Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’

Présentation au sujet: "Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’"— Transcription de la présentation:

1 Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’
CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle MathSV : chapitre 5 Pour integrer une ED, savoir calculer des primitives

2 Primitives-Intégration
Introduction et exemple en pharmaco-cinétique Définitions et propositions Méthodes de calcul

3 Introduction f(x) f’(x) Intégrer Dériver Définition :
F(x) est une primitive de f(x) si F’(x)=f(x) Donc F(x) + Cste est aussi une primitive. Notation : L’ensemble des primitives de f est noté

4 Exemple en dynamique de population
L’étude de l’évolution au court du temps d’une population d’organismes N(t) Dériver Intégrer Dériver Intégrer Vitesse ou accroissement Accélération ou vitesse de l’accroissement

5 Un exemple en pharmaco-cinétique
Modéliser la vitesse d’arrivée et d’élimination dans le sang d’un médicament, en fonction du temps. Question : temps (tmax) pour atteindre la concentration maximale (Cmax) ? Un ensemble de modèles permettant de calculer les paramètres qui décrivent… dans un organisme vivant. La pharmaco-dynamique : décrire, quantifier et expliquer l’ensemble des effets induits par un médicament

6 Concentration du médicament dans le sang (mg/l) en fonction du temps :
f(t) Il faut que Cmax depasse le seuil d’efficacite du medicament, ex un anti-biotique. tmax : le point où la dérivée s’annule (s’il existe)

7 Injection par voie intraveineuse : modèle exponentiel
tmax = 0 MathSV : chapitre 5 (section 7.2)

8 Questions : ASC = Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) Q1: ASC dans les 10 heures qui suivent l’injection par voie intraveineuse ? Q2 : quantité moyenne de médicament dans le sang pendant les 10 premières heures ?

9 Aire sous la courbe ASC : Quantité de médicament dans la circulation générale du sang (heure.mg/l) sur 10 heures C’est l’intégrale de la fonction f (la concentration), sur l’intervalle de temps [0; 10] Ou l’aire sous la courbe…

10 Q1 : ASC sur les 10 premières heures

11 Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

12 Définitions et propositions

13 Définition et notation
«La somme de a à b de  est égale à la différence entre les primitives de f au point b et au point a. »

14 Intégrale : aire sous la courbe
L’objectif est de calculer l’aire de surfaces définies par des courbes On se contentera ici des surfaces comprises entre l’axes des x et la courbe représentative d’une fonction continue.

15 Intégrale : aire sous la courbe
L’idée est très simple: on approche la surface hachurée par la réunion de rectangles, comme on sait calculer l’aire d’un rectangle on obtient une approximation de l’aire cherchée.

16 Intégrale : aire sous la courbe
Plus la base des rectangle est étroite meilleure est l’approximation

17 Intégrale : aire sous la courbe
Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh a b f(b)

18 Intégrale : aire sous la courbe
Soit h la largeur de chacun des rectangles et n leur nombre. a et b sont les limites de la surface: b-a = nh Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x : A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). a f(b) h a b

19 Intégrale : aire sous la courbe
Soit A(x) l’aire de la surface entre a et x: A(b) - A(b-h) est voisine de h f(b). Lorsque h tend vers 0 on a : A(b) - A(b-h) h f(b) Miracle mathématique: A’(b) = f(b) a b f(b)

20 Propriétés L’aire sous la courbe est nulle Le signe de l’intégrale

21 Signe de l’intégrale f(x) x a b Intégrale de f = D1-D2

22 Propriétés Relation de CHASLES (additivité):

23 L’ASC est additive aire verte + aire jaune

24 Valeur moyenne x f(x) a b

25 Aire d’un domaine Calcul au tableau

26 Méthodes de calcul

27 Formulaire des dérivées Formulaire des primitives
MathSV : cours / formulaires

28 Dérivées et primitives célèbres

29 Dérivées et primitives à reconnaître

30 L’exemple en pharmaco-cinétique

31 Q1 : ASC sur les 10 premières heures

32 L’exemple en pharmaco-cinétique
sont les primitives de f

33 L’exemple en pharmaco-cinétique
Q1 : quelle est l’ASC sur [0 ; 10] ?

34 Q2 : moyenne sur les 10 premières heures

35 L’exemple en pharmaco-cinétique
Q2 : Quelle est la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10 premières heures ?

36 Méthodes de calcul 1. Intégration par linéarisation
2. Intégration par changement de variable 3. Intégration par partie Cf. synthèse , chapitre 5, section 4

37 Intégration d’une somme
Changement de variable Intégration par parties

38 Méthodes de calcul Intégration par linéarisation
Intégration par changement de variable Intégration par partie Intégration des fractions rationnelles

39 Intégration des fractions rationnelles
Se ramener à ou

40 Intégration des fractions rationnelles : La croissance pondérale d’un organisme
MathSV : chapitre 6, section 7.2.1 Décomposition en éléments simples...