Mécanique des structures

Mécanique des structures
Chapitre 5 Mécanique des structures En arrière-plan: tour Eiffel, 1889.

Contenu du chapitre 5 (1) 1. Introduction 2. Résistance des Matériaux
Définition de structure Classification géométrique des structures Classification statique des structures 2. Résistance des Matériaux Caractéristiques de la sollicitation Les équations d’équilibre des poutres La théorie de la poutre d’Euler-Bernoulli Le calcul des contraintes dans les poutres La stabilité élastique 3. Méthodes de calcul des structures Les treillis Structures de poutres Plaques et coques Méthodes numériques modernes

Contenu du chapitre 5 (2) 4. Structures non résistant à la traction
Équilibre d’un bloc appuyé Équilibre d’un arc en pierre Le béton armé et le béton précontraint 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet

Chapitre 1 1. Introduction Définition de structure
Classification géométrique des structures Classification statique des structures En arrière-plan: schéma du viaduc de Millau, 2004.

Définition de structure
Au sens stricte, on appelle structure un quelconque assemblage de corps capable d’être en équilibre sous l’action d’un système quelconque de forces appliquées (dans la limite de la résistance des matériaux qui la composent). La caractéristique essentielle d’une structure est donc celle d’être en mesure d’assurer l’équilibre toujours, pour n’importe quel ensemble de forces appliquées: une structure ne se met pas en mouvement! (mises à part les déformations dues aux forces, déformations modestes en HPP et qui, en régime élastique, sont toujours récupérées une fois le chargement terminé). Cette distinction permet donc de différencier une structure d’un mécanisme qui, lui, est un assemblage conçu pour permettre un ou des mouvements.

Classification géométrique des structures (1)
Les structures peuvent être classifiées selon le géométrie des corps qui les composent. La classification suivante prend en compte cet aspect mais aussi d’autres particularités, liées par exemple aux types de lien entre les corps constituant la structure. D’autres classifications des structures sont possibles, une exclusivement mécanique, qui sera présentée ci-après et qui permettra de mieux comprendre la différence entre mécanisme et structure, une autre typiquement technologique, sur la base du type de matériau utilisé, qui sera présentée au chapitre suivant.

Poutre: on appelle poutre un corps qui a la caractéristique essentielle d’avoir une dimension nettement plus grande que les deux autres. Une poutre est donc une structure linéaire, qui peut être identifiée avec son axe: c’est un corps monodimensionnel. Il existe plusieurs types de poutres: poutre droite: c’est une poutre à axe rectiligne; la section transversale peut être constante ou non; poutre courbe: c’est une poutre à axe courbe; encore, la section peut être constante ou non; appartiennent à cette catégorie les arcs, mais aussi des poutres qui ont pour axe une courbe tridimensionnelle, comme p.ex. certains escaliers en colimaçon;

barre: c’est une poutre droite, normalement à section constante, qui à la particularité d’avoir des rotules aux extrémités. Plaque: on appelle plaque un corps plan qui a une dimension, l’épaisseur, beaucoup plus petite que les deux autres. Une plaque est donc une structure plane qui peut être identifiée avec son plan moyen; c’est un corps bidimensionnel. Normalement, les plaques ont une épaisseur constant. Coque: on appelle coque un corps qui, comme une plaque, a une dimension, l’épaisseur, beaucoup plus petite que les deux autres, mais qui n’est pas plane.

Charpente: c’est une structure formée par un assemblage de poutres; le plus souvent, il s’agit de structures planes formées par des poutres droites. Treillis: ce sont des structures formées par des barres; tous les joints sont donc des rotules. Même dans ce cas il s’agit souvent de structures planes. Évidemment, des structures plus complexes peuvent être formées en combinant plusieurs types structuraux dans la même structure.

Classification statique des structures (1)
Une classification mécanique des structures concerne la relation entre une structure et les équation de la statique. On a vu en fait que les équations de la statique sont au nombre de 6 pour chaque corps rigide (3 pour les structures planes). Or, il y a en général trois cas possibles: le nombre d’équations de la statique est supérieur au nombre d’inconnues: la structure est statiquement impossible, ou hypostatique; le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues: la structure est statiquement déterminée ou isostatique; le nombre d’équations est inférieur au nombre d’inconnues: la structure est statiquement indéterminée ou hyperstatique.

Voyons un exemple pour mieux comprendre: une poutre appuyée (exemple plan, 3 degrés de liberté). Considérons d’abord le cas où la poutre est montée sur deux appuis simples: les inconnues sont 2, les deux réactions verticales, mais les équations 3: la structure est hypostatique. En fait, reste un degré de liberté, la translation horizontale, qui n’est pas empêché par les appuis. Il faut quand même souligner que cette structure peut être en équilibre, p. ex. si les forces sont verticales, mais elle ne sera pas automatiquement, toujours en équilibre, pour tout type d’action: à stricte rigueur, ce n’est pas une structure, mais un mécanisme! En fait, celle-ci c’est le cas d’une planche à roulette! Équilibre impossible: mouvement! Équilibre possible

Si maintenant un des deux appuis simples devient un appui fixe, les inconnues sont 3, les deux réactions verticales plus l’horizontale: la structure est isostatique. Cette structure assure toujours l’équilibre, pour tout type d’action appliquée. Si on ajoute un autre appui, les inconnues deviennent 4, mais les équations restent 3: on ne peut pas les déterminer avec les seules équations de la statique: la structure est hyperstatique et elle aussi, comme l’isostatique, assure toujours l’équilibre. Pour trouver les réactions dans ce cas, il faut abandonner le modèle de corps rigide et prendre en considération la déformabilité du corps: c’est le domaine de la mécanique des structures! ?

Chapitre 5 2. Résistance des Matériaux
Caractéristiques de la sollicitation Les équations d’équilibre des poutres La théorie de la poutre d’Euler-Bernoulli Le calcul des contraintes dans les poutres La stabilité élastique En arrière-plan: épures du pont Maria Pia sur le Douro, Porto (G. Eiffel, 1877).

