La fonction quadratique

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1 La fonction quadratique
Déterminer la règle

2 Introduction Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction. Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une règle. Ainsi, dans la règle : f(x) = - (x – 2)2 + 3 Si x = 5 f(5) = - (5 – 2)2 + 3 f(5) = - (3)2 + 3 f(5) = f(5) = - 6 Nous obtenons ainsi le couple (5 , - 6)

3 De ce fait, il découle que :
chaque couple de coordonnées, qui vérifie la règle (qui rend l’équation vraie), appartient à la courbe. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Ainsi, le couple (1 , 2) appartient à la courbe de la fonction, f(x) = - (x – 2)2 + 3 Car, 2 = - (1 – 2)2 + 3 ( 1 , 2 ) 2 = - (- 1)2 + 3 2 = 2 = 2 Vrai.

4 À l’inverse, les coordonnées d’un point sur la courbe vérifie la règle.
1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x f(x) = - (x – 2)2 + 3 - 6 = - (-1 – 2)2 + 3 - 6 = - (-1 – 2)2 + 3 - 6 = - (-3)2 + 3 - 6 = - 6 = - 6 Vrai. ( -1 , - 6 )

5 Pour déterminer la règle d’une fonction quadratique,
il faut un minimum d’informations. f(x) = a (x – h)2 + k Si les informations données sont x y 1 les coordonnées du sommet de la parabole et les coordonnées d’un autre point de la courbe, on utilise la forme canonique. Si les informations données sont f(x) = a (x – x1) (x – x2) y x 1 les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point de la courbe, on utilise la forme générale factorisée.

6 Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont (4 , 102).
Son sommet se situe à (-2 , -6). Quelle est sa règle ? À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique. Sommet (-2 , -6), donc h = - 2 k = - 6 - 2 - 6 Coordonnées du point : (4 , 102), donc à ce point, x = 4 y = 102 4 102 f(x) = a (x – h) k Remplaçons : = a ( – )2 + En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule inconnue. Effectuons les calculs : 102 = a (4 + 2) 102 = a (6) 102 = 36a

7 Il ne reste qu’à déterminer la valeur de a.
Isolons a : + 6 + 6 108 = 36a 36 36 3 = a Sachant que a = 3, h = - 2 et k = - 6 f(x) = a (x – h)2 + k La règle est donc : f(x) = 3 (x + 2)2 - 6

8 Lorsque l’on connaît les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée. f(x) = a (x - x1) ( x - x2) Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir d’un des procédés pour trouver les zéros de fonction. Avec la forme générale : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. Exemple : f(x) = 2x2 + 4x - 16 0 = 2 (x2 + 2x - 8) 0 = 2 (x + 4) (x – 2) Si x - 2 = 0, Si x + 4 = 0, alors x = 2 alors x = - 4 Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes.

9 De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée.
f(x) = a (x – x1) (x – x2) le - signifie l’opposé des zéros. x1 et x2 sont les zéros de fonction et Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et -3, alors les binômes qui la composent sont (x – 5) et (x + 3).

10 Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3
Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont (4 , 10). Quelle est sa règle ? Les zéros sont -1 et 3, donc x1 = - 1 et x2 = 3 - 1 3 Déterminons les binômes : f(x) = a (x - x1) ( x - x2) Remplaçons : a (x ) (x ) f(x) = f(x) = a (x + 1) (x - 3) Coordonnées du point : ( 4 , 10 ), donc à ce point : x = 4 y = 10 4 4 10 f(x) = a (x ) (x ) Remplaçons : = a ( ) ( )

11 10 = a (4 + 1) (4 – 3) Calculons : 10 = a X X 1 10 = 5a 2 = a Sachant que a = 2, x1 = - 1 et x2 = 3 f(x) = a (x – x1) ( x – x2) f(x) = 2 (x – -1) ( x – 3) f(x) = 2 (x + 1) (x – 3) Développons : f(x) = 2 (x2 - 2x – 3) f(x) = 2x2 - 4x – 6