Exercice 1 Soient le point A( 2 ; 5 ) et la droite d d’équation y = 3x – 1 dans un repère orthonormé. Déterminez l’équation de la droite d’, perpendiculaire.

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1 Exercice 1 Soient le point A( 2 ; 5 ) et la droite d d’équation y = 3x – 1 dans un repère orthonormé. Déterminez l’équation de la droite d’, perpendiculaire à d et passant par A.

2 A( 2 ; 5 ) et d : y = 3x – 1 M d A d’ Soit M( x ; y ) un point quelconque de d’, donc représentatif de tous les points de d’.

3 A( 2 ; 5 ) et d : y = 3x – 1 M d A d’ Soit M( x ; y ) un point quelconque de d’, donc représentatif de tous les points de d’. d a pour coeff.dir. 3 donc u ( 1 ; 3 ) est un vecteur directeur de d.

4 A( 2 ; 5 ) et d : y = 3x – 1 M d A d’ Soit M( x ; y ) un point quelconque de d’, donc représentatif de tous les points de d’. d a pour coeff.dir. 3 donc u ( 1 ; 3 ) est un vecteur directeur de d. AM( x-2 ; y-5 ) et u sont orthogonaux, donc AM . u = 0

5 A( 2 ; 5 ) et d : y = 3x – 1 M d A d’ Soit M( x ; y ) un point quelconque de d’, donc représentatif de tous les points de d’. d a pour coeff.dir. 3 donc u ( 1 ; 3 ) est un vecteur directeur de d. AM( x-2 ; y-5 ) et u sont orthogonaux, donc AM . u = 0 Le repère est orthonormé, donc AM . u = x x’ + y y’

6 A( 2 ; 5 ) et d : y = 3x – 1 M d A d’ Soit M( x ; y ) un point quelconque de d’, donc représentatif de tous les points de d’. d a pour coeff.dir. 3 donc u ( 1 ; 3 ) est un vecteur directeur de d. AM( x-2 ; y-5 ) et u sont orthogonaux, donc AM . u = 0 Le repère est orthonormé, donc AM . u = x x’ + y y’ Donc ( x – 2 ) 1 + ( y – 5 ) 3 = 0 donc x – 2 + 3y – 15 = 0 donc 3y = - x + 17 donc d’ : y = - (1/3)x + (17/3)

7 Exercice 2 Soient les points A( 3 ; 5 ) et B( - 1 ; 1 )
dans un repère orthonormé. Déterminez l’équation ( sous la forme d’une somme de carrés ) du cercle C de diamètre [AB]. Déduisez-en le rayon et le centre du cercle.

8 Cercle C, points A( 3 ; 5 ) et B( - 1 ; 1 )
M B A Soit M( x ; y ) un point quelconque de C, donc représentatif de tous les points de C. [AB] est un diamètre donc le triangle ABM est rectangle. AM( x-3 ; y-5 ) et BM( x+1 ; y-1 ) sont orthogonaux, donc AM . BM = 0

9 Cercle C, points A( 3 ; 5 ) et B( - 1 ; 1 )
M B A Soit M( x ; y ) un point quelconque de C, donc représentatif de tous les points de C. [AB] est un diamètre donc le triangle ABM est rectangle. AM( x-3 ; y-5 ) et BM( x+1 ; y-1 ) sont orthogonaux, donc AM . BM = 0 Le repère est orthonormé, donc AM . BM = x x’ + y y’ Donc ( x – 3 ) ( x + 1 ) + ( y – 5 ) ( y – 1 ) = 0

