des arrondis Calcul écrit Techniques opératoires Calcul instrumenté Calculs usuels Ex : passer de 23 à 100 avec x2 et +1 Octobre Roland Charnay

26 Quelques résultats à l’entrée au CE2
24 + 6 83 % 79 % 32 + 9 77 % 10 x 9 68 % 64 % 21 x 2 55 % 52 % 49 % 43 - 5 Octobre Roland Charnay

27 Quelques repères pour les calculs additifs et soustractifs (calcul mental)
Octobre Roland Charnay

28 Trois catégories de procédures
8 + 4 Appui sur l’aspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons, dessins…) Appui sur l’aspect ordinal File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2 Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé Roland Charnay

29 Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres
Le subitizing (jusqu’à 3 ou 4) Roland Charnay

30 1 2 3 4 5 6 7 Les relations avec 5 et 10 Doigts Avec la constellation
Passage à 7, à 3… Idem avec 10 (comme 2 fois 5) Passage de 7 à 10 Passage de 10 à 12 File numérique Roland Charnay

31 Les relations avec les doubles
Roland Charnay

32 Comment aider les élèves
à mémoriser les tables ? Roland Charnay

33 Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ? Exemple avec 6 +7
6 + 7 et sont égaux à 13 Pour aller de 6 à 13, il y a 7 Pour aller de 7 à 13, il y a 6 13 – 6 = 7 et 13 – 7 = 6 13 se décompose, entre autres, en et en 7 + 6 Roland Charnay

34 Addition et multiplication Des conditions différentes
Mémorisation complète Mémorisation partielle et reconstruction instantanée Multiplication Roland Charnay

35 Des points de repère pour la mémorisation
Pour le domaine additif Aperçu pour le domaine muktiplicatif Roland Charnay

36 Comprendre aide à mémoriser (référence, contrôle)
Addition sous le double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de quantités Ordinal : avancer sur une piste numérotée Multiplication sous un triple aspect Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de quantités Addition itérée (fois) Possibilité de construire ou de retrouver des résultats inconnus ou oubliés Roland Charnay

37 Répertorier et organiser aide à les mémoriser
Rassembler des résultats en vrac (affiche) Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent Roland Charnay

38 Organisation sous forme de listes (CP, CE1)
5 6 7 8 … 0 + 5 1 + 4 2 + 3 3 + 2 4 + 1 5 + 0 0 + 6 1 + 5 2 + 4 3 + 3 4 + 2 5 + 1 6 + 0 Roland Charnay

39 Organisation sous forme de tableau(à partir du CE2)
3 4 5 6 8 10 9 12 15 16 20 25 Roland Charnay

40 Points d’appui pour la mémorisation
Commutativité S’appuyer sur des régularités ou des propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou le précédent De 3 en 3 dans la table de 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5 S’appuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10… Voisins Roland Charnay

41 Etapes de la mémorisation (par zones numériques pour l’addition)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Roland Charnay

42 Etapes de la mémorisation (par tables pour la multiplication)
Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités 4 x 9 = = 9 Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !) - 1 Roland Charnay

43 Autres conditions S’entraîner, répéter (jeux de calcul…)
Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à apprendre Lien entre conditions de mémorisation et possibilités de « rappel » éviter la récitation des tables Interroger sur sommes, différences, compléments, décompositions Roland Charnay

44 Le cas du calcul réfléchi
Roland Charnay

45 Le calcul réfléchi se caractérise par…
La diversité des procédures Exemple de  = = 41  =  = = 41  = – 1 = 41  = = 41 Etc. Octobre Roland Charnay

46 Le calcul réfléchi se caractérise par…
La recherche d’une stratégie Réfléchir un calcul, c'est raisonner pour le remplacer par un calcul souvent plus long, mais plus simple, ce qui nécessite l'appui sur des connaissances. Octobre Roland Charnay

47 Exemple : calcul d'une différence
100 – 3 Remplacé par "reculer de 3" (sens primitif de la soustraction) Utilisation de 10 – 3 (implicite : – 3) 100 – 97 Remplacé par 97 pour aller à 100 (Equivalence complément – soustraction) Octobre Roland Charnay

48 Le calcul réfléchi se caractérise par…
Le fait qu'aucune procédure n'est à privilégier : le calcul réfléchi est un calcul personnel L'importance de l'explicitation et de l'échange Octobre Roland Charnay

49 L'apprentissage du calcul multiplicatif
Différents langages Le répertoire Octobre Roland Charnay

50 Au départ : même démarche Des problèmes vers le calcul
Problème des tours (Cap maths, CE1) Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez toutes les possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes. Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles. .. Octobre Roland Charnay

51 Des procédures variées
Recensement des réponses 3 tours de 10 cubes tours de 6 cubes 10 tours de 3 cubes 15 tours de 2 cubes… Expression des procédures et contrôle des réponses Dessin Comptage de n en n Ecriture additive Expression avec « fois » Octobre Roland Charnay

52 L'écriture 3 x 10 est rattachée…
À des réalisations "concrètes" (tours) À une expression orale significative avec le mot "fois", déjà installée Au comptage de 10 en 10 ou de 3 en 3 A l'addition répétée Octobre Roland Charnay