CRPE : EPREUVE DE MATHÉMATIQUES DU SECOND CONCOURS

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1 CRPE : EPREUVE DE MATHÉMATIQUES DU SECOND CONCOURS
BLANC DE L’IUFM D’ALSACE AVEC PROPOSITION DE CORRIGÉ (Février 2009) Adresse pour télécharger ce document : Enoncé :

2 Corrigé :

3 Suite de l’énoncé :

4 Suite du corrigé :

5 Suite de l’énoncé : a)

6 Suite du corrigé :

7 Autre méthode : On peut aussi trouver x en disant que, comme l'aire du triangle AOB vaut un quart de l'aire du carré ABCD, A(x) vaut un quart de A quand M est situé en un point P du demi-cercle de diamètre [BC] tel que le secteur circulaire BOP ait pour aire le quart de l'aire du demi-disque. D’où : Suite de l’énoncé :

8 Suite du corrigé :

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10 Exercice 1 : compléments
Erreurs commises : Confusion entre cercle et disque ou entre demi-cercle et demi-disque (exemple : « aire du demi-cercle »). Construction du point P « à la règle et au compas » mais avec construction intermédiaire non faite à la règle et au compas. Formule donnant l’aire d’un disque non sue. Rappel : Incapacité à trouver la formule donnant la longueur d’un arc de cercle la formule donnant l’aire d’un secteur circulaire la formule reliant les deux grandeurs précédentes.

11 Remarque : pour un exercice supplémentaire où on est amené à utiliser ces formules,
voir :

12 Suite de l’énoncé :

13 Annexe 1 :

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20 Suite du corrigé :

21 Antoine a calculé la largeur d’une étiquette
en divisant par 5 la longueur, égale à 15 cm, de la plaque de carton car la longueur de la plaque de carton correspond à cinq largeurs d’étiquette. Il a trouvé 3 cm. Ensuite il a trouvé la longueur d’une étiquette en enlevant 6cm (correspondant à 2 largeurs d’étiquette) à la largeur, égale à 10cm, de la plaque de carton car la largeur de la plaque de carton correspond à deux largeurs d’étiquettes et une longueur d’étiquette.

22 Mickaël a calculé la largeur d’une étiquette en
divisant par 5 la longueur, égale à 15 cm de la plaque de carton car la longueur de la plaque de carton correspond à cinq largeurs d’étiquettes. Il a trouvé 3 cm. Ensuite il a calculé la longueur de la partie du bord droit de la feuille de carton qui correspond à trois longueurs d’étiquette en retranchant 3 cm à 15 cm (car il a considéré que dans le coin inférieur droit de la feuille de carton il est possible de placer une étiquette). Il a divisé ensuite le résultat trouvé, 12 cm, par 3 pour trouver la longueur d’une étiquette.

23 Suite de l’énoncé :

24 Arnaud a vraisemblablement mesuré la longueur
des étiquettes dessinées (il a confondu dimensions réelles et dimensions de la représentation). Il a trouvé 2,4 cm et a ensuite multiplié 2,4 par 11 (car il y a 11 étiquettes). Il a commis une erreur en effectuant la multiplication posée (absence de décalage) et trouvé comme résultat 4,8. Il a ensuite conclu que les étiquettes avaient Une largeur et une longueur égales à 2,4 cm (ce qui n’est pas compatible avec le fait que les étiquettes dessinées ne sont pas des carrés) sans qu’on puisse vraiment comprendre le raisonnement utilisé (se sert-il du 4,8 trouvé précédemment ?).

25 Laura a calculé correctement la largeur égale à 3 cm d’une étiquette (en cherchant ? tel que ? × 5 = 15). Elle a commis ensuite une erreur pour trouver la longueur d’une étiquette car elle a considéré que la largeur de la feuille de cartons correspondait à deux longueurs d’étiquettes et une largeur d’étiquette (elle a enlevé 3 cm, largeur d’une étiquette, à 10cm, largeur de la feuille de carton, et a divisé le résultat trouvé, 7cm, par deux) alors que dans la réalité la largeur de la feuille de carton correspond à une longueur d’étiquette et deux largeurs d’étiquettes (elle aurait du enlever 6cm, qui correspond à deux largeurs d’étiquette, à 10cm pour trouver la longueur d’une étiquette). On peut noter que les calculs sont justes (mais ils correspondent à une autre disposition des étiquettes et sont mal présentés : l'écriture 3,5 × 2 = = 10 est incorrecte ; il convient d'écrire : 3,5 × 2 = 7 et = 10).