Caractéristiques de la sollicitation (1)
La Résistance Des Matériaux (RDM) s’occupe du calcul des structures déformables. Le but essentiel est double: calculer les déformations d’une structure; calculer les contraintes dans une structure. Dans les deux cas, les résultats seront confrontés avec les valeurs admissibles, prescrits par la loi et par le type de matériau choisi. Considérons ici le cas de charpentes et de treillis, à savoir les structures constituées par des poutres ou des barres. La question est comment calculer déformations et contraintes à partir des forces appliquées? Nous allons considérer ceci dans le cas d’une poutre rectiligne de section constante.

Considérons donc une poutre dont on connaît les actions, y compris les réactions appliquées aux extrémités. Précisons que les réactions se calculent avec les équations de la statique, si la structure est isostatique, ou avec les méthode de la mécanique des structures, si la structure est hyperstatique. On verra après ce deuxième cas. Le cas le plus général est donc celui de figure (page suivante), qui représente aussi le schéma de calcul qu’on adopte ici (l’axe z passe par le barycentre de la section droite de la poutre). La clé pour comprendre ce qu’on va introduire est ce qu’on appelle l’Axiome de Séparation d’Euler: si le tout est en équilibre, chaque partie est en équilibre. Cet axiome semble une lapalissade, mais il nous permet d’introduire le concept de caractéristique de la sollicitation (ou action interne).

Le raisonnement implicite dans l’axiome de séparation est simple: la poutre est en équilibre sous l’action des forces appliquées et des réactions aux extrémités (en rouge); imaginons de couper en deux la poutre à l’abscisse z et de la séparer en deux parties, 1 et 2; comme la poutre est en équilibre, l’axiome de séparation nous garantie que chaque partie, 1 et 2, est encore en équilibre; considérons, p. ex., la partie 1: en général, les actions qui lui sont appliquées ne sont pas en équilibre, car elles formaient un système équilibré avec celles appliquées sur 2; M0 z y x R1 M1 R0 1 R(z) M(z) 2

ceci implique, par le PFS, que 1 ne peut pas être en équilibre (et de même pour 2), ce qui est en contradiction avec l’axiome de séparation; l’équilibre de 1 est donc garanti par l’existence d’autres forces, qui se transmettent de 2 à 1 à travers la surface de séparation: ce sont les actions internes (jaunes en figure); elles sont dues à la cohésion entre les parties matérielles de la poutre; avec toutes les actions appliquées à 1, elles forment un système équilibré; ceci nous permet de les calculer, à l’aide du PFS; par le PAR, les actions internes appliquées de la part de 2 sur 1 sont égales et contraires aux actions internes appliquées de la part de 1 sur 2.

Les forces de cohésion sont la résultante des contraintes internes agissantes sur la face de la section de séparation. Ces forces peuvent toujours se réduire à une force, R(z), appliquée en correspondance du barycentre de la section et à un moment, M(z). Elles sont fonction de l’ordonnée z car, évidemment, les actions qu’elles doivent équilibrer sont celles appliquées à la poutre entre l’extrémité z= 0 et l’ordonnée z. Or, il convient de décomposer ces deux vecteurs, R(z) et M(z), selon leurs composantes sur les trois axes. Ces composantes des actions internes s’appellent les caractéristiques de la sollicitation, qui sont donc au nombre de 6: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz. Ces composantes se calculent directement avec les PFS; comme celui-ci se décline en 6 équations, il est toujours possible de calculer les caractéristiques de la sollicitation par les équations d’équilibre de la statique.

Voyons de plus près ces caractéristiques de la sollicitation: les deux composantes Rx et Ry sont des forces orthogonales à l’axe de la poutre; elles s’appelles efforts tranchants, et sont normalement indiqués, respectivement, avec Tx et Ty; la composante Rz est parallèle à l’axe de la poutre et s’appelle effort normal, d’habitude indiqué avec N; cette force est positive si de traction (elle tend alors à allonger la poutre), négative si de compression (et alors elle tend à la rétrécir); les deux composantes Mx et My s’appellent moments fléchissants; ils tendent en fait à fléchir la poutre, autour respectivement de l’axe x et y; la composante Mz s’appelle moment de torsion, souvent indiqué par Mt; elle provoque la torsion de la poutre autour de l’axe z. M0 z y x Rx Mz R0 1 Rz Mx z y x Ry R(z) M(z) My

Les équations d’équilibre des poutres (1)
Les équations d’équilibre des poutres établissent le lien existant entre les actions appliquées et les caractéristiques de la sollicitation. Considérons, pour simplicité, le cas plan; il n’y a alors que trois caractéristiques de la sollicitation qui entrent en jeu: N, Mx et Ty; comme il n’y a pas d’ambiguïté, on les appellera N, M et T. Isolons alors un morceau de poutre de longueur infinitésimale dz, entre z et z+dz; la situation est celle de figure. N(z) N(z+dz) T(z) T(z+dz) M(z) M(z+dz) py(z) pz(z) z y dz z+dz En négligeant les termes d’ordre supérieur, le PFS appliqué au morceau en question donne les équations d’équilibre pour les poutres. Il s’agit d’équations différentielles qui lient les actions py et pz à N, M et T.