10 Cercle C, points A( 3 ; 5 ) et B( - 1 ; 1 )
M B A Soit M( x ; y ) un point quelconque de C, donc représentatif de tous les points de C. [AB] est un diamètre donc le triangle ABM est rectangle. AM( x-3 ; y-5 ) et BM( x+1 ; y-1 ) sont orthogonaux, donc AM . BM = 0 Le repère est orthonormé, donc AM . BM = x x’ + y y’ Donc ( x – 3 ) ( x + 1 ) + ( y – 5 ) ( y – 1 ) = 0 donc x² - 3x + x – 3 + y² - 5y – y + 5 = 0 donc x² - 2x – 3 + y² - 6y + 5 = 0 donc ( x - 1 )² - 1 – 3 + ( y - 3 )² = 0 donc C : ( x - 1 )² + ( y - 3 )² = 8 = ( 2√2 )²

11 Cercle C, points A( 3 ; 5 ) et B( - 1 ; 1 )
y M D C C : ( x - 1 )² + ( y - 3 )² = 8 x 1 et 3 sont les coordonnées du milieu de [AB], donc celles du centre C( 1 ; 3 ) du cercleC. (x-1) est l’écart horizontal entre xM et xC et (y-3) l’écart vertical entre yM et yC , qui correspondent à deux segments perpendiculaires, donc l’équation est celle de Pythagore, donc DC² + DM² = CM² = R² = 8 donc R = 2√2 Vérification : R = ½ diamètre ; AB = ( - 4 ; - 4 ) et le repère est orthonormé donc AB = √( x² + y² ) = √( (- 4)² + (- 4)² ) = √32 = 4√2 donc R = ½ 4√2 = 2√2

12 y M B D C A x C. : ( x - xC )² + ( y - yC )² = R²
Conclusion : y M B D C A x C. : ( x - xC )² + ( y - yC )² = R²

13 Exercice 3 Soit le parallélogramme ABCD. 1°) A quelle condition les deux diagonales ont même longueur ? Caractérisez alors le quadrilatère. 2°) A quelle condition les deux diagonales sont orthogonales ?

14 A B 1°) AC = DB D C

15 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C

16 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ²

17 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )²

18 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ²

19 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ²

20 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ² 2 AB . BC = 2 AB . CB

21 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ² 2 AB . BC = 2 AB . CB AB . BC - AB . CB = 0

22 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ² 2 AB . BC = 2 AB . CB AB . BC - AB . CB = 0 AB . ( BC – CB ) = 0

23 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ² 2 AB . BC = 2 AB . CB AB . BC - AB . CB = 0 AB . ( BC – CB ) = 0 AB . ( BC + BC ) = 0

24 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ² 2 AB . BC = 2 AB . CB AB . BC - AB . CB = 0 AB . ( BC – CB ) = 0 AB . ( BC + BC ) = 0 2 AB . BC = 0

25 A B 1°) AC = DB AC² = DB² D C AC ² = DB ² ( AB + BC )² = ( DC + CB )² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = DC ² + 2 DC . CB + CB ² AB ² + 2 AB . BC + BC ² = AB ² + 2 AB . CB + CB ² 2 AB . BC = 2 AB . CB AB . BC - AB . CB = 0 AB . ( BC – CB ) = 0 AB . ( BC + BC ) = 0 2 AB . BC = 0 AB et BC sont orthogonaux ABCD est un rectangle.

26 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C

27 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0

28 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0

29 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0

30 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0

31 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC .(- BC) + AB . AB + (- CB) . AB = 0

32 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC .(- BC) + AB . AB + (- CB) . AB = 0 AB . CB + - BC ² + AB ² + AB . (- CB) = 0

33 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC .(- BC) + AB . AB + (- CB) . AB = 0 AB . CB + - BC ² + AB ² + AB . (- CB) = 0 - BC ² + AB ² = 0 AB ² = BC ²

34 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC .(- BC) + AB . AB + (- CB) . AB = 0 AB . CB + - BC ² + AB ² + AB . (- CB) = 0 - BC ² + AB ² = 0 AB ² = BC ² AB² = BC²

35 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC .(- BC) + AB . AB + (- CB) . AB = 0 AB . CB + - BC ² + AB ² + AB . (- CB) = 0 - BC ² + AB ² = 0 AB ² = BC ² AB² = BC² AB = BC

