GOL503 - TP Évaluation de la performance (C) Forme duale et les « Écarts » DEA Version 2011.

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1 GOL503 - TP Évaluation de la performance (C) Forme duale et les « Écarts » DEA Version 2011

2 Forme duale du modèle CCR Rappel Le contexte danalyse prend en compte:Le contexte danalyse prend en compte: o n unités à analyser (entreprises, filiales, succursales, etc.); o Les n unités oeuvrent dans le même secteur dactivités; o Chaque unité possède m entrées et s sorties. 2 Note: Dans cette présentation et dans les notes de cours, la variable représente lunité sous étude ou sous analyse. Ainsi, x i signifie la i-ième entrée de lunité sous étude et que peut prendre la valeur de 1 à n.

3 Forme duale du modèle CCR Rappel Le modèle CCR de la méthode DEALe modèle CCR de la méthode DEA o Le modèle déjà rencontré est h est la fonction dobjectif de la maximisation pour lunité sous étude (1 n); U r et v r sont des pondérations à trouver afin de maximiser h ; y r est la r-ième sortie de lunité, x i est la i-ième entrée de lunité ; 3 Note: Il sagit en fait de la forme primale du modèle CCR.

4 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence La forme duale conduit à la même solution que la primaleLa forme duale conduit à la même solution que la primale o Voici la forme duale du modèle CCR est la fonction dobjectif à minimiser; est la fonction dobjectif à minimiser; j est le facteur de pondération pour lunité j; j est le facteur de pondération pour lunité j; o Une différence majeure entre la forme duale et la forme primale est lutilisation de facteurs de pondération. 4 Note: Il y a n facteurs pondération au lieu de m + s facteurs comme cétait le cas dans la forme primale..

5 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Avantage de la forme duale du modèle CCRAvantage de la forme duale du modèle CCR o On peut déterminer aisément lappartenance des unités à des ensembles de référence. En effet les contraintes stipulent que, la somme pondérée des entrées des autres unités doit être inférieure ou égale à celle de lunité sous étude; la somme pondérée des entrées des autres unités doit être inférieure ou égale à celle de lunité sous étude; De plus, la somme pondérée des sorties des autres unités doit être supérieure ou égale à celle de lunité sous étude; De plus, la somme pondérée des sorties des autres unités doit être supérieure ou égale à celle de lunité sous étude; o Donc, une unité j fait partie de lensemble de référence de lunité sous étude si et seulement si j et que j 0. 5 Note: Mon ensemble de référence contient les unités qui sont plus efficaces que moi.

6 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Exemple numérique – 2 entrées, 1 sortieExemple numérique – 2 entrées, 1 sortie 6 SortieEntrées SuccursaleLocation film/videoHeureSurface B1100020300 B2100030200 B3100040100 B4100020200 B5100010400 B6100015350 B7100031250 B8100050100 B9100045100 B10200080200 B11200018750 B12200045410

7 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Forme duale de lexempleForme duale de lexemple À laide des valeurs du tableau précédent, lefficacité de la succursale B1 est alors donnée par la solution du système déquations suivant: À laide des valeurs du tableau précédent, lefficacité de la succursale B1 est alors donnée par la solution du système déquations suivant: 7

8 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Obtenir lefficicaté de lunité B1Obtenir lefficicaté de lunité B1 o Or, la solution de la forme duale implique la minimisation de la fonction dobjectif ; o Malheureusement nest pas explicitée directement; o Par contre, apparaît implicitement dans les contraintes du problème: o Il est donc possible de minimiser x 1 ou x 2 car x 1 et x 2 sont des constantes. 8 Note: Même si la fonction dobjectif est une fonction implicite, on peut toujours loptimiser.

9 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Obtenir lefficicaté de lunité B1Obtenir lefficicaté de lunité B1 o Utilisons Excel pour faire les calculs… 9 Note: Dans cet exemple, nous allons choisir theta * entrée 1 comme cible.

10 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Obtenir lefficicaté de lunité B1Obtenir lefficicaté de lunité B1 o Les paramètres du solveur sont: 10

11 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Obtenir lefficicaté de lunité B1Obtenir lefficicaté de lunité B1 o Voici le résultat 11 Note: B1 a comme ensemble de référence B4 et B11.

12 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence Obtenir lefficicaté de lunité B1Obtenir lefficicaté de lunité B1 12 SuccursaleEfficacité Ensemble de reference (valeur de ) B10,838B4 (0,706), B11 (0,147) B20,857B4 (0,7143), B10 (0,1429) B31 B41 B50,927B4 (0,0244), B11 (0,4878) B60,880B4 (0,3822), B11 (0,3089) B70,740B4 (0,8519), B10 (0,0741) B81 B91 B101 B111 B120,945B4 (1.8740), B10 (0,0630)

13 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence ConclusionConclusion B3, B4, B8, B9, B10 et B11 sont des unités efficaces;B3, B4, B8, B9, B10 et B11 sont des unités efficaces; Ensemble de références pour :Ensemble de références pour : o B1 B4, B11 o B2 B3, B10 o B5 B4, B11 o B6 B4, B11 o B7 B4, B10 o B12 B4, B10 13

14 Forme duale du modèle CCR Forme duale et les ensembles de référence En terminant…En terminant… 14 Contrainte primale Variable duale j 0, j = 1,2,…, n Variable primale Contrainte duale v i 0, i =1, 2,…, m u r 0, r =1, 2,…, s