Équation de l’effort normal: Équation de l’effort tranchant: Équation du moment fléchissant: Cette dernière équation montre que T est la dérivée de M; si on la dérive on obtient aussi le lien directe entre la charge py et M:

Voyons un exemple classique: une poutre appuyée avec chargement uniforme. La constante d’intégration c1 se détermine en connaissant T(z=0), qui est évidemment la valeur de la réaction verticale à l’appui: Si on utilise la dernière équation, on détermine M(z): La constante c2 se détermine en connaissant M(z=0), qui est nul car on a un appui simple. Donc c2=0. p z y l

On peut donc tracer les diagrammes de T(z) et de M(z); ce dernier on peut le trouver directement en intégrant deux fois la dernière équation de page 21. Les diagrammes des caractéristiques sont très importants, car ils permettent aux ingénieurs, d’un simple coup d’œil, de voir quelles sont les endroit les plus sollicités d’une structure. C’est normalement le moment fléchissant qui détermine le dimensionnement d’une structure, car c’est celui qui d’habitude provoque les plus fortes contraintes. z T(z) M(z) A remarquer que p est la pente de T et T est la pente de M; donc si p est nul, T est constant et M est linéaire, si p est constant, T est linéaire et M est parabolique, comme c’est le cas en figure. En outre, M est max où T est nul.

Voyons des cas typiques: z F F z M(z) T(z)=F T(z) z z M(z) z p z p T(z) z M(z) Structure hyperstatique! (voir page 51) M(z) T(z) z

La théorie de la poutre d’Euler-Bernoulli (1)
Pour calculer le lien entre les actions appliquées et les déformations des poutres, il faut établir la façon dont la poutre se déforme sous l’action des forces appliqués. C’est ce qu’on appelle un modèle cinématique; la théorie classique pour les poutres droites est la théorie d’Euler-Bernoulli. Dans ce modèle la poutre se déforme, sous l’action du moment fléchissant, de sorte à ce que la section droite reste plane et orthogonale à l’axe moyen qui, lui, se déforme. Le seul paramètre géométrique qui décrit la déformée est alors la flèche, c’est-à-dire le déplacement vertical y de l’axe de la poutre. En HPP, la courbure de la déformée (ligne élastique) se confond avec la dérivée seconde de la flèche. Ici, on ne considérera, pour simplifier, que le cas de poutres rectilignes à section constante. p z y y

Dans ces hypothèse, on peut montrer que le lien entre M et y est le suivant: Donc, M est directement proportionnel à la courbure (approximée par la dérivée seconde de la flèche y), le coefficient de proportionnalité étant la rigidité à la flexion, EJ. E est le module d’Young du matériau dont la poutre est faite, tandis que J est le moment d’inertie de la section droite de la poutre par rapport à l’axe x (qui, on le rappelle, passe par le barycentre). Cette équation montre que la courbure est plus petite pour les poutres plus rigides. Ceci peut s’obtenir de deux façons: on utilise des matériaux rigides, ayant E grand, ou des sections rigides, ayant J grand (ou les deux, bien sûr!).

Le moment d’inertie d’une section augmente, à parité d’aire, avec l’éloignement du barycentre. Par exemple, pour une section rectangulaire d’aire donnée, on a Si on place la section avec le côté long (h) horizontal, alors Le rapport est Comme h>b, J1>J2; voilà pourquoi les poutres rectangulaires sont toujours avec le côté long en vertical. b h x y b h x y

Si l’on se rappelle que la dérivée de M est T, la dérivée de l’équation d’Euler-Bernoulli donne Finalement, par le lien entre T et py, par une dernière dérivation on obtient l’équation Celle-ci donne le lien entre le chargement et la flèche. Cette équation étant de 4ème ordre, elle nécessite de 4 conditions au contour (les deux extrémités) pour déterminer les 4 constantes d’intégration.

Un examen de l’équation d’Euler-Bernoulli montre que: sur les parties où M= 0, la courbure aussi est nulle: la poutre reste à axe rectiligne dans ces zones; si le M= const, même la courbure est constante; la seule courbe à courbure constante est un arc de cercle; donc, une poutre se déforme en un arc de cercle seulement lorsque M est contant et ceci, compte tenu de la relation avec T, se produit seulement lorsque T= 0, donc seulement si py=0; la poutre ne peut être chargée qu’avec des couples aux extrémités. Les équations vues permettent de calculer la déformée d’une poutre, même dans le cas hyperstatique. Le contrôle de la déformée est important dans la conception des structures; p. ex., pour une poutre on tolère une flèche max de l’ordre de l/400.

Quelques valeurs typiques de la flèche max sont: z F F z p p z z

Le calcul des contraintes dans les poutres (1)
Comme déjà dit, une des tâches de la RDM est celle de vérifier la structure en contrôlant la valeur de la contrainte. Il nous faut donc une méthode pour passer des caractéristiques de la sollicitation (qui sont, on le rappelle, la résultante des distributions de contraintes sur la section droite de la poutre) aux contraintes internes. Ce problème est connu sous le nom de Problème de Saint Venant, du nom du scientifique qui l’a résolu. Saint Venant a procédé de la manière suivante: il considère des poutres droites à section constante, qui sont sollicitées seulement en correspondance des extrémités; en particulier, il n’y a pas d’actions distribuées le long de l’axe (comme le poids propre, p. ex.); il considère un matériau élastique linéaire, homogène et isotrope et il se place en HPP.

En ce qui concerne les actions sur les bases, il admet que leur distribution ponctuelle n’a pas d’importance sur le résultat final; p. ex., pour une poutre soumise à seule action normale, que celle-ci soit concentrée sur une zone limité autour du barycentre des sections extrêmes ou qu’elle soit uniformément distribuée sur la section, n’a pas d’importance, pourvu que la résultante soit la même, à une distance suffisante de la section d’application (distance de l’ordre de la plus grande dimension transversale de la poutre): c’est le Principe de Saint Venant. Concrètement, ce Principe nous dit que les zones d’application du chargement sont des zones particulières, perturbées par la présence du chargement et à examiner à part, et que la solution «régulière» se trouve, indépendamment de la façon dont la charge est appliquée, à une distance suffisante de la section de chargement. ~d Zone de validité de la solution de Saint Venant d Zone perturbée, de diffusion de la charge

Saint Venant considère un cas de sollicitation à la fois: N, M, T, Mt: ce sont les sollicitations pures. Ensuite, par la linéarité du problème, il peut appliquer le Principe de Superposition des Effets (PSE): l’effet total est égal à la somme des effets des causes considérées comme agissantes séparément. Ainsi, il résout aussi les cas des sollicitations combinées, où il y a présence à la fois de N, M, T etc. Les résultats du Problème de Saint Venant sont ensuite appliqués aussi à des cas différents de ceux prévus, notamment pour les poutres courbes, à section variables, avec des forces distribuées.

