1. Introduction 1.1. Modélisation des signaux

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1 1. Introduction 1.1. Modélisation des signaux
Un signal expérimental est une grandeur physique (oscilloscope, ...) et doit donc être physiquement réalisable. Ces signaux physiques sont représentés par des fonctions x(t) à valeurs réelles d'une variable réelle t. Le signal possède les caractéristiques suivantes : - énergie bornée ; - amplitude bornée ; - continu temporellement ; - causal (x(t) = 0 pour t < 0) ; spectre du signal borné (tend vers 0 lorsque la fréquence tend vers l’infini). Mais sur le plan théorique, pour la commodité du calcul et l'étude de certains phénomènes, les signaux peuvent être représentés par des fonctions : - à énergie théorique infinie ; - avec des discontinuités (signal carré) ; - définies sur l'ensemble des réels (signaux non causaux) ; - à spectre du signal infini ; - à valeurs complexes : x(t) = A e jt = A[cos(t) + j.sin(t)].

2 1. Introduction 1.2. Classification déterministe/aléatoire (phénoménologique)
 - les signaux certains (ou déterministes) dont l'évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ; - les signaux aléatoires (ou probabilistes) dont le comportement temporel est imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d'observations statistiques.

3 1. Introduction 1.3. Classification continu/discret (morphologique)
Les 4 morphologies selon que l’axe des abscisses (temps) ou l’axe des ordonnées (amplitude) est discrétisé ou non.

4 1. Introduction 1.4. Classification énergétique
On appelle énergie Ex et puissance moyenne Px d'un signal x(t), les valeurs quadratique et quadratique moyenne suivantes si elles existent : 𝑃 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑠→∞ 1 𝑠 − 𝑠 2 + 𝑠 2 𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 Pour un signal T–périodique : On en déduit 2 classes de signaux : signaux à énergie finie : Ex < + et donc à puissance moyenne nulle (signaux transitoires, signaux physiques, à support borné: en l’infini positif ou négatif, le signal tend vers zéro); signaux à puissance moyenne finie : Px < + et donc à énergie infinie (signaux périodiques, quasi-périodiques ou aléatoires permanents).

5 1. Introduction 1.5. Classification spectrale
Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal). Largeur de bande du signal : F Fréquence moyenne Fmoy = (Fmax — Fmin)/2 2 classes de signaux : signaux à bande étroite : F/Fmoy petit  (soit Fmax  Fmin) ; signaux à large bande :  F/Fmoy grand  (soit Fmax >> Fmin). Théorème de Parseval: l’énergie d’un signal se retrouve intégralement dans son spectre. X(f), la représentation du signal dans le domaine fréquentiel est obtenu par une transformation de Fourier

6 Il s’agit des signaux absolument sommables.
2. Transformée de Fourier 2.1. Définition, condition suffisante d’existence La transformée de Fourier X(f) existe si le terme intégral x(t).exp(-2jft) est fini. Comme |exp(-2jft)|=1, la condition suffisante pour que X(f) existe est: Il s’agit des signaux absolument sommables. Comme on en déduit que les signaux à énergie finie possèdent une TF. * La transformée de Fourier est un opérateur dual: la transformée de Fourier inverse par exemple d'une fonction rectangle, sera un sinus cardinal dans l'espace temps. * A un signal de support étroit correspond un spectre de support large, et inversement. * L'unité de X(f) est celle de x(t) que multiplie le temps. Par exemple, si x(t) est une tension, son spectre X(f) s'exprime en V.s ou V/Hz. * Physiquement, seules les fréquences positives ont véritablement un sens. Cependant, il est prudent (et pratique) de donner les représentations fréquentielles complètes pour éviter des erreurs lors des manipulations.

7 2. Transformée de Fourier 2.2. Propriétés de la TF
Linéarité: Propriété apparentée au théorème de superposition Transposition: Inversion du temps  retournement des raies du spectre Conjugaison: Conjugaison du signal  conjugaison et retournement du spectre Pour un signal réél (symétrie hermitienne): Translation: théorème du retard: Décalage dans le temps  seule la phase du spectre change Modulation: Multiplication du signal par une harmonique pure  décale le spectre Dilatation-contraction: Dilatation du temps (ralentissement du signal)  contraction du spectre