15 Prochaine section – les écarts DEA

16 Les « écarts » du DEA Comment placer une unité inefficace sur la frontière defficacité Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décartReformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décart o Encore une fois utilisons la méthode doptimisation LP e - et e + sont des variables décart des entrées et des sorties; e - et e + sont des variables décart des entrées et des sorties; * est lefficacité relative des unités sous études; * est lefficacité relative des unités sous études; j sont les pondérations des unités sous études; j sont les pondérations des unités sous études; x ij est lentrée i de lunité j; x ij est lentrée i de lunité j; y rj est la sortie r de lunité j. y rj est la sortie r de lunité j. 16

17 Les « écarts » du DEA Comment placer une unité inefficace sur la frontière defficacité Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décartReformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décart o La solution du système déquation (lobtention des e - et e + les écarts des entrées et des sorties) donne pour lunité sous étude... La diminution (ou le maintien) des entrées pour atteindre lefficacité La diminution (ou le maintien) des entrées pour atteindre lefficacitéET/OU La diminution (ou le maintien) des sorties pour atteindre lefficacité. La diminution (ou le maintien) des sorties pour atteindre lefficacité. PAR RAPPORT À SON ENSEMBLE DE RÉFÉRENCE PAR RAPPORT À SON ENSEMBLE DE RÉFÉRENCE 17 Leffort « en trop » donné aux entrées Leffort « en trop » produit aux sorties Note: Dans le système, seules les unités dans un ensemble de référence possèdent un 0.

18 Les « écarts » du DEA Comment placer une unité inefficace sur la frontière defficacité Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décartReformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décart o Reprenons lexemple numérique sur les succursales de location vidéo. Trouvons les écarts pour lunité B5 Trouvons les écarts pour lunité B5 Son ensemble de référence est B4 ( 4 = 0,0244), B11 ( 11 = 0,4878) alors Maximiser Sujet à des contraintes: 20 1 + 30 2 + … + 45 12 + e - heure = 0,927 10 300 1 + 200 2 + … + 410 12 + e - surface = 0,927 400 1000 1 + 1000 2 + … + 2000 12 + e + location = 1000 1, 3, … 12 0 1, 3, … 12 0 18 SuccursaleEfficacité Ensemble de reference (valeur de ) B41 B50,927B4 (0,0244), B11 (0,4878) B60,880B4 (0,3822), B11 (0,3089) Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

19 Les « écarts » du DEA Comment placer une unité inefficace sur la frontière defficacité Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décartReformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décart o Reprenons lexemple numérique sur les succursales de location vidéo. Solution pour lunité B5 Solution pour lunité B5 Pour lunité B5, seules B4 et B11 ont des valeurs de 0 Donc, 20 4 + 18 11 + e - heure = 9,27 200 4 + 750 11 + e - surface = 370,8 1000 4 + 2000 11 + e + location = 1000 19 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

20 Les « écarts » du DEA Comment placer une unité inefficace sur la frontière defficacité Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décartReformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décart o Reprenons lexemple numérique sur les succursales de location vidéo. Solution pour lunité B5 Solution pour lunité B5 Remplacer la valeur des unités B4, B5 et B11 donne 20 (0,0244) + 18 (0,4878) + e - heure = 9,27 200 (0,0244) + 750 (0,4878) + e - surface = 370,8 1000 (0,0244) + 2000 (0,4878) + e + location = 1000 20 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006. Système à 3 équations et 3 inconnus e - heure = 0,0016 e - surface = 0,07 e + location = 0 e - heure = 0,0016 e - surface = 0,07 e + location = 0

21 Les « écarts » du DEA Comment placer une unité inefficace sur la frontière defficacité Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décartReformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables décart o Reprenons lexemple numérique sur les succursales de location vidéo. Interprétation des écarts Interprétation des écarts e - heure = 0,0016 –Lunité B5 a dépensé 0,0016 heures (moins 0,1 minutes) de plus que les unités se trouvant dans son ensemble de référence; –Diminuer de 0,0016 heures pour atteindre lefficacité de B4 et/ou B11. e - surface = 0,07 –Lunité B5 a utilisé 0,07 m 2 de plus que les unités se trouvant dans son ensemble de référence. 21 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006. e + location = 0 donc maintenir le niveau de la sortie (location des fils/vidéos)

22 DEA Retour vers le concept defficacité Deux types possiblesDeux types possibles o Efficacité DEA Pleine Une unité est qualifiée defficacité pleine si elle Une unité est qualifiée defficacité pleine si elle Possède = 1 et toutes ses variables décart e -, e + à zéro Possède = 1 et toutes ses variables décart e -, e + à zéro o Efficacité DEA faible Une unité est qualifiée defficacité faible si elle Une unité est qualifiée defficacité faible si elle Possède = 1 et un sous-ensemble de ses variables décart e -, e + zéro Possède = 1 et un sous-ensemble de ses variables décart e -, e + zéro 22 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

23 DEA Retour vers le concept defficacité Remarques sur les unités avec efficacité faibleRemarques sur les unités avec efficacité faible o Ces unités, lorsque éliminées de lanalyse, naurons pas dinfluence sur les autres unités Elles ninfluencent pas lefficacité des autres unités. Elles ninfluencent pas lefficacité des autres unités. o Éviter, dans la mesure du possible, de mettre les unités avec efficacité faible dans un ensemble de référence Raison: voir la première remarque. Raison: voir la première remarque. o Ces unités si elles sont présentes exigent une analyse approfondie à laide dautres méthodes que celle du DEA. Pourquoi? Pourquoi? 23 Source: Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.

24 DEA La technique Deux grandes étapesDeux grandes étapes o Calculer lefficacité relative des unités et identifier les ensembles de références; o Calculer les écarts afin didentifier le chemin vers lefficacité des unités inefficace. 24 Cest simple nest-ce pas?