En fait, l’expérience montre que l’utilisation des résultats du Problème de Saint Venant même dans ces cas est en très bon accord avec les résultats expérimentaux: les hypothèses faites sur la géométrie de la poutre et sur la distribution des actions extérieures n’affectent pas les résultats de façon sensible et la solution trouvée par Saint Venant est donc techniquement valable! La génialité de Saint Venant a donc été celle d’avoir su simplifier efficacement un problème très complexe et d’en avoir trouvé la solution, tout en ayant compris que la portée de ces résultats allait au delà du cadre théorique prévu et constituait la solution définitive du problème de la poutre: c’est un pas fondamental de l’ingénierie et un modèle pour la solution de nombreux autres problèmes.

Voyons donc les cas des sollicitations pures. Effort normal N: il produit la contrainte normale szz, indiquée normalement par s, uniformément distribuée sur la section droite (A: aire de la section droite): Moment fléchissant M: il produit la contrainte normale szz, distribuée de façon antisymétrique sur la section droite (Jxx est le moment d’inertie de la section droite par rapport à l’axe x et y est la distance depuis cet axe x, qui est barycentrique): C’est la formule de Navier, qui montre que la contrainte due à la flexion est plus grande sur les points de la section les plus éloignés du barycentre.

La contrainte de flexion diminue avec Jxx; a parité d’aire de la section droite, et donc de matière employée, Jxx augmente avec l’éloignement de la matière du barycentre, en direction y: c’est le principe de centrifugation de la matière: pour avoir une section efficace pour la flexion, il faut avoir la matière loin du barycentre (on l’avait déjà vu avec les équations de la déformée). C’est pour ça que les poutres en acier ont une section en I: ça permet, à parité de matière employée, d’éloigner au maximum la matière du barycentre, et donc de maximiser Jxx. y x A, J1 A, J2 y x

Effort tranchant T: il produit la contrainte tangentielle szy, indiquée la plus souvent par t, donnée par la formule de Jourawsky: Ici, Sxx est le moment statique par rapport à l’axe x de la portion de section droite au dessus du point où on calcule t et h est la largeur de la section au même endroit. Pour une section rectangulaire, cette formule devient Il faut se rappeler que, en réalité, la sollicitation pure d’effort tranchant n’existe pas, car, par les équations d’équilibre, T est toujours accompagné par M.

Torsion Mt: elle provoque une contrainte tangentielle t; dans le cas d’une section circulaire, pleine ou creuse, la mieux adaptée à la torsion, la solution est: Ici, r est la distance du centre et Jo est le moment d’inertie polaire de la section par rapport au centre; pour la section circulaire creuse, il est Cette formule est exacte et a la même structure de celle de Navier pour la flexion: la contrainte est plus forte sur les points les plus éloignés du centre. Pour des sections de forme différentes, on a des solutions approximées. On voit bien que la contrainte diminue si Jo augment: ceci s’obtient, a parité d’aire, donc de matière utilisée, en éloignant la matière du centre.

Voyons alors les diagrammes des contraintes sur une section droite dans des cas typiques (le s >0 sont celles de traction). Section rectangulaire soumise à N, M et T: Section en I (de même aire) soumise à N, M et T: Section circulaire creuse en torsion: + - + + - x y + = + + - + x y + = x y

Quelques observations sur ces résultats: la section rectangulaire convient pour N, M et T, mais pour M la meilleure section est celle en I; une section rectangulaire «verticale» convient pour M, mais pour T il vaut mieux la même section «horizontale»; la section circulaire creuse est la meilleure pour la torsion; d’autres bonnes sections sont celle tubulaires en général, alors qu’une section ouverte, comme celle en I, est absolument inefficace pour la torsion; les contraintes sM et t maximales ne se trouvent pas au même endroit: sM est max aux bords de la section, alors que t est max au centre; les contraintes s dues à N et M s’ajoutent directement, étant la même composante du tenseur de la contrainte, mais les t ne s’ajoutent pas aux s, car ce sont des composantes différentes.

Une fois les contraintes sur la section connues, on peut les confronter avec les contraintes admissibles, qui dépendent du matériau de la poutre et des prescriptions de loi. En fait, normalement on admet comme contrainte maximale la contrainte de la limité d’élasticité du matériau, sél: c’est-à-dire, on veut que la structure reste toujours en zone élastique, comme déjà dit au chapitre 3 (page 59). Or, pour faire face aux inévitables incertitudes, on ne prend pas sél comme limite, mais une fraction de celle-ci, appelé contrainte admissible, sadm: Le coefficient n s’appelle coefficient de sécurité; sa valeur est fixée par la loi (p. ex. pour les constructions en acier il vaut 1.5, ce qui veut dire que sadm est 2/3 de sél). Quelqu’un l’appelle aussi coefficient d’ignorance, car il sert à «effacer» les inévitables incertitudes.

Si les seules contraintes en jeu sont les contraintes normales, il n’y a pas de problème à vérifier la section, car on peut les confronter directement avec sadm. Mais s’il y a la contrainte t, on ne peut pas les confronter directement, car la valeur de comparaison est une contrainte normale. Dans ce cas on utilise un critère de résistance, qui transforme les contraintes s et t agissantes au même endroit en une contrainte factice, qu’on appelle contrainte idéale, sid. Le critère le plus employé est celui de Von Mises, pour lequel C’est un critère énergétique: cette formule est obtenue en limitant l’énergie de déformation liée au changement de forme de la poutre (chapitre 3, page 61).