8 2. Transformée de Fourier 2.3. Propriétés de la TF
Dérivation par rapport au temps: Dérivation par rapport à la fréquence: Propriétés de parité: D'une façon générale, toute fonction peut se décomposer en la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

9 2. Transformée de Fourier 2.4. Propriétés de la TF
Propriétés de parité: En conséquence, une fonction complexe de  , x(t) peut s'écrire comme la somme de 4 termes dépendants du temps : un terme réel pair, un terme imaginaire pair, un terme réel impair et un terme imaginaire impair. La transformée de Fourier X(f) se compose également de 4 termes de même type (mais dépendants de la fréquence) de la façon suivante : r, R : réél j, J : imaginaire p, P : pair i, I : impair Démonstration: traitement du signal, Yvan Duroc, Technosup, ellipses, 2011 X(f)

10 Energie et puissance Calculer l’énergie et la puissance des signaux suivants: 1/ signal « porte »: p(t) = 1 si t  [-/2, +/2]; p(t) = 0 ailleurs;   0 2/ signal sinusoïdal complexe : u(t) = a.exp(jt) 3/ x(t) = a1 sin(1t+1) + a2 sin(2t+2) Théorème du retard Démontrer le théorème du retard: 𝑇𝐹 𝑥(𝑡− 𝑡 0 ) =𝑋 𝑓 .𝑒𝑥𝑝(−𝑗2𝜋𝑓 𝑡 0 ) On partira de la définition de la TF et on posera u=t-t0. TF d’une porte temporelle 1/ Montrer que la TF d’une porte est P(f) = sin(𝜋𝑓𝜏) 𝜋𝑓 . Faire la représentation graphique de P(f) en utilisant Matlab. Remarquer que P est réel, qu’il s’annule aux fréquences 1/, 2/, ..., que les 3 premiers extrema ont pour amplitudes ,  et . 2/ Soit le signal appelé « delta de Dirac » : 𝛿 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚 𝐴→∞, 𝜏→0, 𝐴𝜏→1 𝐴.𝑝(𝑡) En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que TF[(t)] = 1. 3/ Soit le signal 1(t) = lim{} p(t). Que peut t’on dire de TF[1(t)] ?

11 TF d’un signal périodique sinusoïdal composite
1/ Télécharger les fonctions Matlab simul_TF et simul_TFI dans le répertoire: 2/ Créer le signal x(t) = a1 sin(1t) + a2 sin(2t) avec t régulièrement espacé en 1000 valeurs de 0 à 10 secondes, a1=1, a2=2, f1=0.5, f2=2 (utiliser linspace). 3/ Utiliser la fonction simul_TF pour localiser dans le spectre d’amplitude (module de X) les fréquences présentant le maximum d’énergie. Retrouve t’on les fréquences f1 et f2 ? Remarque1: simu_TF ne représente pas le spectre en entier mais seulement la partie correspondant aux fréquences f telles que 0  f  Fe où Fe la fréquence d’échantillonnage est égale à l’inverse de la période d’échantillonnage : Fe = 1/Te = 1/(t(2)-t(1)). Remarque2: De plus, on montrera plus loin que le spectre discret 0  f  Fe représenté par simu_TF est déformé par rapport au spectre continu - < f < +  selon les figures ci-dessous.

12 TF d’un « delta » de Dirac
1/ Télécharger les fonctions Matlab simul_TF et simul_TFI dans le répertoire: 2/ Créer le signal p(t) = 1 si t  [0, ]; p(t) = 0 ailleurs avec t régulièrement espacé en 1000 valeurs de 0 à 10 secondes et =2 secondes. 3/ Utiliser la fonction simul_TF pour calculer P(f) = TF[p(t)]. Comparer à l’étude théorique TF d’une porte temporelle. Pourquoi P possède t’elle une partie imaginaire ? 4/ Créer le signal (t) = A.p(t) avec A tel que A=1 et = t(2)-t(1)=Te (la période d’échantillonnage). Représenter sa TF avec simu_TF et comparer au résultat obtenu dans l’étude théorique TF d’une porte temporelle. On prend A = hauteur X largeur = 1 du delta de Dirac numérique (t) car comme on le verra, on a la propriété: −∞ +∞ 𝛿(𝑡) 𝑑𝑡=1

13 2. Transformée de Fourier 2.5. La distribution de Dirac (t)
Par définition, la distribution de Dirac (t) est une impulsion centrée sur t = 0 de largeur infiniment étroite et de surface unité :

14 2. Transformée de Fourier 2.5. La distribution de Dirac (t)
Elle est représentée symboliquement par un vecteur de hauteur égale à un.

