1. La moyenne arithmétique ( )

1. La moyenne arithmétique ( )
Données : 5 femmes ont été interrogées à propos du nombre d’enfant(s) qu’elles ont Combien de femmes interrogées ? Données groupées ou pas ? La question : nombre moyen d’enfants par femme ( ) ? Calcul : au total, combien d’enfants ? 20 = calcul de la moyenne : aucune surprise ! femme (i) enfants/femme (xi) 1 2 3 8 4 5

Calcul : 2 idées à retenir pour la suite : répartition équitable entre les « i » sous observation : diviser 20 par 5 = répartir équitablement les enfants entre les femmes vérification : si pour les 5 femmes, au total, cela fait 5 * 4 = 20 enfants total de 20 trouvé avec les données observées respecté  OK Formule (dite « simple ») : si 5 observations : si « n » observations : FORMULE Générale

Calcul : 2 idées à retenir pour la suite : répartition équitable entre les « i » sous observation : diviser 20 par 5 = répartir équitablement les enfants entre les femmes vérification : si pour les 5 femmes, au total, cela fait 5 * 4 = 20 enfants total de 20 trouvé avec les données observées respecté  OK Formule (dite « simple ») : si les 5 observations : si « n » observations : FORMULE Générale

Formule pondérée par les effectifs : 20 femmes interrogées (cf. tableau 3.1, p. 28) Lecture des données : 1re ligne : pour 3 femmes, la descendance est de 0 (pas d’enfant) 2e ligne : pour 6 femmes, on sait que la variable vaut 3 enfants 3e ligne : 35% des valeurs observées = 4 enfants Question : quelle est la descendance moyenne parmi les 20 femmes ? Formule simple : 1re parenthèse = la 1re ligne : 3 femmes sans enfant 2e parenthèse = la 2e ligne : 6 femmes avec 3 enfants p « xp » « np » « fp » 1 3 0,15 2 6 0,30 4 7 0,35 0,20 Total - 20 1,00 ou 100%

Formule pondérée par les effectifs : 20 femmes interrogées (cf. tableau 3.1, p. 28) Lecture des données : 1re ligne : pour 3 femmes, la descendance est de 0 (pas d’enfant) 2e ligne : pour 6 femmes, on sait que la variable vaut 3 enfants 3e ligne : 35% des valeurs observées = 4 enfants Question : quelle est la descendance moyenne parmi les 20 femmes ? Formule simple : 1re parenthèse = la 1re ligne : 3 femmes sans enfant 2e parenthèse = la 2e ligne : 6 femmes avec 3 enfants etc. p « xp » « np » « fp » 1 3 0,15 2 6 0,30 4 7 0,35 0,20 Total - 20 1,00 ou 100%

Formule pondérée par les effectifs (cf. tableau 3.1) Interprétation : en moyenne, chacune des 20 femmes a 3,5 enfants/femme (fiction de l’égalité) sens concret <> sens mathématique si ailleurs, la moyenne = 2,8 efts/f, c’est moins que dans le cas calculé ! p « xp » « np » « fp » 1 3 0,15 2 6 0,30 4 7 0,35 0,20 Total - 20 1,00 ou 100%

Formule pondérée par les effectifs (cf. tableau 3.1) Interprétation : en moyenne, chacune des 20 femmes a 3,5 enfants/femme (fiction de l’égalité) sens concret <> sens mathématique si ailleurs, la moyenne = 2,8 efts/f, c’est moins que dans le cas calculé !

Formule pondérée par les fréquences (cf. tableau 3.1) Simples, pondérées par les np ou les fp : 3 formules « équivalentes » il n’y a pas une bonne et des mauvaises avec les mêmes données donnent les mêmes résultats (3,5 e/f dans l’exemple) à choisir selon les circonstances : si observations et formule simple… si crainte des effets d’arrondis, plutôt pondérée par les effectifs que par les fréquences

Formule pondérée par les fréquences (cf. tableau 3.1) Simples, pondérées par les np ou les fp : 3 formules « équivalentes » il n’y a pas une bonne et des mauvaises avec les mêmes données donnent les mêmes résultats (3,5 e/f dans l’exemple) à choisir selon les circonstances : si observations et formule simple… si crainte des effets d’arrondis, plutôt pondérée par les effectifs que par les fréquences p « xp » « np » « fp » 1 3 0,15 2 6 0,30 4 7 0,35 0,20 Total - 20 1,00 ou 100%