Les concepteurs suivent donc la démarche suivante: calcul des réactions aux appuis: par le PFS ou le PTV, si la structure est isostatique, par une méthode du calcul structural si elle est hyperstatique (on le verra au paragraphe suivant); calcul des caractéristiques de la sollicitation; traçage des diagrammes des caractéristiques de la sollicitation; individuation des sections les plus sollicitées; calcul des contraintes en ces sections; calcul de la contrainte idéale maximale; vérification par confrontation avec la contrainte admissible. D’autres méthodes de vérification existent: ce sont des méthodes probabilistes, dans lesquelles on cherche à cerner plus précisément les incertitudes (sur les actions, les matériaux etc.): c’est l’approche fiabiliste (qu’on ne traitera pas ici).

La stabilité élastique (1)
Les poutres en compression sont soumises au phénomène de la stabilité élastique, qu’on a déjà considéré au chapitre 2 (page 100 et suivantes). Leonardo da Vinci avait eu l’intuition de l’existence de ce phénomène. Mais c’est un autre Leonard, Euler, qui en prouve l’existence et qui donne en 1744 la méthode mathématique pour le traiter ainsi que sa solution exacte. En fait, la charge maximale qu’une poutre en compression peut supporter avant que la configuration rectiligne devienne instable est donnée par la formule Ncrit est la charge critique eulérienne; Jmin est le plus petit moment d’inertie de la section droite de la poutre. z y z y

La stabilité élastique (2)
Ncrit donne la valeur de la charge de stabilité, qui est aussi celle de bifurcation de l’équilibre. Les poutres en compression (comme les piliers, les colonnes) doivent toujours être dimensionnées pour la stabilité, car c’est une situation beaucoup plus critique que le simple effort normal. A parité d’aire, la section qui maximise Ncrit est celle qui maximise Jmin, donc encore une fois c’est le principe de centrifugation de la masse qui joue: les sections les plus adaptées sont celles tubulaires, circulaires ou carrées. Le phénomène de la bifurcation/instabilité est très dangereux, car il n’est pas annoncé par des signes précurseurs: le changement de configuration est instantané et une fois la poutre courbée, elle est soumise, au centre, à un moment fléchissant, engendré par la déformation, si fort que la structure ne peut jamais le supporter: le résultat est inexorablement l’effondrement instantané de la construction.

Chapitre 5 3. Méthodes de calcul des structures Les treillis
Structures de poutres Plaques et coques Méthodes numériques modernes En arrière-plan: schémas de ponts en treillis de A. Palladio (I quattro libri dell’architettura, Venise, 1571).

Les treillis (1) Considérons ici le cas de treillis plans et isostatiques. Le calcul d’un treillis consiste à déterminer les réactions aux appuis et ensuite l’effort normal dans chaque barre. En fait, un treillis est une structure composée de barres, c’est-à-dire de poutres avec aux extrémités des rotules, et chargée seulement en correspondance des nœuds. Dans ce cas, les barres ne sont sollicitées qu’à effort normal, pas de T ni de M. Pour montrer comment on procède, considérons l’exemple en figure (page suivante): c’est un treillis isostatique avec des mailles identiques. Les réactions aux appuis: elles sont déterminées comme si le treillis n’était qu’un seul corps. Le PFS nous permet de les calculer. Ensuite, on remplace les appuis par les réactions correspondantes et on commence le calcul des efforts dans les barres.

Les treillis (2) l Le PFS donne les réactions aux appuis:
On imagine de supprimer les appuis et de les remplacer par les réactions, maintenant connues. Or, si l’on considère p. ex. le premier nœud, il y a une force appliquée, R1. P Alors, on peut décomposer cette force avec la règle du parallélogramme, selon les deux directions des barres, car les barres ne sont soumises qu’à effort axial. F h R1 R2 R3 l

Les treillis (3) Une fois trouvé la force dans une barre, on la «transporte» jusqu’à l’autre nœud et on la décompose selon les directions des autres barres qui partent du nœud. Ainsi on propage le calcul jusqu’à la dernière barre. Cette technique n’est possible que si le treillis est isostatique; en fait, si par exemple on arrive dans un nœud où il y a quatre barres qui arrivent, avec trois efforts inconnus, la décomposition n’est plus possible: le treillis est hyperstatique et il faut faire appel à d’autres méthodes. F P R1 R2 R3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 F N2 N3 N4 N1 N2 R1 …et ainsi de suite!

Structures de poutres (1)
Pour les structures de poutres isostatiques, la démarche générale a déjà été montrée au chapitre 2 (page 90). En fait, dans ce cas ce sont les méthodes de la statique, donc concernant les corps rigides, qui permettent de résoudre le problème de la recherche des réactions et du calcul des caractéristiques de la sollicitation. Intéressons nous ici au cas des structures hyperstatiques: dans ce cas, on a déjà remarqué que l’hypothèse de corps rigide doit être abandonnée pour pouvoir calculer les réactions surabondantes, ce qu’on appelle les inconnues hyperstatiques. Il existe pour cela plusieurs méthodes, toutes reconductibles au PTV, écrit pour les poutres déformables. On ne peut pas traiter ici ce genre de méthodes dans le détail, car il s’agit de méthodes plutôt compliquées. Toutefois, on peut en donner l’idée de base avec un exemple simple.

Considérons donc le cas de la poutre en figure. Il s’agit bien d’une structure hyperstatique, car elle a 4 réactions aux appuis; les équations de la statique étant 3, la structure est donc 1 fois hyperstatique. R1 R2 R3 R4 z p l A B Si alors on considère la poutre non plus comme un corps rigide, mais comme un corps élastique, on peut déterminer l’inconnue surabondante, p. ex. R4. Pour cela on élimine l’appui et on le remplace par sa réaction R4. La structure est maintenant isostatique (on a éliminé un degré de lien sur une structure 1 fois hyperstatique): on l’appelle la structure principale. Sur la structure principale agit une force, maintenant considérée comme active, qui est inconnue: R4, précisément.

