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1 Ce document a été conçu par l’association ACCESMAD a destination des
élèves de l’enseignement technique de Madagascar .Il propose une méthode pédagogique d’assimilation des contenus du texte officiel des programmes intitulé: REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA Module de formation : mécanique et résistance des matériaux Intitulé du sous module SMF/T/08-08: FLEXION SIMPLE UF/T/08 – 08 – 01 UF/T/08 – 08 – 02 UF/T/08 – 08 – 03 UF/T/08 – 08 – 04 UF/T/08 – 08 – 05 Généralités Etude de l’équation et de variation, de l’effort tranchant, du moment fléchissant. Contraintes de flexion Conditions de résistance Calcul des flèches. ACCESMAD- PB -2012

2 Connaissances requises pour lire ce document: il faut savoir,
-représenter une force par un vecteur -déterminer les composantes d’un vecteur dans un repère cartésien. -calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. -déterminer l’expression vectorielle du moment d’une force en un point. -déterminer le moment d’inertie (ou quadratique) d’une section par rapport à un axe -utiliser le principe fondamental de la statique: PFS. -reconnaître l’expression d’une contrainte normale et son unité usuelle - utiliser la relation linéaire entre contrainte et déformation unitaire( loi de Hooke) en fonction du module d’élasticité du matériau utilisé. -appliquer le théorème de Thalès -donner l’expression entre l’abscisse curviligne s et l’écart angulaire q (en radian) sur un cercle -calculer la dérivée et une primitive d’une fonction polynomiale simple. -que la dérivée d’une fonction en un point est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce même point.

3 Objectifs pédagogiques du document:
-développer la notion générale de torseur en mécanique (expression regroupant les forces et les moment de forces ) -déterminer les actions de liaison (réactions) aux appuis par une méthode graphique (funiculaire) et par une méthode analytique. -déterminer les éléments du torseur de cohésion d’une section sollicitée en flexion simple en réalisant une coupure fictive au niveau de cette section dans une poutre. Préciser la convention choisie pour sa détermination. -établir les expressions de l’effort tranchant T(x) et du moment fléchissant M(x) le long de la poutre -tracer les diagrammes de T (x) et de M(x) -découvrir la relation entre T et M sur un exemple. -Donner l’expression de la contrainte normale maximum de flexion dans une poutre. -Réaliser une application numérique simple et effectuer une vérification du matériau -établir la relation entre dérivée seconde y’’ de la déformée et le moment M en un point -établir l’équation de la déformée y d’une poutre dans un cas simple -apprendre à calculer une flèche de poutre

4 FLEXION SIMPLE I-Généralités
Notion de torseur de cohésion d’une section de poutre

5 Dimensions de la poutre et charges extérieures:
Exemple de poutre sollicitée en flexion simple Y G L’axe Ax joignant les centres de gravité des sections droites s’appelle « axe neutre » Section droite Dimensions de la poutre et charges extérieures: Une poutre de section rectangulaire repose sur deux appuis simples .Elle est soumise à des efforts concentrés en B et C de 1000N et 5000N. Le poids propre de la poutre est supposé négligeable devant ces efforts. Sous l’effet des charges externes il apparaît au niveau de chaque point d’une section droite des efforts internes qui maintiennent la cohésion de l’ensemble sous réserve que leur valeur soit tolérable pour le matériau utilisé. Pour vérifier la résistance de la poutre, il est donc essentiel de connaître ces efforts internes .Ces efforts permettront ensuite d’évaluer les contraintes locales. Ces efforts internes différents en chaque point de la section peuvent être regroupés au centre de gravité de chaque section par un équivalent le torseur de cohésion

6 S R G Mfz Une force résultante R passant par G Un couple de moment Mfz
Représentons la poutre posée sur ses 2 appuis…. Sollicitée par les actions extérieures, elle se déforme… S Réalisons une coupure fictive transversale de la poutre au niveau de la section S et isolons par la pensée, la partie à gauche de la coupure. Cette partie à gauche est soumise aux forces extérieures (représentées en rouge) .Pour assurer son équilibre, il est nécessaire d’introduire au niveau de la coupure: R G Une force résultante R passant par G Un couple de moment Mfz responsable de la rotation de la section Mfz R et Mfz sont les deux composantes d’un torseur dit « de cohésion »car il maintient la poutre en équilibre Nous pouvons définir un tel torseur pour chacune des sections de la poutre.