Formule pondérée par les fréquences (cf. tableau 3.1) Simples, pondérées par les np ou les fp : 3 formules « équivalentes » il n’y a pas une bonne et des mauvaises avec les mêmes données donnent les mêmes résultats (3,5 e/f dans l’exemple) à choisir selon les circonstances : si observations et formule simple… si crainte des effets d’arrondis, plutôt pondérée par les effectifs que par les fréquences

2. Un 2e type de moyenne

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2, p. 29) le 1er janvier de chaque année à 0 heure, décompte de la population entre le 01/01/91 et le 01/01/92, l’année 1991 s’écoule et… la population passe de à 1.100 la population a été multipliée par 1,10 : 1.100/1.000 = 1,10 le coefficient multiplicateur de 1991 (CM91) = 1,10 : * 1,10 = 1.100 Même procédure pour trouver CM92 et CM93 Questions ? Date Population Année (i) CMi (xi) 1/1/91 1.000 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1/192 1.100 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1/1/93 1.320 1993 1,05 (=1.386/1.320) 1/1/94 1.386

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2, p. 29) le 1er janvier de chaque année à 0 heure, décompte de la population entre le 01/01/91 et le 01/01/92, l’année 1991 s’écoule et… la population passe de à 1.100 la population a été multipliée par 1,10 : 1.100/1.000 = 1,10 le coefficient multiplicateur de 1991 (CM91) = 1,10 : * 1,10 = 1.100 Même procédure pour trouver CM92 et CM93 Questions ? Date Population Année (i) CMi (xi) 1/1/91 1.000 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1/1/92 1.100 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1/1/93 1.320 1993 1,05 (=1.386/1.320) 1/1/94 1.386

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2, p. 29) le 1er janvier de chaque année à 0 heure, décompte de la population entre le 01/01/91 et le 01/01/92, l’année 1991 s’écoule et… la population passe de à 1.100 la population a été multipliée par 1,10 : 1.100/1.000 = 1,10 1,10 = le coefficient multiplicateur de 1991 (CM91) : * 1,10 = 1.100 Même procédure pour trouver CM92 et CM93 Questions ? Date Population Année (i) CMi (xi) 1/1/91 1.000 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1/1/92 1.100 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1/1/93 1.320 1993 1,05 (=1.386/1.320) 1/1/94 1.386

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2) le CM est connu pour 3 années (= la variable est connue pour 3 « i ») question : que vaut le CM moyen ? avant, manipulations de base avec le CM : 1.100 = * 1,10 P1/1/92 = P1/1/91 * CM91 P1/1/93 = P1/1/92 * CM92 = P1/1/91 * CM91 * CM92 P1/1/93 = P1/1/93 * CM93 = P1/1/91 * CM91 * CM92 * CM93 = P1/1/91 * x1 * x2 * x3 = * 1,10 * 1, * 1,05 = 1.386 Année (i) CMi (xi) 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1993 1,05 (=1.386/1.320)

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2) le CM est connu pour 3 années (= la variable est connue pour 3 « i ») question : que vaut le CM moyen ? avant, manipulations de base avec le CM : 1.100 = * 1,10 P1/1/92 = P1/1/91 * CM91 P1/1/93 = P1/1/92 * CM92 = P1/1/91 * CM91 * CM92 P1/1/94 = P1/1/93 * CM93 = P1/1/91 * CM91 * CM92 * CM93 = P1/1/91 * x1 * x2 * x3 = * 1,10 * 1, * 1,05 = 1.386 Année (i) CMi (xi) 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1993 1,05 (=1.386/1.320)

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2) Calcul du CM moyen 1re idée : la formule arithmétique . Ne pas oublier de vérifier : si les xi sont replacer par , la population doit passer de à en 3 ans ! 1.000 * (1,1167 * 1,1167 * 1,1167) = * 1,11673 = ,5 ≠  PROBLÈME ! Année (i) CMi (xi) 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1993 1,05 (=1.386/1.320) Si chaque année le même CM, on ne retrouve pas les données de départ !