Le raisonnement qu’on fait pour déterminer R4 est simple: la vraie structure, celle d’origine, a une flèche nulle en B; la structure principale sera équivalente à celle d’origine si la flèche en B est nulle; cette flèche est due à l’action de la charge distribuée, p, et de l’hyperstatique inconnue R4; la valeur de R4 est donc celle qui rend nulle la flèche en B; cette flèche peut se calculer grâce, p. ex., à l’équation d’Euler-Bernoulli, en utilisant le PSE: elle est la somme de la flèche due à p plus celle due à R4. p z B A R4 = p z z R4 +

Maintenant, si l’on revient à la structure d’origine, on connaît 3 inconnues sur 4, et le PFS permet donc de calculer les trois autres qui manquent. Autrement, on peut continuer à utiliser le PSE et dire que chaque grandeur (réaction, caractéristique de la sollicitation, flèche etc.) est la somme des deux contributions dues, dans la structure principale, à p et à R4. On trouve alors, très facilement, que Cet exemple montre que la prise en compte de l’élasticité de la structure est nécessaire pour trouver les inconnues hyperstatiques. Toutefois, dans les cas réels, normalement bien plus compliqués que ce simple exemple, cette méthode se révèle impraticable, car la solution de systèmes à grand nombre d’inconnues hyperstatiques devient trop lourd pour être fait de façon analytique: il faut faire appel à des méthodes numériques!

Plaques et coques Le calcul des plaques et des coques est une tâche très compliquée et ne peut pas être abordée dans ce contexte. La théorie classique des plaques est due à Kirchhoff, et généralise au cas plan bidimensionnel la théorie de la poutre d’Euler-Bernoulli. Ensuite, Love a étendu la théorie de Kirchhoff même au cas des coques. Des solutions analytiques sont connues pur un faible nombre de cas, particulièrement simples d’un point de vue géométrique. En règle générale, il faut faire encore appel à des méthodes numériques.

Méthodes numériques modernes (1)
L’avènement de l’ordinateur a provoqué l’épanouissement de ce qu’on appelle la mécanique numérique. Il s’agit de procédures de calcul des structures basées sur des méthodes d’approximation numérique des équations. La méthode la plus connue est la méthode des éléments finis. Dans cette méthode, l’objet, la structure, est décomposé en un certain nombre de parties élémentaires (les éléments finis) à l’aide d’un maillage. Le corps, physiquement continu, est donc discrétisé en un nombre fini d’éléments. Par conséquent, les équations différentielles aux dérivées partielles se transforment en un système d’équations algébriques, qu’on peut résoudre avec les techniques classiques de l’algèbre matricielle. Le type d’élément fini utilisé simule le comportement du matériau: il y a donc des éléments poutre, plaque, coque, 3D, isotrope, anisotropes, fluides etc.

Méthodes numériques modernes (2)
Ces nouvelles méthodes ont rendu possible ce qu’il semblait science fiction il y a seulement 30 ans, et aujourd’hui, avec la puissance des ordinateurs modernes, rien ne semble plus impossible!

Chapitre 5 4. Structures non résistant à la traction
Équilibre d’un bloc appuyé Équilibre d’un arc en pierre Le béton armé et le béton précontraint En arrière-plan: page du Codice Foster de Leonardo da Vinci avec l’étude des arcs.

Équilibre d’un bloc appuyé (1)
Un grand nombre de matériaux utilisés pour la construction des structures ont un comportement fragile et une résistance à la traction très petite. En outre, ils sont souvent fissurés; parfois les fissures sont microscopiques, mais suffisantes à réduire à zéro la résistance à la traction. C’est le cas des matériaux comme la pierre, le béton, les céramiques, la terre cuite. En plus, ce même problème se présente pour les corps appuyés directement l’un sur l’autre: le cas typique est celui des blocs de fondations, appuyés sur le terrain, ou des blocs de pierre des constructions antiques, comme les blocs des pyramides, ou des murs, colonnes et piliers des cathédrales. Dans tous ces cas, il faut une théorie capable de prédire les conditions d’équilibre de ces corps, qui seront dans la suite considérés comme rigides.

Considérons donc un bloc appuyé sur le sol; il est soumis à une force verticale et à une force horizontale. Entre le sol et le bloc il y a du frottement, avec un coefficient de frottement statique m. Le problème est double: dans quelles conditions on arrive à un état limite d’équilibre rigide? quelle est la distribution des contraintes de contact entre le bloc et le sol? Voyons comment répondre à ces deux questions. En ce qui concerne la première, il faut considérer que l’équilibre du bloc peut se rompre pour deux raisons: une rotation rigide ou un glissement. Examinons séparément ces deux conditions d’équilibre rigide.

D’abord la rotation rigide: elle se produit lorsque la résultante des deux forces sort de la base d’appui. En fait, en regardant la figure, la force verticale a un moment stabilisant par rapport au bord (point A), alors que celle horizontale a un moment déstabilisant: quand les deux moment sont de même valeur, on est à l’équilibre limite. En correspondance de cette condition, la force résultante passe par A; si la force horizontale augmente encore (ou celle verticale diminue), le bloc tourne autour de A. b La condition pour l’équilibre à la rotation est donc celle-ci: la résultante doit croiser la surface d’appui. Ceci est vrai pour tout type de surface et pour tout système de forces appliquées. Équilibre Équilibre limite Équilibre impossible A

On peut aussi étudier le problème en termes d’excentricité (e). L’excentricité est la distance qu’il y a entre le barycentre de la base et le point où la force verticale croise la base d’appui: Trouver l’excentricité est simple: M est le moment de toutes les forces par rapport au barycentre, N est la force verticale. En effet, le bloc peut être considéré, de façon équivalente, comme soumis aux forces effectives, ou à la résultante, verticale et horizontale, appliquée au barycentre plus le moment résultant, ou aux deux résultantes appliquées en un point distant e du barycentre (c’est le point où la résultante croise la base). La condition d’équilibre est donc: N T e N T N T M b

