Espérance mathématique

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1 Espérance mathématique
et Jeu équitable

2 Espérance mathématique
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire est la valeur de cette variable aléatoire multipliée par sa probabilité d’apparition. Exemple: Le premier prix d’une loterie est de $. La probabilité de gagner est 1/1 000. La valeur espérée de ce billet est donc : 1 X $ = 10 $ 1 000 Dans le cas d’un jeu avec une probabilité de gain et une probabilité de perte, l’espérance mathématique se nomme plus souvent espérance de gain. Cette espérance de gain est un indicateur de ce qu’un joueur pourrait gagner ou perdre en moyenne s’il jouait un grand nombre de fois.

3 Espérance de gain L’espérance de gain se calcule à l’aide de la formule suivante: Espérance de gain = P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = Probabilité de gagner ( gain – mise initiale) mise initiale Probabilité de perdre Reprenons l’exemple de la loterie: Le premier prix d’une loterie est de $. La probabilité de gagner est 1/1 000, le billet coûte 20 $. P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = 1 000 1 999 1 000 X 9 980 $ - X 20 $ = Probabilité de gagner ( gain – mise initiale) ( $ – 20 $ ) Probabilité de perdre mise initiale 9, 98 $ - 19,98 $ = - 10 $ Ce jeu est donc désavantageux pour le joueur !

4 Espérance de gain L’espérance de gain se calcule à l’aide de la formule suivante: Espérance de gain = P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = Reprenons l’exemple de la loterie: Le premier prix d’une loterie est de $. La probabilité de gagner est 1/1 000, le billet coûte 5 $. P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = 1 000 1 999 1 000 X 9 995 $ - X 5 $ = ( gain – mise initiale) ( $ – 5 $ ) Probabilité de gagner Probabilité de perdre mise initiale 9, 995 $ - 4,995 $ = 5 $ Ce jeu est donc avantageux pour le joueur !

5 Espérance de gain Exemple 1 : Dans un jeu de roulette, une personne ayant misé 10 $ sur un numéro gagnant reçoit 35 fois sa mise en plus de se voir remettre sa mise initiale. Les cases de la roulette sont numérotées de 0 à 36. Espérance de gain = P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = 37 1 37 36 x 350 - x 10 = On n’a pas, ici, à soustraire la mise puisqu’on nous la redonne. 35 fois la mise donc 35 X 10 $ De 0 à 36, donc 37 possibilités. 37 -10 350 37 - 37 360 = ≈ - 0,27 $ Si la personne jouait plusieurs fois, elle perdrait en moyenne 0,27 $.

6 Espérance de gain Exemple 2 : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant d’argent indiqué par la pointe lorsque la roue s’immobilise. Remarque: Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur ; la probabilité de perdre est donc nulle. La mise est de 10$ Espérance de gain = P(gain) x gain net = 2 1 1 4 5$ 15$ 25$ 20$ X 5 + X 10 + X 15 + X - 5 = 8 8 8 8 8 10 8 10 8 15 8 20 + + - = Une chance sur 8 de gagner 10$ car je perds ma mise (10$). Une chance sur 8 de gagner 15$ car je perds ma mise (10$). 4 chances sur 8 de perdre 5$ car je perds ma mise (10$). 2 chances sur 8 de gagner 5$ car je perds ma mise (10$). 8 15 ≈ 1,88 $ Espérance de gain positive; avantageux pour le joueur.

7 Espérance de gain Une espérance de gain négative indique qu’un joueur est perdant à long terme. Contrairement, une espérance de gain positive avantage un joueur à long terme. Nous dirons qu’un jeu est équitable si l’espérance de gain est égale à 0.

8 Jeu équitable Exemple : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant d’argent indiqué par la pointe lorsque la roue s’immobilise. Remarque: Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur; la probabilité de perdre est donc nulle. La mise est de 20$ Espérance de gain = 5$ 10$ 60$ 4 1 4 2 4 1 X ( 60 – 20 ) + X ( 5 – 20 ) + X ( 10 – 20 ) = 4 1 X 40 4 2 X -15 4 1 X - 10 + + = 4 40 4 -30 4 -10 + + = Le jeu est donc équitable !

9 Recherche d’un jeu équitable
Lors d’un tirage, un billet coûte 15 $. Les prix à gagner sont: un voyage au Mexique d’une valeur de $ avec une chance sur 500 de gagner et un écran à plasma d’une valeur de $ avec 3 chances sur 500 de gagner. Quelle est l’espérance de gain pour ce tirage ? P(gain) x gain net P(perdre) x perte = 1 500 3 500 496 500 X 2 485 + X 985 - X 15 = 2 485 500 2 955 500 7 440 500 500 + - = = - 4 $ Combien devrait coûter un billet afin que le tirage soit équitable ? 15 $ - 4 $ = 11 $

10 Preuve Si le billet coûte 11 $. Les prix à gagner sont: un voyage au Mexique d’une valeur de $ avec une chance sur 500 de gagner et un écran à plasma d’une valeur de $ avec 3 chances sur 500 de gagner. Quelle est l’espérance de gain pour ce tirage ? P(gain) x gain net - P(perdre) x perte = 1 500 3 500 496 500 X 2 489 + X 989 - X 11 = 2 489 500 2 967 500 5 456 500 500 + - = = 0 $

11 x x x x x Recherche d’un jeu équitable
Exemple : Dans un jeu de roulette, une personne tourne la roue et gagne le montant d’argent indiqué par la pointe lorsque la roue s’immobilise. Si ce jeu est équitable, quel est le dernier montant sur la roulette ? Remarque: Dans ce jeu-ci, il est impossible de ne pas toucher un secteur; la probabilité de perdre est donc nulle. La mise est de 15$ 5$ 20$ 10$ Espérance de gain = 0 25$ x 4 1 4 1 4 1 4 1 X -10 + X -5 + X 5 + X x = Car le jeu est équitable ! 4 -10 4 -5 4 5 4 x + + + = 4 -10 4 x + = -10 + x = Ainsi, la dernière case est 25$, il ne faut pas oublier que le joueur perd sa mise. x = 10