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.2) Calcul du CM moyen 2e idée : la formule géométrique (que l’on peut démontrer) . Ne pas oublier de vérifier : si les xi sont replacer par , la population doit passer de à en 3 ans ! 1.000 * (1,1149 * 1,1149 * 1,1149) = * 1,11493 = ,8 ≠ par effet d’arrondis ! Année (i) CMi (xi) 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1993 1,05 (=1.386/1.320) Si chaque année le même CM, on retrouve BIEN les données de départ !

2. Un 2e type de moyenne Les données : évolution de la population d’une localité (cf. tableau 3.) Calcul du CM moyen 2e idée : la formule géométrique (que l’on peut démontrer) Généralisation : avec Année (i) CMi (xi) 1991 1,10 (=1.100/1.000) 1992 1,20 (=1.320/1.100) 1993 1,05 (=1.386/1.320)

2. Un 2e type de moyenne Formules pondérées (données : tableau 3.3.a, p. 30) Simple, pondérée par np ou fp : 3 formules équivalentes, etc. !

2. Un 2e type de moyenne Formules pondérées (données : tableau 3.3.a, p. 30) Simple, pondérée par np ou fp : 3 formules équivalentes, etc. ! p xp np fp 1 1,012 0,10 2 1,018 3 1,020 4 0,40 1,023 0,30 5 1,030 Total - 10 1,00 ou 100%

2. Un 2e type de moyenne Formule géométrique : un raccourci sympa ! (p. 31) Calcul franchement simplifié ! Une 3e type de moyenne !

3. Un 3e type de moyenne Tous les enfants d’un village ont été interrogés : combien d’efts a ta maman ? Données (tableau 3.3.b) Unités sous observation ? À qui a-t-on poser des questions ? Variable sous observation ? Quelle question posée ? Données groupées ou pas ? Titres des colonnes : np, p et xp Quel est le nombre moyen d’enfants par femme ? (p) enfants/femme (xp) enfants (np) 1 2 6 3 12 4 total 22

3. Un 3e type de moyenne Tous les enfants d’un village ont été interrogés : combien d’efts a ta maman ? Données (tableau 3.3.b) Unités sous observation ? À qui a-t-on poser des questions ? Variable sous observation ? Quelle question posée ? Données groupées ou pas ? Titres des colonnes : np, p et xp Quel est le nombre moyen d’enfants par femme ? (p) enfants/femme (xp) enfants (np) 1 2 6 3 12 4 total SO 22

3. Un 3e type de moyenne Quel est le nombre moyen d’enfants par femme ? On peut démontrer que : Vérification : combien de mères faut-il pour que : 6 enfants disent « maman a 2 enfants » ? mères car 6/2 = 3 (rappel : tous les enfants…) 12 enfants disent « maman a 3 enfants » ? 4 mères car 12/3 = 4 4 enfants disent « maman a 4 enfants » ? mère car 4/4 = 1 finalement : 8 mères doivent se partager équitablement 22 enfants et donc : (p) enfants/femme (xp) enfants (np) 1 2 6 3 12 4 total SO 22

3. Un 3e type de moyenne Formules harmoniques
pondérée par les effectifs : pondérée par les fréquences : simple (une rareté…) : 3 formules équivalentes : avec les mêmes données, même résultat !

pondérée par les effectifs : pondérée par les fréquences : simple (une rareté…) : 3 formules équivalentes : avec les mêmes données, même résultat ! (p) enfants/femme (xp) enfants (np) 1 2 6 3 12 4 total 22

pondérée par les effectifs : pondérée par les fréquences : simple (une rareté…) : 3 formules équivalentes : avec les mêmes données, même résultat ! (p) enfants/femme (xp) enfants (np) 1 2 6 3 12 4 total SO 22

pondérée par les effectifs : pondérée par les fréquences : simple (une rareté…) : 3 formules équivalentes : avec les mêmes données, même résultat !