26 Doriane a effectué sans se tromper les calculs qui convenaient (on peut cependant remarquer que l’écriture 3 × 2 = = 4 est incorrecte ; il convient d’écrire 3 × 2 = 6 et 10 – 6 = 4) mais, quand il s’agit de conclure, elle inverse longueur et largeur (est-ce une simple étourderie ?).

27 Marine a calculé correctement la largeur d’une étiquette en divisant 15 par 3 (remarque : elle traduit la division euclidienne effectuée par l’écriture 15 × 5 = 3 R 0 ; elle voulait certainement écrire 15 : 5 = 3 R 0, écriture qu’elle a du voir en classe et qui, d’ailleurs, pose elle-même problème). Ensuite, pour trouver la longueur d’une étiquette elle a fait comme si la largeur de la plaque de carton correspondait à 3 longueurs d’étiquette (alors qu’en fait elle correspond à deux largeurs d’étiquette et une longueur d’étiquette) et a donc effectué la division euclidienne de 10 par 3 (division traduite par l’écriture 10 : 3 = 3 R1). Elle a pris comme résultat le quotient trouvé en effectuant la division. Il est à noter, par ailleurs, que Marine confond elle aussi les termes largeur et longueur.

28 Suite de l’énoncé :

29 Suite du corrigé :

30 Compléments : Ne pas mettre de marque du pluriel aux abréviations des unités : on écrit 12 cm et pas 12cms. - Attention à la conjugaison du verbe résoudre : « il résout » - Remarque sur une notation utilisée par Marine pour la division euclidienne

31 Suite de l’énoncé :

32 Suite du corrigé :

33 Suite de l’énoncé :

34 Suite du corrigé :

35 Suite de l’énoncé :

36 Suite du corrigé :

37 Suite de l’énoncé : Rappel : M est le milieu de [EG]

38 Suite du corrigé :

39 Suite de l’énoncé : Rappel : M est le milieu de [EG]

40 Suite du corrigé :

41 Compléments : Erreurs commises : - Confusion entre les notations [AB] et AB Dire qu’un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur est un carré (alors que c’est un losange) Croire que la pyramide donnée est une pyramide régulière (alors que ce n’est pas du tout dit dans l’énoncé) Confusion entre théorème de Thalès et théorème réciproque du théorème de Thalès (il y a même des personnes qui écrivent simplement « d’après Thalès » et qui prétendent donc faire parler ce mathématicien) Confusion entre « il faut » et « il suffit » (et donc confusion entre condition nécessaire et condition suffisante)

42 Démontrer que lorsque (SF) est
orthogonale au plan (EFG) l’angle est un angle droit, ce qui est exact, mais utiliser ensuite cet angle comme si c’était un angle du quadrilatère IJKL ce qui n’est pas le cas [F n’est pas un point du plan (IJKL)].

43 Théorème de Thalès et théorème réciproque du théorème de Thalès
Théorème de Thalès : Si (BB’) est parallèle à (CC’) alors Théorème réciproque du théorème de Thalès :

44 Première remarque : Si (BB’) et (CC’) sont parallèles, les triangles ABB’ et ACC’ sont homothétiques donc Deuxième remarque : Le théorème qui dit que « la droite passant par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté de ce triangle » (théorème souvent appelé « théorème des milieux ») est un cas particulier du théorème réciproque du Théorème de Thalès. Le cas particulier du théorème de Thalès c’est la théorème qui dit que « la droite passant par le milieu d’un côté d’un triangle et parallèle à un deuxième côté de ce triangle passe par le milieu du troisième côté ».