7 DEFINITION ET EXPRESSION GENERALE DU TORSEUR DE COHESION
Les multiples forces internes au niveau de chaque section peuvent être réduits en une force résultante R centrée en G et un moment résultant MG responsable de la rotation de la section autour de G. Dans le cas le plus général le torseur de cohésion en G possède 6 composantes

8 y G Ce type de torseur caractérise une flexion simple
Pour la poutre que nous étudions, les composantes du torseur au droit de chaque section de la poutre sont réduites à deux les forces extérieures sont dans le plan de symétrie Gxy et sont dirigées selon Gy (forces verticales). Le torseur de cohésion de chaque section se réduit alors à: Ce type de torseur caractérise une flexion simple (si de plus Ty=0,la flexion est dite pure) y G Pour la poutre étudiée

9 La valeur et le signe de l’effort tranchant Ty
Déterminer le torseur de cohésion en un point G(x) d’une section de poutre en flexion simple nécessite donc de déterminer : La valeur et le signe de l’effort tranchant Ty La valeur et signe du moment de flexion Mfz L’effort tranchant TY produit un cisaillement vertical de la poutre. Le moment fléchissant Mfz tend à faire tourner la section droite autour de Gz dans le plan Gxy . Il engendre une compression et une traction de part et d’autre de la fibre neutre Gx

10 FLEXION SIMPLE II – Détermination du torseur des actions de liaison sollicitant la poutre Qu’elle soit interne ou externe , toute action mécanique en un point peut être modélisée par un torseur qui est un système force-couple comme nous l’avons vu pour les efforts de cohésion.

11 Déterminons donc les réactions aux appuis R1 et R2
L’étude nécessite la connaissance de toutes les forces extérieures y compris celles exercées par les liaisons de la poutre avec l’extèrieur . S’agissant d’appuis simples, les torseurs des actions extèrieures en A et D se réduisent chacun à une seule inconnue verticale: R1 et R2 (les « réactions »). Déterminons donc les réactions aux appuis R1 et R2 en A et D

12 Méthode graphique de détermination des réactions
Tracè du diagramme polaire Échelle des forces 1cm correspond à 1000N R1 Tracer les supports verticaux des forces extérieures F 1 1 Tracé du funiculaire 2 Les lignes 2’ et 3’ parallèles à 2 et 3 doivent de croiser sur la support de F2 4’=ligne de fermeture 4 4’ R2 F2 1’ 3 3’ 2’ Les lignes 1’et 2’ parallèles à 1et 2 doivent se croiser sur le support de F1 <= F1 est encadrée par les lignes polaires1 et 2 Les lignes 2’ et 3’ parallèles à 2 et 3 doivent de croiser sur le support de F2 <=F2 est encadré par 2et 3 Sur le funiculaire, les lignes 3’et 4’ se croisent sur le support de R2(dont on cherche la valeur) =>3 et 4 encadrent R2 sur le polaire etc..

13 Méthode par le calcul Appliquons le principe fondamental de la statique(PFS) à l’ensemble de la poutre 1-La somme des forces extérieures doit être nulle: Ce qui donne dans le repère Axyz: 2-La somme des moments en A des forces extérieures doit être nulle: Ce qui donne dans le repère Axyz:

14 FLEXION SIMPLE III- Tracé des diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre Il s’agit de donner les expressions en fonction de x des deux composantes du torseur de cohésion T(x) et M(x) et de tracer leur courbe représentative

