A propos des équations... Un premier exemple simpliste :

Présentation au sujet: "A propos des équations... Un premier exemple simpliste :"— Transcription de la présentation:

1 A propos des équations... Un premier exemple simpliste :
« Johann prête trois billets de même valeur à Martin. Une semaine plus tard, Martin rembourse 15 euros à Johann. De quelle sorte de billets s'agissait-il ? » La réponse est évidente : trois billets de 5 euros. On trouve 5 par division (15 / 3 = 5). En terme d'équation : si on note x la valeur d'un billet alors on a : 3 x = 15 ce qui donne : x = 15 / 3 = 5. Pour éliminer la multiplication par 3, on divise par 3.

2 A propos des équations... Deuxième exemple simpliste :
« J'ai un certain nombre de cahiers dans mon sac. J'en rajoute 3, ce qui m'en fait 7. Combien de cahiers y avait-il au départ ? » La réponse est évidente : 4 cahiers. On trouve 4 par soustraction (7 – 3 = 4). En terme d'équation : si on note x le nombre initial de cahiers alors on a : x + 3 = 7 ce qui donne : x = 7 – 3 = 4. Pour éliminer l'addition par 3, on soustrait 3.

3 A propos des équations... Exemple un peu plus compliqué :
« Avec 17 mètres de grillage, on souhaite délimiter un rectangle dont un des côtés mesure 3 mètres. Comment faire ? » La réponse est moins évidente. En terme d'équation : soit x le côté inconnu alors on a : 2 x + 6 = 17 ce qui donne : 2 x = 17 – 6 = 11 (élimination du +6) puis x = 11 / 2 = 5,5 (élimination du 2 ´) 3

4 A propos des équations... Encore un peu plus compliqué (en principe) :
« J'ai 5 m² de parquet et je souhaite couvrir une pièce de forme carrée. Quel doit être la longueur du côté de ce carré ? » La solution ne peut pas être obtenue par des opérations simples (division, soustraction...). On la note . En terme d'équation : soit x le côté inconnu alors on a : x ² = 5 ce qui donne : x = 2 2 ´ 2 = 4 3 3 ´ 3 = 9 2,5 2,5² = 6,25 2,2 2,2² = 4,84 2,3 2,3² = 5,29 ……

5 Petit histoire des équations
Environ – 2000 avant JC : chez les babyloniens et les égyptiens, résolution de problèmes du premier et second degré (géométrie). 4ème siècle après JC : Diophante (grec) : un précurseur de l'algèbre. Environ 820 après JC : Al-Khwârizmî donne des méthodes générales pour résoudre les équations du 1er et 2nd degré. On lui doit les mots « algorithme », « algèbre » et la diffusion des chiffres indiens en occident.

6 Petit histoire des équations
Problème d'Al Khwarizmi tiré de « Kitab al- Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wa al-Muqàbala » « Un bien et dix de ses racines égalent trente-neuf dirhams ». En termes modernes : x² + 10 x = 39.

7 Méthode (algorithme) x² + 10 x = 39
« Son procédé de résolution consiste à diviser les racines par deux, et c'est cinq dans ce problème. Tu le multiplies par lui-même et ce sera vingt- cinq. Tu l'ajoutes à trente-neuf. Cela donnera soixante-quatre. Tu prends alors sa racine carrée qui est huit et tu en retranches la moitié [du nombre] des racines qui est cinq. Il reste trois et c'est la racine que tu cherches et le carré est neuf. » 10 ÷ 2 = 5 5 × 5 = 25 = 64 √ 64 = 8 8 – 10 ÷ 2 = 3 Donc x = 3 (et x² = 9).

8 Petit histoire des équations
Renaissance italienne (XVème – XVIème) : résolution de l'équation de degré 3 (par exemple : x3 + 5 x = 6) par Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia et Girolamo Cardano. Une solution de x3 + p x = q :

9 Petit histoire des équations
Résolution de l'équation de degré 4 par Lodovico Ferrari, élève de Cardan. Exemple : x4 + 8 x – 5 = 0 a quatre solutions dont :

10 L'écriture symbolique François Viète (1591), remplace les phrases par des écritures symboliques : l'inconnue, qui s'appelait avant « la chose » (« chay » en arabe, « xay » en espagnol) est désignée par une lettre ; les opérations +, – , x et / sont utilisées ; Exemple : « 5 choses plus 12 font 20 » devient 5 in A + 12 aequatur 20 pour 5 x + 12 = 20 Robert Recorde (1557) : invention du =

11 L'écriture symbolique Écriture d'une même équation :
(source :

12 Petit histoire des équations
Niels Henrik Abel (1821) : impossible de résoudre par le calcul les équations de degré cinq. Evariste Galois : impossible de résoudre par le calcul les équations de degré supérieur à cinq.