45 Différence entre condition nécessaire et condition suffisante (exemple) :
Pour un quadrilatère, avoir des diagonales de même longueur est une condition nécessaire pour être un rectangle (mais ce n’est pas une condition suffisante pour être un rectangle). Autrement dit : Pour qu’un quadrilatère soit un rectangle, il faut qu’il ait des diagonales de même longueur (mais ça ne suffit pas). Pour un quadrilatère, être un rectangle est une condition suffisante pour avoir des diagonales de même longueur (mais ce n’est pas une condition nécessaire pour avoir des diagonales de même longueur). Autrement dit : Pour qu’un quadrilatère ait des diagonales de même longueur, il suffit qu’il soit un un rectangle (mais ce n’est pas nécessaire). Exemple de condition nécessaire et suffisante : Pour un parallélogramme, avoir des diagonales de même longueur est une condition nécessaire et suffisante pour être un rectangle.

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50 Pour un exercice supplémentaire de géométrie dans l’espace, voir :

51 Suite de l’énoncé : Suite du corrigé :

52 Suite de l’énoncé : Suite du corrigé : Suite de l’énoncé :

53 Suite du corrigé :

54 Suite de l’énoncé : Suite du corrigé :

55 Compléments Erreurs commises : - Ecrire que 20 = 0 alors que 20 = 1 (rappel : pour tout nombre a non nul, a0 = 1 ) - Donner une valeur à alors que n’existe pas. Rappels : - Une fraction décimale est une écriture du type avec a et n entiers. On dispose de trois manières pour démontrer qu’un nombre est un nombre décimal. Exemple avec : Première manière : Deuxième manière : Troisième manière :

56 Tout nombre entier est un nombre décimal.
- Bien distinguer ce qu’est un nombre et ce que sont des écritures de ce nombre. Exemple : est une écriture fractionnaire (ou plus simplement une fraction) qui représente un certain nombre. est une fraction décimale qui représente le même nombre. 0,15 est une écriture décimale qui représente le même nombre. - Ne pas confondre écriture décimale et écriture à virgule : 626 est une écriture décimale même si ce n’est pas une écriture à virgule. - Tous les nombres réels admettent des écritures décimales (et donc pas seulement les nombres décimaux)

57 Remarque : Pour expliquer qu’à partir de a3 les trois derniers chiffres de an sont alternativement 125 et 625, on pouvait écrire : 0, , × × 0, ,

58 Suite de l’énoncé :

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61 Il s’agit de comparer ces quatre situations quant à leur qualité didactique
et à leur mise en place pédagogique

62 Suite du corrigé : Suite de l’énoncé :

63 Suite du corrigé :

64 Suite de l’énoncé : Suite du corrigé :

65 Suite de l’énoncé : Suite du corrigé :

66 Compléments Erreurs commises : - Réponses hors sujet (bien lire les questions posées et répondre à ces questions). - Réponses non adaptées aux niveau des élèves (on parle du cycle 3 pas du cycle 1). - Procédure de comparaison de deux entiers très incomplète. - Confusion entre division euclidienne et division décimale (exemple : parler de quotient décimal pour une division euclidienne alors que pour une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des entiers). Faire des erreurs dans des conversions (exemples d’erreurs : 1l = 0,001 ml !)

67 les deux erreurs suivantes ne sont pas exactement de même nature :
- dire qu’on va rencontrer des écritures décimales avec beaucoup de chiffres après la virgule dans cet exercice : 1km² = ……..mm². Remarques : - quand dans l’énoncé il est écrit « Dans quelles parties du programme … », on s’attend à ce que soient citées au moins deux parties du programme. les deux erreurs suivantes ne sont pas exactement de même nature : Première erreur : 12,5 < 12,34 car il faut plus de chiffres pour écrire 12,34 que pour écrire 12,5. L’élève utilise en dehors de son domaine de validité une règle qui est valable pour les nombres entiers. Deuxième erreur : 12,5 < 12,34 car 5 < 34 L’élève « considère qu’un nombre décimal c’est deux entiers séparés par une virgule ». D. Pernoux