L’autre cause possible de rupture de l’équilibre rigide est le glissement. La seule action qui peut équilibrer une force horizontale appliquée au bloc est le frottement qui se produit à la surface de contact. C’est alors la loi de Coulomb qui détermine la condition d’équilibre (chapitre 2, page 65): T Donc, si T dépasse la valeur limite prévue par la loi de Coulomb, valeur qui est proportionnelle à la force verticale N, le bloc commence à glisser. N

Mais il y a encore quelque chose qu’il faut contrôler pour l’équilibre d’un bloc rigide appuyé: c’est la distribution des contraintes sur le sol. En fait, si les contraintes de contact entre le bloc et le sol sont trop fortes, il y a rupture mécanique du sol, ce qui provoque une rotation du plan d’appui (comme ils le savent bien à Pise…). La distribution des contraintes (pressions) de contact entre le bloc et le sol est celle typique d’un cas de section soumise à effort normale, N, et moment fléchissant, M: c’est donc une distribution linéaire (voir page 39). Le problème c’est que les contraintes de traction ne peuvent pas exister. Alors, pour une surface d’appui rectangulaire, on montre facilement que si le point d’application de la résultante est contenu dans le tiers central de la base, alors la section entière est en compression, mais en cas contraire on a de la traction.

Comme la traction ne peut pas exister, la section se partialise: une partie de la section d’appui est complètement déchargée. Donc, si a est la profondeur de la base, si e b/6, la section est totalement en compression et ; si e>b/6, la section est partialisée, seulement une partie est en compression, le reste est déchargé; la longueur active x sera x=6e et b/3 si e>b/2 l’équilibre est impossible, le bloc se met en rotation. Normalement, on souhaite que le section ne soit pas partialisée. En tout cas il faut que ce soit N N x

Équilibre d’un arc en pierre (1)
Reconsidérons le cas d’une poutre en flexion: les charges appliquées provoquent la naissance d’un moment fléchissant en tout point de la poutre; le moment fléchissant induit toujours des contraintes de signe opposé sur la section: compression et traction; l’équilibre de la poutre est donc possible seulement si le matériau est résistant à la traction, comme pour l’acier et le bois. Mais si on ne dispose pas de ces matériaux, comment on peut faire? p z y l z M(z) y x + -

En fait, la maîtrise de la fabrication de l’acier est un fait historiquement relativement récent (milieu du XIXème siècle). Pour ce qui concerne le bois, il n’est pas toujours disponible, surtout dans des dimensions appropriées (les troncs des arbres de grande longueur sont rares et chers). En plus, le moment fléchissant est la caractéristique de la sollicitation qui provoque les plus fortes contraintes dans le matériau: il est relativement facile atteindre les limites de la résistance à la rupture pour une poutre en bois. Donc, anciennement il ne restait plus que la pierre et les briques en argile comme matériau de construction. Mais ces deux matériaux ont une résistance à la traction faible, non fiable et en plus à la surface de contact entre deux pierres la résistance à la traction est rigoureusement nulle. Le problème qui s’est présenté aux anciens a donc été celui de couvrir des portées importantes (>34m) avec la pierre ou les briques.

Les égyptiens et les grecs n’avaient pas trouvé la solution à ce problème, ce qui conditionna fortement leur architecture: les temples égyptiens ou grecs ont des colonnes placées à des distances faibles, car les poutres sont en pierre. Ayant une résistance à la traction petite, pour éviter leur rupture il faut un faible moment fléchissant et donc des portées limitées (M augmente avec le carré de la portée!). Ceci n’évitait pas quelques problèmes! En figure: Parthénon (Vème siècle av. J. C.) et Temple de Karnak à Louxor (salle hypostyle, 1375 av. J. C.).. Poutre fissurée par rupture en traction.

La solution fut trouvée par les étrusques: c’est l’arc! L’arc est un dispositif capable de transformer une flexion en effort normal de compression. La pierre et les briques étant des matériaux bien résistant à la compression, on peut avec l’arc couvrir des portées plus importantes qu’avec une poutre en pierre ou même en bois, et surtout on peut supporter des charges beaucoup plus fortes. En plus, c’est une solution architecturale plutôt économique: elle peut utiliser des pierres de petite taille, ou des briques, beaucoup plus à bon marché (parce que moins rares et de coût de production moins grand) que les pierres taillées, ou même des troncs d’arbre, de grandes dimensions (qui en plus ont un coût de transport important). En figure: Porta all’Arco, Volterra (Vème siècle av. J. C.)

Mais comment et à quel prix un arc transforme une situation de flexion en une situation de compression? A savoir, quel est son principe de fonctionnement? Considérons un arc circulaire en pierre de taille; il est constitué par plusieurs blocs (claveaux ou voussoirs pour les voûtes) modelés selon la forme de l’arc et pour simplifier considérons qu’il n’y a pas de frottement entre un bloc et l’autre. Alors la force de contact entre deux blocs de l’arc est une force orthogonale à la surface de contact. Si cette surface de contact est orthogonale à l’arc, les forces de contact entre les blocs suivent la ligne moyenne de l’arc. Or, en général, la force de contact difficilement sera appliquée en correspondance de la ligne moyenne, elle aura une certaine excentricité, mais si celle-ci est inférieure à b/6, où b est l’épaisseur de l’arc, la section n’est pas partialisée.

