Initiation au calcul des structures dans le domaine plastique Elasto - plasticité en petite transformation Cours.

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1 Initiation au calcul des structures dans le domaine plastique Elasto - plasticité en petite transformation Cours

2 Objectifs Introduction à la plasticité « classique »
Aborder la résolution de problème non linéaire Utiliser un code de calcul en non linéaire

3 Plan Aspect physique - modèles analogiques
Elasto-plasticité des barres (1D) étude des treillis Elasto-plasticité des poutres (3D ==> 1D) étude des portiques (rotule plastique) Critères 3D & règles d ’écoulement plastique

4 Supports : Evaluation : 2 notes : Polycopié de cours
Sur le site intranet de l ’école Cours, Exercices, projets Doc d’utilisation et tutorials des logiciels ALGOR CASTEM Evaluation : 2 notes : TD - TA sur 10 Projet sur 10

5 Aspects physiques Elastiques (instantanées - réversibles)
Visqueuses (fct du temps) Déformations Plastiques (irréversibles - non linéaire)

6 les Essais Ecrouissage Fluage - recouvrance Relaxation imposé mesuré

7 30/03/2017 Modèles rhéologiques Modèles « linéaires » ==> solides visco - élastiques Le ressort ou de l ’amortisseur peuvent être non linéaire

8 Modèles non linéaires Modèles de base de la plasticité

9 Essai de traction so Ecrouissage monotone s e ee (A) ep(A) observation
Impossible à mesurer ==> Norme observation Ecrouissage monotone s e Domaine élastique ee (A) ep(A) A Cycles charges- décharges

10 Ce n ’est pas si simple !! 2ème passage 1er passage Il faut connaître l ’historique du chargement Caractère incrémental des lois de comportement en plasticité On utilise un temps cinématique = temps réel /

11 Ecrouissage s 2so e Ecrouissage ISOTROPE Ecrouissage monotone
Même augmentation en traction et compression Wdef élastique Ecrouissage monotone s e Ecrouissage CINEMATIQUE Effet Baushinger durcissement dans un sens adoucissement dans l ’autre 2so

12 Modélisation s ss(E) e ET E Ds Etat présumé Etat réel Critère
Loi d ’écoulement plastique Etat actuel (s,E)

13 Evolution élasto-plastique des Treillis
Résolution Explicite Analytique (RDM) par la MEF Modèles EPP et EPE Chargements cycliques Résolution Numérique (MEF) Algorithmes de résolution des Pb non linéaire Newton-Raphson et N-R modifié Algorithme de projection sur le critère Calcul du résidus {Fint}-{Fext}

14 Application Structure à étudier Modèle EPP (pas d ’écrouissage)

15 Domaine d ’élasticité // à 1 D E 5
5 Phase élasto-plastique en compression En E ruine de la structure 3 Décharge élastique En C (F = 0) // à 1 Contraintes résiduelles : Les déformations plastiques ne vérifient pas les conditions de compatibilité 4 En D (F = - soS) Il y a plastification de la barre 2 en compression 2 Phase élasto-plastique En B ruine de la structure On ne peut pas calculer directement les déformations plastiques de la barre 2 1 Phase élastique En A : soS N1 N2 6 C' A' 6 Phase élastique D 7 7 Phase élasto-plastique Le domaine d'élasticité n'est pas modifié au cours du chargement car le matériau est EPP 1 A 2 B Domaine d ’élasticité 3 C D 4

16 N1 N2 Ecrouissage ISOTROPE

17 Ecrouissage CINEMATIQUE

18 ALGORITHME DE PROJECTION ==>
Résolution numérique Principe Incrément de charge donné Calcul élastique ==> Pour chaque élément Élastique ou non ? ALGORITHME DE PROJECTION ==> ==> Assemblage et calcul du résidu {R} = {DFext}-{DFint} Si Il faut itérer

19 Convergence la plus rapide
Algorithme de résolution Maillage éléments finis Définition de l ’historique du chargement (incréments DF) Définition des lois de comportement so ,E ,ET Calcul de [K] Pour chaque incrément {DF} Initialisation du résidu {R} <== {DF} Tant que || {R} || > e Calcul de {DU} = [K]-1 {R} Pour chaque élément déformation ==> projection {DFint}e fin pour Nouveau résidu {R} = {R} - {DFint} fin tant que Impression des résultats de l ’incrément U F F = K(u) U Convergence la plus rapide Calcul de [K(u)] DF Solution cherchée Convergence lente {R1}

20 s e PROJECTION sur le critère de plasticité ET E Dse Dep Dee De
30/03/2017 PROJECTION sur le critère de plasticité si s+Dse > ss(E) élément en cours de plastification Dse Etat réel Dep Dee Projection sur le critère Etat présumé De Cas particulier s = ss(E) incrément plastique ss(E) s e E ET Etat actuel (s,E) si non s+Dse < ss(E) incrément élastique

21 A vous de jouer ...

22 Plasticité des poutres
Rappels Hypothèses de Bernoulli 1 2 4 L.C. Elastique Intégrée sur la section Equations « PFD » 3 4 équations pour 4 champs ==> résolution En plasticité ce qui change c ’est la LC intégrée on pose

23 Objectif : obtenir la LC élasto-plastique
Essai de flexion pure ==> Mf = cte Début de plastification des fibres pour Pour LC élasto-plastique

24 Facteur de forme plastique d ’une section
Représente la réserve vis à vis de la plastification totale : 1 pas de réserve

25 Essai de flexion simple
Négligeons T et utilisons la LC ==>

26 Modèle simplifié - rotule plastique
Etude de Comportement asymptotique ==> notion de rotule plastique Modèle simplifié - rotule plastique Application Etude des portiques charges limites

27 ==> Rotule plastique en A pour
Phase élastique ==> critère ==> Rotule plastique en A pour Phase élasto-plastique ==> F2 charge de ruine critère

28 A vous de jouer ...

29 Doit respecter les symétries matérielles
Plasticité 3D Critère (fonction de charge) État actuel est intérieur au domaine d ’élasticité État actuel se situe sur la frontière du domaine (état plastique) Un état extérieur au domaine d’élasticité est physiquement impossible à obtenir Le domaine d’élasticité représente l’ensemble des états s admissibles. Modèle EPE Modèle EPP Ecrouissage « E » Doit respecter les symétries matérielles

30 ==> utilisation du déviateur des s ==> essai de traction :
Critère de Von Mises (1910) Pour les métaux Partie sphérique ==> utilisation du déviateur des s Fonction de charge ==> essai de traction : { sVM Contrainte de Von Mises

31 Critère dit de cisaillement maximal
Critère de Tresca (1870) Contraintes principales sT Contrainte de Tresca Critère dit de cisaillement maximal Tresca plus sévère de 13%

32 Dissipation plastique
Loi d ’écoulement plastique Principe de Hill Dissipation plastique associée à ==> De est convexe dep est normal à la surface de charge Loi de normalité Von Mises ==>

33 Principe de la résolution numérique
Soit la solution de Pour chaque élément Aux points de Gauss La sol. Supposée élastique Si OK schéma numérique Schéma idéal Si non il faut projeter sur De