15 Méthode la coupure fictive
Principe de la détermination des composantes du torseur de cohésion le long de la poutre. Méthode la coupure fictive j i k (*) la convention détermine le signe de M et T et donc l’aspect des diagrammes Réaliser une coupure fictive de la poutre perpendiculaire à l’axe neutre Ax dans chaque intervalle limité par deux points d’application successifs de forces (soit en G1,G2,G3) Chaque coupure permet d’ isoler fictivement une partie gauche et une partie droite de la poutre. Faisons le choix de la convention suivante pour le calcul des composantes du torseur de cohésion: On conviendra que les forces internes (ou de cohésion) au niveau de la coupure sont celles exercées par la partie droite de la poutre sur la partie gauche. (Convention en accord le avec le logiciels gratuit RDM6 inclus dans la médiathèque ) Avec cette convention, le PFS permet d’écrire pour chaque partie, deux égalités(1) ou (2) équivalentes: Équilibre de la partie gauche le torseur de cohésion en G est l’opposé du torseur en G des forces ext. appliquées sur le tronçon de gauche (égalité 1) Equilibre de la partie droite le torseur de cohésion en G est égal au torseur en G des forces extérieures appliquées sur le tronçon de droite. (égalité 2) On choisira l’égalité qui simplifie le mieux les calculs Attention: une égalité entre moments supposent toujours que ces derniers soient calculés par rapport au même point. Une égalité entre torseurs suppose la même condition: il faut considérer les torseurs calculés en un même point (G par exemple)

16 Détermination du TORSEUR en G1: réalisons la coupure c1 d’abscisse x1 entre A et B
La seule force fext à gauche est R1 à la distance x1 de G1 TG1 <0 ; MG1 >0 effort tranchant d’axe Oy

17 Détermination du TORSEUR en G2: réalisons la coupure c2 d’abscisse x2 entre B et C
Les forces extérieures à gauche de G2 sont R1 à la distance x2 et F1 à la distance ( x2 - 1) Comme nous le verrons, ce calcul peut être réalisé plus simplement en recherchant la primitive de T(x) TG2<0 ; MG2>0 effort tranchant d’axe Oy

18 Détermination du TORSEUR en G3: réalisons la coupure c3 d’abscisse x3 entre C et D
La seule force extérieure à droite de G3 est R2 à la distance (8 - x3) effort tranchant d’axe Oy TG3>0 , MG3>0 effort tranchant d’axe Oy Au point C l’effort tranchant TG change de signe ; MG est positif sur toute la longueur de la poutre

19 Récapitulatif des valeurs de T(x) et M(x)
Diagramme de T Un effort tranchant T>0 fait glisser transversalement les sections les unes par rapport aux autres vers le haut dans le sens des x>0 Les déformations sont exagérées! Diagramme de Mf M>0 M + Un moment positif comprime la fibre sup et tire la fibre inférieure de la poutre Rappel: le signe de T(x) et M(x) tient compte de la convention choisie pour le torseur de cohésion

20 Compléments mathématiques
Dérivation Intégration 1-relation entre T et M : Dans cet exemple les fonctions MG(x) sont affines et nous pouvons observer que TG(x) est égal au coefficient directeur de M (au signe prés!). On est donc conduit à écrire: 2-Calcul du moment en recherchant une primitive de la fonction T(x) La relation précédente signifie que M(x) est une primitive (changé de signe) de la fonction T(x) NB La recherche d’une primitive s’appelle une intégration Cette méthode de détermination de M est plus rapide surtout lorsque les charges appliquées sont réparties

21 FLEXION SIMPLE IV-Détermination de la contrainte due à la flexion
La contrainte est le rapport de la force à l’aire de la section sur laquelle elle s’applique .Celle-ci caractérise la résistance du matériau en un point . Unité:N.mm-2 = MPa Considérons un cube élémentaire de centre M et de section S à l’intérieur de la poutre… Dans une poutre sollicitée en flexion apparaissent des contraintes s normales à la surface S du cube ( engendrées par le moment fléchissant M) et des contraintes t tangentielles à la surface S (engendrées par l’effort tranchant T) Les contraintes normales sont prépondérantes pour le dimensionnement d’une poutre. Nous allons déterminer l’expression de la contrainte normale s due à la flexion (la flexion est dite « pure » en l’absence d’effort tranchant ou si celui-ci est négligé )