LE CHOIX DE LA FORMULE Données : 5 observations pour une variable quantitative X quelconque 3 formules simples de la moyenne Les questions : face à un cas précis, face à un cas concret, quelle famille de formules choisir : arithmétique, géométrique, harmonique… ? version simple ou pondérée ? « i » « xi » 1 2 3 4 5 Famille En extension analytique Arithmétique Géométrique Harmonique

Très important dans ce cours !
LE CHOIX DE LA FORMULE Données : 5 observations pour une variable quantitative X quelconque 3 formules simples de la moyenne Les questions : face à un cas précis, face à un cas concret, quelle famille de formules choisir : arithmétique, géométrique, harmonique… ? version simple ou pondérée ? « i » « xi » 1 2 3 4 5 Très important dans ce cours ! Famille En extension analytique Arithmétique Géométrique Harmonique

LE CHOIX DE LA FORMULE Données : 5 observations pour une variable quantitative X quelconque 3 formules simples de la moyenne : 3 résultats différents Les questions : face à un cas précis, face à un cas concret, quelle famille de formules choisir : arithmétique, géométrique, harmonique… ? version simple ou pondérée ? « i » « xi » 1 2 3 4 5 Famille En extension analytique Arithmétique Géométrique Harmonique

LE CHOIX DE LA FORMULE Formule simple ou pondérée ?
1re solution : données individuelles ou groupées ? Si individuelles et peu nombreuses  SIMPLE Si groupées, distribuées  PONDÉRÉE 2e solution : notions de « poids » d’une ligne dans un tableau définition : nombre d’individu(s) pour lesquel(s) la valeur est d’application exemples : Exercices : tableaux 3.2, p & b, p.31 Exemple 1 Exemple 2 Chaque ligne pèse 1 « i » Ligne 1 : 20 « i » ; ligne 2 : 13 « i »… Règle : si même poids pour toutes les lignes, formule simple ; sinon, pondérée Même poids : formule simple Poids différents : formule pondérée « i » « xi » 1 2 3 p « xp » « np » 1 20 2 13 3

LE CHOIX DE LA FORMULE Formule arithmétique, géométrique ou harmonique ? Formule géométrique : 2 conditions simultanées : coefficient multiplicateur analyse diachronique (à travers le temps) + vérification, ce qui est toujours d’application… Plus difficile : si pas géométrique, choix entre arithmétique et harmonique (du moins pour nous)

LE CHOIX DE LA FORMULE Formule arithmétique ou harmonique ?
Utilisation dans des circonstances voisines (p. 32) Pour choisir, 3 éléments à identifier et recours à une règle 1er élément : la VARIABLE grandeur/caractéristique dont on cherche la moyenne truc : la descendance moyenne (ou moyenne des descendances) 2e élément : les UNITÉS de mesure de la variable (UMV) enfant(s) par femme = eft / f truc : c’est forcément un rapport, une division = qqch / qqch d’autre 3e élément : les INDIVIDUS sous observation (ou « i ») les personnes ou les choses pour lesquelles on connait la variable truc : c’est forcément le numérateur ou le dénominateur des UMV

LE CHOIX DE LA FORMULE Formule arithmétique ou harmonique (suite) ?
Utilisation dans des circonstances voisines (p. 32) Pour choisir, 3 éléments à identifier et recours à une règle 1er élément : la VARIABLE 2e élément : les UNITÉS de mesure de la variable (UMV) 3e élément : les INDIVIDUS sous observation (ou « i ») la règle : si « i » au dénominateur des UMV  arithmétique cf. 1er cas en p. 32, où « i » = femmes si « i » au numérateur des UMV  harmonique cf. 2e cas en p. 32, où « i » = enfants Exercice 3.20 (venant d’un examen passé)

LE CHOIX DE LA FORMULE Formule arithmétique ou harmonique (suite) ?
Utilisation dans des circonstances voisines (p. 32) Pour choisir, 3 éléments à identifier et recours à une règle 1er élément : la VARIABLE 2e élément : les UNITÉS de mesure de la variable (UMV) 3e élément : les INDIVIDUS sous observation (ou « i ») la règle : si « i » au dénominateur des UMV (eft/f)  arithmétique cf. 1er cas en p. 32, où « i » = femmes si « i » au numérateur des UMV (eft/f)  harmonique cf. 2e cas en p. 32, où « i » = enfants Exercice 3.20 (venant d’un examen passé)

LE CHOIX DE LA FORMULE Exercice 3.20, cycliste A (p. 45)
Question : vitesse moyenne du cycliste A sur l’ensemble de son parcours ? Données : « il a d’abord roulé à du 35 km/h pendant 3 heures… » Si nécessaire et même si pas demandé, transformer les données en un tableau Titre des colonnes : i, p, xi, np, xp… ? Données groupées ou pas ? Lire une donnée : pour 3 heures, on sait que la vitesse est de 35 km/h Choix de la famille de formules : coefficient multiplicateur (CM) & diachronique ? Non, pas CM, même si diachronique  pas formule géométrique ! et donc : hésitation entre arithmétique et harmonique Vitesse Temps 1 25 2,5 2 35 3 40 1,5