Voyons donc tout ça sur une figure et pour simplifier encore, considérons que les forces extérieures appliquées à chaque bloc se réduisent à une seule force verticale. En commençant du bloc central, la clef de voûte, on décompose la force en deux forces orthogonales aux surfaces de contact du bloc: ce sont les forces que la clef transmet au reste de l’arc. Ensuite, on passe aux deux blocs à côté de la clef et on trouve la force de contact sur le bloc suivant comme résultante de la force précédente et de la force directement appliquée au bloc. En procédant ainsi, on trouve toutes les forces de contact entre les blocs. L’arc constitue donc une espèce de guidage de la force à travers une ligne donnée. Clef de voûte Sommier Voussoir

Or, cette déviation de la force à travers la ligne de l’arc se fait au prix d’une force horizontale, la poussée de l’arc, qui se retrouve en bas. La présence de cette force se comprends facilement si on ne regard qu’une moitié de l’arc: la composante horizontale de la force de contact transmise par la clef de voûte doit être équilibrée en bas de l’arc par une force égale et contraire. Donc l’arc est une structure avec poussée horizontale. Cette force horizontale doit être équilibrée à la base de l’arc par une autre force. Une façon simple d’annuler cette force est celle d’utiliser un tirant qui lie les deux extrémités de l’arc. Mais ce n’est pas la seule façon d’annuler la poussée…

En fait, cette poussée s’équilibre automatiquement s’il y a d’autres arcs identiques à côté; dans ce cas, il faut mettre un tirant seulement aux arcs qui se trouvent aux extrémités. Une autre façon est celle d’épauler l’arc par des contreforts, de sorte à ce que la résultante des forces tombe à l’intérieur de la base du contrefort.

La poussée horizontale dépend de la géométrie de l’arc et des forces appliquées. En particulier, la poussée horizontale diminue avec l’hauteur de l’arc: à parité de portée, les arcs plus hauts poussent moins des arcs bas. L’équilibre de la poussée horizontale est fondamental: un écartement des extrémités de l’arc dû à la poussée fait inexorablement écrouler l’arc. En fait, dans ce cas la clef de voûte, qui est l’élément qui garantit l’équilibre de l’arc, se déplace et l’arc se désagrège et s’effondre.

Un problème important est la conception de l’arc: il faut faire en sorte que les forces de contact entre les blocs passent à l’intérieur de la section de contact, ou mieux encore dans le tiers central, pour garantir l’équilibre. Beaucoup de méthodes ont été proposées dans le temps par différents auteurs (Coulomb, Bossut, Mascheroni etc.). Une règle grossière, déjà introduite par Leonardo da Vinci c’est que la corde des demi arcs extérieurs ne doit pas toucher l’arc intérieur. Leonardo avait étudié de façon empirique l’arc, qui avait défini comme: Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze (arc ce n’est qu’une force causée par deux faiblesses). Les deux faiblesses de Leonardo ce sont les deux demi arcs, qui seulement ensemble sont capables de garantir l’équilibre et cela par leur mutuelle opposition.

Le béton armé et le béton précontraint (1)
A part l’arc, il y a une autre façon d’utiliser en flexion un matériaux non résistant à la traction: c’est le béton armé. Le béton est une pierre artificielle, constituée de ciment, eau, sable et gravier. Les avantages du béton sont multiples: il est un matériau à bon marché, de réalisation facile, de bonne limite à la rupture, résistant bien au feu et qui protège l’acier contre la corrosion. En plus, le béton est préparé en phase fluide et peut être coulé dans des coffrages auxquels on peut donner les formes les plus variées, ce qui permet des prouesses architecturales impossibles avec les autres matériaux. En figure: Sidney Opera House (1973) et Chiesa di San Giovanni Battista (Firenze, 1964).

Le seul problème du béton est que sa résistance à la traction est pratiquement nulle. La solution, inventée en France à la fin du XIXéme siècle, est le béton armé: il s’agit d’insérer dans la coulée des barres d’acier là où la flexion de la poutre va produire des tractions. Une fois que le béton a fait prise, béton et acier forment un tout unique. Ainsi, le béton prends en charge les contraintes de compression et l’acier celles de traction. zone en compression p s dans le béton force dans les barres barres d’acier M(z)

Une autre idée pour utiliser le béton comme matériau de construction est le béton précontraint. Si le béton ne peut pas supporter les contraintes de traction engendrées par la flexion, on précomprime le béton, de sorte à ce que la superposition de flexion et précompression permette d’annuler les tractions sur la section. Cette précompression s’obtient en tirant avec des vérins hydrauliques des câbles d’acier à haute résistance qui passent dans des tubes noyés dans le béton. Une fois les câbles tirés, ils sont ancrés à la poutre, ce qui permet de transférer au béton la traction de l’acier sous forme de compression, par le PAR. p + - - - N + = Câbles de précontrainte M(z)

L’avantage du béton armé précontraint par rapport au béton armé normal est qu’il permet de couvrir de plus grandes portées (>100 m) et de supporter de plus fortes charges. Il est ainsi utilisé essentiellement dans la construction de ponts, viaducs, couvertures de grande portée (stades, gares, palais du sport, etc.). En figure: Pont de Maracaibo (R. Morandi, 1962).

Chapitre 5 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet
En arrière-plan: page du Codice Atlantico de Leonrdo da Vinci avec l’étude de la stabilité des colonnes.

En librairie… J. E. Gordon: Structures, or why things don’t fall down (livre indispensable pour s’amuser à apprendre la mécanique des structures, plein d’anecdotes et d’humour anglais; probablement il existe une traduction française). E. Benvenuto: La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico. Sansoni, 1981 (en italien). S. P. Timoshenko: Résistance des matériaux, vol 1 et E. Benvenuto: Introduction to the history of structural mechanics. Springer, 1991. J. E. Gordon: Structures et matériaux : l'explication mécanique des formes. Ed. Belin, 1996.

…et sur Internet J. Garrigues: Statique des poutres élastiques. Document à télécharger à l’adresse, mrs.fr/poutre.html, 1999. Y. Debard: Résistance des matériaux. Visiter le site lemans.fr/gmp/cours/rdmyd/, 2001. P. Bouillard: Mécanique des structures et résistance des matériaux. Visiter le site J. F. Remacle: Mécanique des structures. Visiter le site

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