22 Exemple: une poutre de section rectangulaire repose sur 2 appuis…
sections droites La poutre initialement rectiligne est soumise à des charges verticales …

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24 Sous l’effet des forces extérieures, la poutre se déforme verticalement .
Nous supposons que la déformation verticale de la poutre reste faible par rapport à sa portée , on admet alors que les sections droites restent perpendiculaires à l’axe longitudinal aprés déformation (modèle de Bernouilli ) (Les déformations des sections droites représentées sont volontairement exagérées pour la compréhension du dessin) On appelle « fibre » un petit cylindre de matière de section transversale dS de très petite dimension et de direction parallèle à la direction longitudinale de la poutre. Avant déformation les fibres ont toutes la même longueur Fibre neutre dS La fibre moyenne ayant un allongement nul est appelée fibre neutre Ici, les fibres situées au-dessus de la fibre moyenne sont comprimées et diminuent de longueur Ici, les fibres situées en dessous se tendent et s’allongent

25 Sous l’effet des forces extérieures, la poutre se déforme verticalement.
La fibre neutre de longueur dx prend une forme quasi circulaire de centre O et de rayon r (rayon de courbure) La section droite à la distance dx tourne d’un angle très petit dq O dq r Fibre neutre G dx La distance dx est considérée très petite devant la portée de la poutre

26 (Loi de Hooke) y O dq r X dx dq y>0
La fibre à la distance y en dessous de G subit un allongement « a » tel que: …et donc un allongement relatif: : Remarque :si y>0, la fibre est tendue et « a » est un allongement . Si y<0, la fibre est comprimée ,« a » est un raccourcissement. Cette fibre subit une contrainte normale de traction proportionnelle à l’allongement relatif et orientée suivant x O (Loi de Hooke) Robert Hooke( ) physicien anglais Si y <0 la contrainte est une compression pour les fibres supérieures E = module d’élasticité du matériau dq r G X dx y>0 Zone comprimée dq y G isolons la section inclinée de dq allongement de la fibre de « a » Fibre à distance y de G a Z Zone tendue

27 Expression de la contrainte normale à la distance y
La fibre de section dS à distance y subit une force èlémentaire d’axe x. Force=contrainte x section La force s’exerçant à distance y de la fibre neutre engendre. un moment élémentaire par rapport à l’axe Gz : y O Le terme entre parenthèses est le moment d’inertie iz de la section droite S par rapport à z Le vecteur moment résultant de toutes les forces agissant sur la hauteur de la section est: D’où l’expression de la valeur du moment Mz dq r X dx dq a y Zone comprimée x G Fibre à distance y de G dF dS Expression de la contrainte normale à la distance y Z Zone tendue

28 Expression de la contrainte maximum due au moment fléchissant Mz
La formule établie précédemment montre que la contrainte varie linéairement sur la hauteur depuis G; elle est maximum sur la fibre la plus éloignée de G . ( compression d’un coté de G et traction de l’autre) Pour un profil symétrique de hauteur h Pour une section non symétrique par rapport à z: G y V z x V’ G compression Ou traction « module de flexion » est souvent donné dans les tables de profils

29 Application: Déterminer les contraintes normales dans une poutre de section rectangulaire de hauteur h=120mm et de largeur b=50mm, soumise à un moment fléchissant maximum de 14,4kN . Choix des unités: L’unité de contrainte choisie est le mégapascal (1MPa=106Pa) ; Sachant que 1MPa=1N.mm-2. nous adoptons les unités intermédiaires suivantes: Calcul du moment d’inertie par rapport à l’axe Gz y Contrainte normale au point d’ordonnée y -120MPa z x y(mm) 20 40 60 s(MPa) 80 120 +120MPa Le signe négatif indique une compression et le signe positif une traction

30 Répartition des contraintes normales sur la section droite d’une poutre sollicitée en flexion simple
Document extrait du logiciel RDM6 Le signe négatif indique une compression et le signe positif une traction (Ici, les valeurs extrêmes ne sont pas symétriques car une contrainte normale uniforme s’ajoute à la flexion)

