Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% des élèves mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine.

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1 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% des élèves mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. 2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U C et donnez leurs probabilités. Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un angliciste ? Quelle est la probabilité de tomber parmi les anglicistes sur quelqu’un ne mangeant pas à la cantine ? 3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire un élève au hasard, puis après l’avoir remis dans la cour on tire au hasard un 2ème élève. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité. 4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ? 5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu. 6°) On tire 3 élèves au hasard. Quelle devrait être la mise pour que le jeu soit équitable ? 7°) On tire 2 élèves au hasard et on mise 1 €. Pour quel nombre d’élèves du lycée ne mangeant pas à la cantine le jeu serait favorable à l’organisateur ?

2 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% des élèves mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre.

3 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A on place les données de C l’énoncé dans le tableau. C

4 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A on complète C par addition ou soustraction. C

5 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C C

6 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes C

7 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C

8 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C

9 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C

10 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C

11 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C

12 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C C A C

13 Exercice 1 : Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine. 1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un arbre. A A lycée C anglicistes cantine C 580 C A 700 A C C A 300 A C et aussi C A 80 C A

14 Exercice 1 : 2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U B et donnez leurs probabilités. A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas angliciste et mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22 A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92

15 Exercice 1 : 2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U B et donnez leurs probabilités. A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas angliciste et mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22 A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92 Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un angliciste ?

16 Exercice 1 : 2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U C et donnez leurs probabilités. A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas angliciste et mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22 A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92 Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un angliciste ? p = 580 / 800 = 0,725

17 Exercice 1 : 2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U C et donnez leurs probabilités. A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas angliciste et mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22 A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou mange à la cantine ». On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92 Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un angliciste ? p = 580 / 800 = 0,725 Quelle est la probabilité de tomber parmi les anglicistes sur quelqu’un ne mangeant pas à la cantine ? p = 120 / 700 = 12/70 = 6/35 ≈ 0,1714…

18 Exercice 1 : 3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité. 0,3 A 0,3 A 0,7 A Le 1er élève est remis dans la cour, 0,7 A 0,3 A donc il s’agit d’un tirage 0,7 A avec remise.

19 Exercice 1 : 3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité. mise 1 € 0,3 A 4 € gagnés valeurs xi 0,3 A 0,7 A 2 € p( X = xi ) 0,49 0,7 A 0,3 A 2 € gain global = 0 – 1 = - 1 0,7 A 0 € 0,7 × 0,7 = 0,49

20 Exercice 1 : 3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité. mise 1 € ,3 A 4 € gagnés valeurs xi 0,3 A 0,7 A 2 € p( X = xi ) 0, ,09 0,7 A 0,3 A 2 € 0,7 A 0 € 0,3 × 0,3 = 0,09

21 Exercice 1 : 3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité. mise 1 € ,3 A 4 € gagnés valeurs xi 0,3 A 0,7 A 2 € p( X = xi ) 0,49 0,42 0,09 0,7 A 0,3 A 2 € 0,7 A 0 € 0,3 × 0,7 + 0,7 × 0,3 = 0,42

22 Exercice 1 : 3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité. mise 1 € ,3 A 4 € gagnés valeurs xi 0,3 A 0,7 A 2 € p( X = xi ) 0,49 0,42 0,09 0,7 A 0,3 A 2 € 0,7 A 0 € 4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ? E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 € E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur, donc OUI.

23 Exercice 1 : σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ]
4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ? E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 € E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. Réponse : OUI. 5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu. σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ] = √ [ 0,49 (-1)² + 0,42 (1)² + 0,09 (3)² - 0,20² ] = √ 1,68 valeur exacte ≈ 1, valeur approchée

24 Exercice 1 : 4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ? E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 € E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. Réponse : OUI. 5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu. σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ] = √ [ 0,49 (-1)² + 0,42 (1)² + 0,09 (3)² - 0,20² ] = √ 1,68 ≈ 1,296

25 Exercice 1 : 4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ? E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 € E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. Réponse : OUI. 5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu. σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ] = √ [ 0,49 (-1)² + 0,42 (1)² + 0,09 (3)² - 0,20² ] = √ 1,68 ≈ 1,296 -1, ,5