36 A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC. DB = 0 ( AB + BC )
A B 2°) (AC) et (DB) orthogonaux D C AC . DB = 0 ( AB + BC ) . ( DA + AB ) = 0 AB . DA + BC . DA + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC . CB + AB . AB + BC . AB = 0 AB . CB + BC .(- BC) + AB . AB + (- CB) . AB = 0 AB . CB + - BC ² + AB ² + AB . (- CB) = 0 - BC ² + AB ² = 0 AB ² = BC ² AB² = BC² AB = BC ABCD est un losange.

37 Exercice 4 Soient les points A( 1 ; 5 ), B( 3 ; - 7 ) et C( - 2 ; 4 ) dans un repère orthonormé. Déterminez à 0,01 degrés près l’angle ( AB ; AC ).

38 A( 1 ; 5 ), B( 3 ; - 7 ) et C( - 2 ; 4 ) AB( 2 ; - 12 ) et AC( - 3 ; - 1 ). Le repère est orthonormé donc AB . AC = x x’ + y y’ = 2 (- 3) + (- 12) (- 1) = 6 et AB = √( x² + y²) = √( 2² + (- 12)²) = √148 et AC = √( (- 3)² + (- 1)²) = √10 AB . AC = AB × AC × cos( AB ; AC ) donc cos( AB ; AC ) = AB . AC / (AB × AC) = 6 / (√148 × √10) donc ( AB ; AC ) = cos-1 (6 / (√148 × √10) ) ≈ 81,03°

39 A( 1 ; 5 ), B( 3 ; - 7 ) et C( - 2 ; 4 ) C A donc ( AB ; AC ) ≈ 360 – 81,03 = 278,97° B

40 Exercice 5 Une charge est tirée par deux personnes, dans des directions et avec des forces différentes. Déterminez dans quelle direction partira la charge ( à 0,01 degrés près ), et sous quelle force globale F. F1 = 60 (N) 60° F2 = 100 (N)

41 F = F1 + F2 F² =

42 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ²

43 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2²

44 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2² = 100² + 2 × 100 × 60 × ½ + 60² = = 140² donc F = 140

45 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2² = 100² + 2 × 100 × 60 × ½ + 60² = = 140² donc F = 140 F1 . F = F1 × F × cos ( F1 ; F ) et

46 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2² = 100² + 2 × 100 × 60 × ½ + 60² = = 140² donc F = 140 F1 . F = F1 × F × cos ( F1 ; F ) et F1 . F = F1 . ( F1 + F2 ) =

47 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2² = 100² + 2 × 100 × 60 × ½ + 60² = = 140² donc F = 140 F1 . F = F1 × F × cos ( F1 ; F ) et F1 . F = F1 . ( F1 + F2 ) = F1 ² + F1 . F2 =

48 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2² = 100² + 2 × 100 × 60 × ½ + 60² = = 140² donc F = 140 F1 . F = F1 × F × cos ( F1 ; F ) et F1 . F = F1 . ( F1 + F2 ) = F1 ² + F1 . F2 = F1² + F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) = 100² + 100×60×½ = 13000

49 F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1
F = F1 + F2 F² = F ² = ( F1 + F2 )² = F1 ² + 2 F1 . F2 + F2 ² = F1² + 2 F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) + F2² = 100² + 2 × 100 × 60 × ½ + 60² = = 140² donc F = 140 F1 . F = F1 × F × cos ( F1 ; F ) et F1 . F = F1 . ( F1 + F2 ) = F1 ² + F1 . F2 = F1² + F1 × F2 × cos ( F1 ; F2 ) = 100² + 100×60×½ = donc cos ( F1 ; F ) = 13000/(100 × 140) donc ( F1 ; F ) = cos-1 (13000/(100×140)) ≈ 21,79°