Question : vitesse moyenne du cycliste A sur l’ensemble de son parcours ? Données : « il a d’abord roulé à du 35 km/h pendant 3 heures… » Si nécessaire et même si pas demandé, transformer les données en un tableau Titre des colonnes : i, p, xi, np, xp… ? Données groupées ou pas ? Lire une donnée : pour 3 heures, on sait que la vitesse est de 35 km/h Choix de la famille de formules : coefficient multiplicateur (CM) & diachronique ? Non, pas CM, même si diachronique  pas formule géométrique ! et donc : hésitation entre arithmétique et harmonique p Vitesse xp Temps np 1 25 2,5 2 35 3 40 1,5

Question : vitesse moyenne du cycliste A sur l’ensemble de son parcours ? Pas géométrique  arithmétique ou harmonique (du moins pour nous) : variable : nom sur lequel porte l’adjectif moyen(ne) = la vitesse UMV : obligatoirement un rapport = des kilomètre par heure = km/h « i » : obligatoirement le numér. ou le déno. des UMV = des heures « i » = heures = le dénominateur des UMV (km/h)  arithmétique Pondérée ou pas ? poids de la 1re ligne en nombre d’« i » ? poids de la 2e ligne en nombre d’« i » ? poids différents  formule pondérée Retour à la lecture des données : pour 3 heures, on sait que la vitesse est de 35 km/h pour 3 « i », on sait que la valeur de la variable est de 35 km/h p Vitesse xp Temps np 1 25 2,5 2 35 3 40 1,5

Moyenne Conclusions et résumé
2 idées : la même chose à tout le monde & vérification 9 formules (du moins pour nous) : 3 familles : arithmétique, géométrique & harmonique 3 versions : simple, pondérée par np & pondérée par les fp Règle de choix : application stricte et systématique géométrique : si CM et analyse diachronique si pas géométrique, arithmétique ou harmonique : variable : adjectif « moyen(ne) » UMV : un rapport (a/b) « i » : numérateur ou dénominateur des UMV règle : si « i » au numérateur des UMV (a dans a/b) : harmonique si « i » au dénominateur des UMV (b dans a/b) : arithmétique simple ou pondérée ? Poids des lignes du tableau : identiques  simple Exercices à (re)faire : « absolument » : 3.4 ; 3.6 ; 3.18 ; 3.20 utilement : 3.1 ; 3.2 ; 3.7 ; 3.8 (attention parfois calculs très longs)

Moyenne Conclusions et résumé
2 idées : la même chose à tout le monde & vérification 9 formules (du moins pour nous) : 3 familles : arithmétique, géométrique & harmonique 3 versions : simple, pondérée par np & pondérée par les fp Règle de choix : application stricte et systématique géométrique : si CM et analyse diachronique si pas géométrique, arithmétique ou harmonique : variable : adjectif « moyen(ne) » UMV : un rapport (a/b) « i » : numérateur ou dénominateur des UMV règle : si « i » au numérateur des UMV (a dans a/b) : harmonique si « i » au dénominateur des UMV (b dans a/b) : arithmétique simple ou pondérée ? Poids des lignes du tableau : identiques  simple Exercices à (re)faire : ● « absolument » : 3.4 ; 3.6 ; 3.18 ; 3.20 ● utilement : 3.1 ; 3.2 ; 3.7 ; 3.8 (attention parfois calculs très longs)

Moyenne Conclusions et résumé Remarques finales
Si calcul de la moyenne pour : l’âge et âge connu pour des individus le poids et poids connu pour des individus la descendance et descendance connue pour des individus les revenus et revenus connus pour des individus etc… Doute ? Non : famille arithmétique Après quelques exercices, facile de détecter les cas plus délicats

Moyenne Conclusions et résumé Remarques finales
Si calcul de la moyenne pour : l’âge et âge connu pour des individus le poids et poids connu pour des individus la descendance et descendance connue pour des individus les revenus et revenus connus pour des individus etc… Doute ? Non : famille arithmétique Après quelques exercices, facile de détecter les cas plus délicats Au boulot !

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