15 2. Transformée de Fourier 2.5. La distribution de Dirac (t)
La distribution de Dirac permet de prélever la valeur d'une fonction pour un temps donné : Il est nécessaire de conserver dans l'expression le produit par la distribution de Dirac afin de ne pas perdre l'information temporelle qui lui est liée. Produit d’un scalaire et d’une fonction Produit de 2 fonctions Propriété de localisation

16 2. Transformée de Fourier 2.5bis. La distribution de Dirac (t)
La propriété de localisation permet d’écrire: soit: On retrouve le résultat concernant la TF d’un Dirac en utilisant ces propriétés: En partant de la TF de 1(t) calculée précédemment (TF d’une porte temporelle), on obtient une expression pour le Dirac: 1

17 2. Transformée de Fourier 2.6. TF de la distribution de Dirac (t)
TF [(t)] = 1 : Physiquement, cette propriété signifie qu'un signal impulsionnel parfait renferme toutes les fréquences et qu'elles sont toutes de même importance. TF[1] = (f) Cette propriété montre qu'un signal constant ne contient pas de fréquences, à l'exception de la fréquence nulle. On en déduit: prop. translation prop. modulation formules d’Euler

18 2. Transformée de Fourier 2.7. TF du peigne de Dirac (t)
Peigne de Dirac == suite périodique de distributions de Dirac de période T :

19 2. Transformée de Fourier 2.7. TF du peigne de Dirac (t)
On admettra (voir le cours de mathématiques, théorie des distributions, pour la démonstration) que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est aussi un peigne de Dirac :

20 TF d’un « delta » de Dirac « décalé »
1/ On cherche à vérifier: 𝑇𝐹 𝛿 𝑡− 𝑡 0 =1.𝑒𝑥𝑝 −2𝜋𝑓 𝑡 0 Pour cela on reprend le programme écrit (TF d’un « delta » de Dirac ) et on le modifie en plaçant l’impulsion en t=t0=1s. Ainsi, on crée le signal (t-t0) = A.p(t-t0) avec t0=1s, A tel que A=1 et =t(2)-t(1)=Te (la période d’échantillonnage). 2/ Calculer TF((t-t0)) en utilisant simul_TF. Qu’est-ce qui « cloche » ? Dans cette expression: 𝑥 𝑡 .𝛿 𝑡 =𝑥 𝑡 . −∞ +∞ 𝑒𝑥𝑝(−𝑗2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡= −∞ +∞ 𝑥(𝑡).𝑒𝑥𝑝(−𝑗2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡=𝑇𝐹[𝑥(𝑡)] Propriété de modulation, TF de fonctions sinusoïdales 1/ Démontrer la propriété de modulation (on posera 𝐹=𝑓− 𝑓 0 ) : 𝑇𝐹 𝑥 𝑡 .exp(2𝜋𝑗 𝑓 0 𝑡) =𝑋 𝐹 =𝑋(𝑓− 𝑓 0 ) 2/ Démontrer les relations: 𝑇𝐹 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑓 0 𝑡 = 1 2 𝛿 𝑓− 𝑓 0 +𝛿 𝑓+ 𝑓 0 Et 𝑇𝐹 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑓 0 𝑡 = 1 2 𝛿 𝑓− 𝑓 0 −𝛿 𝑓+ 𝑓 0 en utilisant les formules d’Euler: exp 𝑗𝑥 = cos 𝑥 +𝑗.𝑠𝑖𝑛(𝑥) Et exp −𝑗𝑥 = cos 𝑥 −𝑗.𝑠𝑖𝑛(𝑥)

21 TF d’un peigne de Dirac 1/ Sous Matlab, créer un peigne de Dirac T(t) de période T=0.5 seconde et défini de t=0s à t=10s avec un temps d’échantillonnage = t(2)-t(1)=0.01. Il y aura une dent en t=0s. Chacune des n « dents » aura une amplitude A telle que n.A.=1/T. On prend n.A.=[somme des aires des n deltas numériques]=1/T pour obtenir une amplitude 1/T pour le peigne fréquentiel. 2/ En utilisant simul_TF, vérifier que la TF d’un peigne(t) de période T est un PEIGNE(f) de période 1/T.