Voyage vers l’infiniment fractale

Présentation au sujet: "Voyage vers l’infiniment fractale"— Transcription de la présentation:

1 Voyage vers l’infiniment fractale
Hélène Carlier, Alice Rouvez, Pierre Duflot, Hessam Iranmanesh, Guillaume Rossillon

2 Plan de la présentation
Introduction Caractéristiques de fractales Les mathématiques des fractales L’ensemble de Mandelbrot Dimension fractale Les math-fractales

3 La découverte des fractales
Ensemble de Julia Gaston Julia

4 Ensemble de Mandelbrot
Ensemble de Mandelbrot Benoît Mandelbrot

5 Les caractéristiques des fractales
Principe d’itération Principe d’autosimilarité Les dimensions fractales

6 Principe d’itérations

7 Flocon de Von Koch

8 Principe d’autosimilarité

9 Dimension fractale Eponge de Menger- Sierpinski Triangle de Sierpinski

10 Les fractales dans la nature
Corps Humain Yeux Battements du cœur Intestins Poumons

11 Les fractales dans la nature
Corps Humain Plantes Fougères Choux-Fleurs

12 Les mathématiques des fractales
Aires, périmètres et volumes des fractales L’ensemble de Mandelbrot et le chaos La dimension fractale

13 Un carré un peu spécial

14 L’aire Coté 1er carré = 1 ‫A₀=1 A₁ = ¼ A₂ = ¼ /16 A₃ = ¼ / /64 … An= 1+4. (30. (¼)1+31.( ¼ )2+…+3n-1.( ¼ )n) An = 1+ 4/3. ((3/4)1+ (3/4)2+…+ (3/4)n ) An= 1+4. (1- (¾)n ) lim An = 1+4. (1-0)= 5 n -> ∞

15 Le périmètre Un périmètre infini pour une aire finie P0= 4
… Pn= 4+4. ((3/2)0 + (3/2)1 + (3/2)2 +…+ (3/2)n-1) lim Pn= ((3/2)∞ -1)= ∞ Un périmètre infini pour une aire finie n -> ∞

16 L’éponge de Menger/Sierpinski

17 Le volume Vn= (20/27)n lim Vn=0 V0= 1 V1= 1. 20/27
Chaque étape enlève 7 cubes sur les 27 de base Côté du 1er cube= 1 V0= 1 V1= 1. 20/27 V2= 20/27. 20/27= (20/27)2 Vn= (20/27)n lim Vn=0 n -> ∞

18 L’aire An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n An= Cn. (1/9)n ↔ Cn= An. 9n
Cn+1= Cn n  An+1=Cn+1. (1/9)n+1 An+1= (Cn n). (1/9)n+1 An+1= ((An. 9n) n). (1/9)n+1 An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n Etape n Nombre de carrés: Cn Aire Etape 0 6= C0 A0= 6 Etape 1 = 72= C1 A1= 72. (1/3)2= 72/9= 8 Etape 2 = 1056= C2 A2= (1/9)2= Etape 3 = 18048= C3 A3= (1/9)3= 24.76 Etape 4 = = C4 A4= (1/9)4= 51.27

19 La formule et sa démonstration
An+1= (2.20n n+1)/(9n+1) ; avec A0=6 A1= ( )/9= 8 An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n or An= (2.20n+4. 8n)/(9n) An+1= ( n+4. 8n n)/(9n+1) An+1= ( n+4. 8n+1)/(9n+1) An+1= (2. 20n n+1)/(9n+1) lim An=(2. (20/9)n+4. (8/9)n)= +∞+0= +∞ n -> ∞

20 Application: murs anti-bruit
Réduction de 3 dB par rapport à un mur classique

21 Ensemble de Mandelbrot le Chaos
Qu’est ce que le Chaos? Le figuier, un comportement pas si prévisible L’ensemble de Mandelbrot et son intérêt

22 Le Figuier, un calcul simple?
Prenons un réel entre -1 et 1 Elevons ce réel au carré Retirons 1 Et recommençons du début Xn+1= (Xn)2 -1 -1 ≤ Xn+1 ≤ 0 1er nombre 1 -1/2 2ème nombre -1 -0.75 3ème nombre 4ème nombre

23 Pas vraiment si simple…
Xn+1= k. (Xn)2 -1 Ordre Chaos

24 L’ensemble de Mandelbrot
Xn+1= k. (Xn)2 -1; avec k=a+ b. i= c et Xn=an an+1= c. (an)2 -1 c. an+1= c2. (an)2 –c Zn+1= (Zn)2 – c

25 La dimension fractale Généralisation La poussière de Cantor
Le flocon de Von Koch L’éponge de Menger/Sierpinski

26 Généralisation d= log m/log n
1/n= rapport d’homothétie, m= le nombre de figures d= lognm d= log m/log n Etape 1 m= 1 Etape1 m=1 Etape 2 m=2 Etape2 m=4 m=8 Dimension 1 m= 21 Dimension 2 m=22 Dimension 3 m= 23

27 La poussière de Cantor d= log2/log3 ≈ 0,63 ↔ 0< d< 1
Le nombre segment double à chaque étape ↔ M=2 Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3 d= log2/log3 ≈ 0,63 ↔ 0< d< 1

28 Le flocon de Von Koch d= log4/log3≈ 1,26 ↔ 1< d< 2
Le nombre de segments quadruple à chaque étape ↔ M=4 Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3 d= log4/log3≈ 1,26 ↔ 1< d< 2

29 L’éponge de Menger/Sierpinski
Le nombre de cubes est multiplié par 20 à chaque étape ↔ M=20 Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3 d= log20/log3≈ 2,73 ↔ 2< d< 3

30 La math-fractale Le nombre d’or Les propriétés de φ La spirale et la suite de Fibonacci Le triangle de Pascal Les matrices Pythagore

31 Le nombre d’or 1, φ2= φ+1 φ-1= 1/φ

32 Première propriété φ2= φ+1 φ=√(1+φ) φ=√1+√(1+φ) φ=√1+√1+(√(1+φ)
φ= 1+√1+√1+√1+√1+√(1+φ)

33 Deuxième propriété φ-1= 1/φ  φ=1+ 1/φ φ=1+ 1/(1+ 1/φ) …
φ=1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/φ)))))))))))

34 La suite de Fibonacci = Restent/Grandissent = Engendrent

35 La Spirale de Fibonacci

36 Le Triangle de Pascal

37 Et encore une fractale…
Les Matrices Et encore une fractale… ( ) 0 1 1 1

38 Pythagore a2=b2+c2

39 Conclusion