Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D I J A.

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1 Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D I J A B C

2 Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D I J A B C

3 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I J
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I J A B C

4 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J A B C

5 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J Quelle modification de l’énoncé permettrait de A B déterminer X ? C

6 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J Quelle modification de l’énoncé permettrait de A B déterminer X ? Si J était sur une arête. C

7 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J Quelle modification de l’énoncé permettrait de A B déterminer X ? Si J était sur une arête. Déplaçons J en J’ sur (DC). C Selon quelle translation ?

8 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J Quelle modification de l’énoncé permettrait de A B déterminer X ? Si J était sur une arête. Déplaçons J en J’ sur (DC). C Selon quelle translation ? Quelle translation aurait une propriété que l’on pourrait utiliser ?

9 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J Quelle modification de l’énoncé permettrait de A B déterminer X ? Si J était sur une arête. Déplaçons J en J’ sur (DC). C Selon quelle translation ? Quelle translation aurait une propriété que l’on pourrait utiliser ? la parallèle à (CB) !

10 ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire )
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. ( cas général, voir les exos précédents dans le cas contraire ) I La droite (IJ) ne croise aucune des droites vertes du plan (ABC). J Quelle modification de l’énoncé permettrait de A B déterminer X ? Si J était sur une arête. Déplaçons J en J’ sur (DC). C Selon quelle translation ? Quelle translation aurait une propriété que l’on pourrait utiliser ? la parallèle à (CB) ! Si J était en J’, X serait en X’ ; on va déterminer X’ puis déplacer J’ en J : X sera en la nouvelle position de X’ !

11 Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. I J J’ A B
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. I J J’ A B C

12 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J J’ A B
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J J’ A B C X’

13 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J La parallèle à une droite d’un plan en un point du plan est dans le plan. J’ Donc la // ( nommée d ) à (CB) en X’ est dans (ABC). A B C X’

14 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J La parallèle à une droite d’un plan en un point du plan est dans le plan. J’ Donc la // ( nommée d ) à (CB) en X’ est dans (ABC). A B Et la // à (JJ’) en X’ est dans (IJJ’). C X’

15 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J La parallèle à une droite d’un plan en un point du plan est dans le plan. J’ Donc la // ( nommée d ) à (CB) en X’ est dans (ABC). A B Et la // à (JJ’) en X’ est dans (IJJ’). Comme (JJ’) // (AB), et X’ ϵ à ces 2 plans, C ces 2 // sont les mêmes. X’

16 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J La parallèle à une droite d’un plan en un point du plan est dans le plan. J’ Donc la // ( nommée d ) à (CB) en X’ est dans (ABC). A B Et la // à (JJ’) en X’ est dans (IJJ’). Comme (JJ’) // (AB), et X’ ϵ à ces 2 plans, C E ces 2 // sont les mêmes. d ϵ à l’intersection de (IJJ’) et (ABC), donc tous ses points aussi, comme le pt E, X’ intersection de (IJ) et d.

17 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J La parallèle à une droite d’un plan en un point du plan est dans le plan. J’ Donc la // ( nommée d ) à (CB) en X’ est dans (ABC). A B Et la // à (JJ’) en X’ est dans (IJJ’). Comme (JJ’) // (AB), et X’ ϵ à ces 2 plans, C E ces 2 // sont les mêmes. d ϵ à l’intersection de (IJJ’) et (ABC), donc tous ses points aussi, comme le pt E, X’ intersection de (IJ) et d. E ϵ à (IJ) et à d, qui est dans (ABC), donc E ϵ X.

18 I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D Le plan et la droite ne sont pas parallèles, donc X est un unique point. Soit la parallèle à (CB) en J : elle croise (DC) en J’. (IJ’) et (AC) sont I coplanaires et non parallèles donc sécants en un point X’. J La parallèle à une droite d’un plan en un point du plan est dans le plan. J’ Donc la // ( nommée d ) à (CB) en X’ est dans (ABC). A B Et la // à (JJ’) en X’ est dans (IJJ’). Comme (JJ’) // (AB), et X’ ϵ à ces 2 plans, C E ces 2 // sont les mêmes. d ϵ à l’intersection de (IJJ’) et (ABC), donc tous ses points aussi, comme le pt E, X’ intersection de (IJ) et d. E ϵ à (IJ) et à d, qui est dans (ABC), donc E ϵ X X = 1 unique pt, donc X = E

19 D 2ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D. I (DJ) et (CB) coplanaires dans (DCB) J et non parallèles, donc sécantes en 1 pt X’. A B C X’

20 D 2ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D. I (DJ) et (CB) coplanaires dans (DCB) J et non parallèles, donc sécantes en 1 pt X’. A B I’ retourne en I. C X’ Comment X’ retourne en X ?

21 D 2ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D. I (DJ) et (CB) coplanaires dans (DCB) J et non parallèles, donc sécantes en 1 pt X’. A B (AX’) et (IJ) coplanaires dans (DJA) et non parallèles, donc sécantes en 1 pt E. C X’ E

22 D 2ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D. I (DJ) et (CB) coplanaires dans (DCB) J et non parallèles, donc sécantes en 1 pt X’. A B (AX’) et (IJ) coplanaires dans (DJA) et non parallèles, donc sécantes en 1 pt E. C X’ E E ϵ (AX’) donc à (ABC), et E ϵ (IJ), donc E ϵ X

23 D 2ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D.
Exercice 4 : I est un point sur l’arête, et J un point de la face DCB du tétraèdre. Déterminez l’intersection ( nommée X ) de (IJ) et (ABC). D ème méthode : au lieu de déplacer J en J’, on peut déplacer I en D. I (DJ) et (CB) coplanaires dans (DCB) J et non parallèles, donc sécantes en 1 pt X’. A B (AX’) et (IJ) coplanaires dans (DJA) et non parallèles, donc sécantes en 1 pt E. C X’ E E ϵ (AX’) donc à (ABC), et E ϵ (IJ), donc E ϵ X X = 1 unique pt, donc X = E