31 V-Equation de la déformée d’une poutre
y O dq r Fibre neutre G x dx Mz z Le segment dx se confond avec un arc de cercle , sa longueur est proportionnelle à l’angle dq (radian) nous avons établi que: Par conséquent

32 Il suffit d’étudier la déformation de la fibre neutre pour caractériser la déformation
de la poutre Fibre neutre

33 La fonction q(x) est donc la dérivée première de y(x)
La fibre neutre prend la forme d’une courbe d’équation y(x) appelée déformée de la poutre En tout point G de y(x), la rotation q (en radian) de la section droite est aussi égale à la pente de la tangente La fonction q(x) est donc la dérivée première de y(x) La fonction est par conséquent la dérivée seconde de y Fibre neutre x y (déformée) q Tangente q G section droite Equation générale de la flexion Cette relation conduit à l’expression de la déformée y(x) après deux intégrations successives et connaissant la répartition du moment fléchissant Mz le long de la poutre (cette relation ne prend pas en compte l’effort tranchant qui intervient de manière généralement négligeable)

34 FLEXION SIMPLE VI-Application: vérification d’une console
Pour mieux comprendre l’utilité des calculs précédents, traitons maintenant un exemple d’application simple… VI-Application: vérification d’une console soumise à une charge concentrée

35 Données Recherche demandée:
Une poutre en acier est encastrée en A et libre en B, sa portée est L=5m; Elle est soumise à une force F=10.103N verticale à l’extrémité B Le profil proposé est un IPE 330 (E= MPa (ou N.mm-2), moment d’inertie Iz= mm4) Recherche demandée: 1-Choisir un repère trirectangle pour l’étude de la poutre 2-Déterminer le torseur des actions de liaison à l’extrémité A sur la poutre 3-Tracer les diagrammes de l’effort tranchant T et du moment fléchissant M le long de la poutre 4-Déterminer l’équation de la pente q(x)=y’(x) ,de la déformée y(x) et la flèche maximale 5-Déterminer la contrainte maximum dans le profilé. Vérifier la bonne résistance du profilé

36 1-Repère d’étude choisi Axyz
L’axe y étant orienté vers le haut la projection sur cet axe de la force F est négative 1-Repère d’étude choisi Axyz MAZ>0 j i k 2-Torseur des actions de liaison à l’extrémité A S’agissant d’un encastrement, les inconnues en A sont en général au nombre de trois: Cependant, la seule force extérieure F étant verticale, la réaction horizontale XA est nulle, il reste donc deux Inconnues à déterminer: la réaction verticale et le moment d’encastrement .Le torseur inconnu s’écrit donc: Appliquons le P.F.S pour l’ensemble de la poutre : MAz>0, le vecteur moment en A est donc orienté vers les z>0 .Il tend à faire tourner la section droite de l’extrémité gauche de la poutre dans le sens direct (sens trigo) pour que la rotation en A soit nulle. L’encastrement étant supposé parfait la rotation de la section droite en A reste nulle après flexion . Cette rotation ne serait pas nulle avec une articulation.

37 3-Diagramme de l’effort tranchant T(x) et du moment fléchissant M(x)
Déterminons le torseur de cohésion au point G d’abscisse x en utilisant l’égalité (2) La seule force à droite est la force F: x L=5m T(x) N M(x) F.x -F.L N.m

38 4-Equation de la pente q (x) et de la déformée y(x), flèche maximale:
y’=q(x) est une primitive de la fonction précédente, soit Or, pour x=0, q(0)=0 (en effet la pente est nulle à l’encastrement )et donc la constante B=0, finalement:

39 La déformée y est une primitive de la fonction q(x),soit:
Or, pour x=0, y=0 (la flèche est nulle à l’encastrement )et donc la constante C=0, finalement: 4-2 déformée y(x)

40 5- contrainte maximum dans le matériau.
Déterminons la valeur maximale du moment fléchissant (à l’encastrement) Puis la contrainte normale maximale sur la fibre externe du profilé: Contrainte qui maintient le matériau dans le domaine élastique puisque la limite élastique de l’acier courant est 240MPa D’après RDM6