chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.

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1 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie par … sur …

2 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie par f(x) = sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ x ( que l’on peut noter R* ou R – { 0 }, ou R privé de 0 )

3 Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction inverse ? x 10-3 √2 – 1 0,8 1,2 1 f(x) 1000 √ ,25 0,

4 Exercice : La fonction f dont on donne un tableau de valeurs est-elle la fonction inverse ? x √2 – 1 0,8 1,2 1 f(x) √ ,25 0, A-t-on f(x) = 1/x pour tous les x non nuls ?

5 A-t-on f(x) = 1/x pour tous les x non nuls ?
1 = 10 -(-3) = 10 3 = 1000 OK pour cet exemple × (√2 + 1) √2 + 1 √2 + 1 = = = = √2 + 1 √2 – 1 (√2 – 1) × (√2 + 1) (√2)² – 1² OK pour cet exemple = = = 1,25 OK pour cet exemple. 0,8 8 4

6 A-t-on f(x) = 1/x pour tous les x non nuls ?
= = ≈ 0,83333… ≠ 0,8333 FAUX pour cet exemple. 1, 1 = 1 ≠ FAUX pour cet exemple. f n’est pas la fonction inverse.

7 A-t-on f(x) = 1/x pour tous les x non nuls ?
= = ≈ 0,83333… ≠ 0,8333 FAUX pour cet exemple. 1, 1 = 1 ≠ FAUX pour cet exemple. 1 f n’est pas la fonction inverse. y = Autre méthode : x

8 A-t-on f(x) = 1/x pour tous les x non nuls ?
= = ≈ 0,83333… ≠ 0,8333 FAUX pour cet exemple. 1, 1 = 1 ≠ FAUX pour cet exemple. 1 f n’est pas la fonction inverse. y = Autre méthode : x y = 1 x

9 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 1/x ( que l’on peut noter R* ou R – { 0 }, soit R privé de 0 ) 2°) Courbe représentative : x 4 - 2 - 1 - ½ - ¼ 1 2 f(x)

10 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 1/x ( que l’on peut noter R* ou R – { 0 }, soit R privé de 0 ) 2°) Courbe représentative : x 4 - 2 - 1 - ½ - ¼ 1 2 f(x) - 4

11 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 1/x ( que l’on peut noter R* ou R – { 0 }, soit R privé de 0 ) 2°) Courbe représentative : x 4 - 2 - 1 - ½ - ¼ 1 2 f(x) - 4

12 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 1/x ( que l’on peut noter R* ou R – { 0 }, soit R privé de 0 ) 2°) Courbe représentative : x 4 - 2 - 1 - ½ - ¼ 1 2 f(x) - 4

13 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
I Fonction inverse 1°) Définition : elle est définie sur ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞ [ par f(x) = 1/x ( que l’on peut noter R* ou R – { 0 }, soit R privé de 0 ) 2°) Courbe représentative : Elle s’appelle une hyperbole. Elle s’approche de plus en plus des axes sans jamais les atteindre car … x 4 - 2 - 1 - ½ - ¼ 1 2 f(x) - 4

14 chapitre 11 Fonctions inverse et homographiques.
2°) Courbe représentative : Elle s’appelle une hyperbole. Elle s’approche de plus en plus des axes sans jamais les atteindre car elle ne peut atteindre l’axe y car x = 0 n’a pas d’inverse 1/x, et ne peut atteindre l’axe x car y = 0 donnerait 1/x = 0 1 = 0x qui est impossible

15 3°) Propriétés :

16 3°) Propriétés : …

17 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*

18 1/x ≠ 0 pour tous les x de R* …
3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R* …

19 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*

20 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*
…

21 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*

22 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*
On en déduit les tableaux de signes et de variation :

23 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*
- ∞ ∞ f(x) x - ∞ ∞ f(x)

24 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*
f(- x) = … f(x) x

25 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*
f(- x) = = = - f(x) donne le point ( - x ; - y ) - x x f(x) f(x) = y donne le point ( x ; y ) x x Les deux points sont symétriques par rapport f(-x) à l’origine.

26 3°) Propriétés : 1/x ≠ 0 pour tous les x de R*
f(- x) = = = - f(x) donne le point ( - x ; - y ) - x x f(x) f(x) = y donne le point ( x ; y ) x x Les deux points sont symétriques par rapport f(-x) à l’origine. Pour tous les x, donc la courbe est symétrique par rapport à l’origine.

27 Démonstration du sens de variation :
D’après la courbe, pour tous les x de R*, la fonction semble strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [ = R*- et strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ = R*-. Démonstration : Soient a et b deux antécédents quelconques de R*- tels que a < b. a b a - b f(b) – f(a) = = = b a ab ab ab a < b donc a – b négatif, et a et b dans R*- donc ab positif. donc fraction négative, donc f(a) > f(b) a < b f(a) > f(b) f est strictement a et b quelconque dans R* décroissante sur R* ( même méthode sur R*+ )