Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage

Présentation au sujet: "Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage"— Transcription de la présentation:

1 Optimisation topologique de formes et adaptation de maillage
Frédéric GOLAY Pierre SEPPECHER Mikaël STEHLY Laboratoire ANAM Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation Université de Toulon et du Var

2 Plan Approche matériaux à blocage Formulation numérique
Validation analytique Quelques exemples Raffinement de maillage

3 Approche matériaux à blocage
ú û ù ê ë é ò W × = d u F Min M dV h ) x ( élasticité ' pb du Solution r Approche matériaux à blocage Déplacement solution du pb d ’élasticité v 2 1 T Ñ + e Tenseur des déformations D Tenseur d ’élasticité  épaisseur de plaque W Domaine de conception ú û ù ê ë é ò W × - e d v F Min 1 : D . A C r

4 v un champ de déplacement C.A.
Soient : L e volume ò = W dx ) x ( h V v un champ de déplacement C.A. ’énergie élastique e D 2 1 u ’énergie potentielle - dl v . F , J le champ de déplacement solution du problème d ’ élasticité minimise J(v,h)

5 ò ò ò ò ò ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h Inf POP = ÷ ø ö ç è æ - = h , v J Sup
dx x = ò W ( ) ÷ ø ö ç è æ - = ò W h , v J Sup Inf V dx x Théorème du MinMax ( ) h , v J Inf Sup V dx x - = ò W ÷ ø ö ç è æ - ò e = W dl v . F dx h : D 2 1 Sup Inf V ) x ( On concentre h où l’énergie est la plus élevée ÷ ø ö ç è æ - e = dl v . F : D 2 V Inf ò W On pose s v w = et e : D ÷ ø ö ç è æ - dl . F 2 V Inf 1 , ò W L’inf sur s est atteint pour = dl w . F V 1 s ò W ( ) ÷ ø ö ç è æ - e 2 : D Inf ( ) 2 1 : D w dl . F Inf V - = e ò W

6 Formulation numérique
On approxime la norme infinie ( ) [ ] p 1 v dx : D lim e = ò W w - dl . F 2 V Inf ÷ ø ö ( ) - e = ò W dl v . F 2 dx : D V J p 1 ÷ ø ö = V v ). u ( J p - ) e dx : D 2 1 ÷ ø ö ò W dl . F Problème d’élasticité non-linéaire en contraintes planes avec ( ) 1 p u dx : D V H - e = ò W ÷ ø ö dl v . F

7 Formulation analogue ( ) ( ) ò ò = e dl v . F dx : D V ÷ ø ö e : D
W - dl v . F dx : D V u 1 p ÷ ø ö ( ) e - : D 1 p u On pose h(u)= = h(u) ò e W dx : D v u dl . F V - 1 p  ÷ ø ö

8 Formulation Eléments Finis
Avec les notations vectorielles habituelles { } [ ] u B = e ) x ( N r et On réécrit le problème sous la forme { } [ ] å ò - = e elt T 1 p F N u B D H ) ( R Soit à résoudre le problème non-linéaire avec Le problème est fortement non-linéaire Donc, à partir de la solution élastique, on incrémente la valeur de p

9 [ ] { } { } ï î í ì + d = - ú û ù ê ë é ¶ u R H ) 1 p ( 2 u R B D + =
Résolution par Newton-Raphson { } ï î í ì + d = - ú û ù ê ë é ) 1 i ( u R Dérivée seconde Ecriture matricielle H ) 1 p ( 2 u R T - [ ] B D + = ú û ù ê ë é { }

10 Validation Analytique
x

11 Validation Analytique
Ecart relatif

12 Quelques exemples p=5 p=25 p=109 Thickness B A

13

14 Raffinement de maillage
? Un Elt créé ? Elt conforme ? Elt à raffiner ? Boucle sur les éléments Fin de boucle sur les éléments raffinement Essai de découpage Oui Non

15 e1 e2 e3 e4 Méthode: Par permutation on se replace dans les cas élémentaires Difficulté: Comment discerner les nœuds non conformes e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e1 e2 e3 e4

16 Qualité ? Critère ? Stratégie ? P=4,6 Raf P=0,2,4 Raf P=16,20,24,28

17 Qualité + B On maîtrise la qualité du maillage a c ri C
20 rc ri On maîtrise la qualité du maillage ri c b a aire 2 + = rc c b a aire 4 = ( ) 50 ri Max elt On maîtrise l’évolution du maillage 1 2 3 4 +

18 Critère ò ( ) ò { } On applique la méthodologie de Zienkiewicz
L’épaisseur est un champ discontinu hd, on cherche donc le champ continu hc qui l’approche au mieux: ( d , = W ò ) h c - j " On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis { } å ò = ÷ ø ö ç è æ elt e d dv h N

19 Critères utilisés …. ( ) ò ò ò ) ( ò ò + Normalisation de h 1 - de h 1
Ñ e d de h 1 ò e 2 de h 1 c ( ) ò - e 2 c d de h 1 ( ) c e h Max c d e h Max - d e h Max Ñ + Normalisation

20 P = 2 Nelt = 130 Nnoe=399 P = 4 Nelt=244 Nnoe=679 P = 6 Nelt=357 Nnoe=956 P = 8 Nelt=510 Nnoe=1353 P = 10 Nelt=759 Nnoe=1898 P = 12 Nelt=947 Nnoe=2282 P = 14 Nelt=1170 Nnoe=2723 P=2

21 Temps de calcul avec remaillage: 1166 s
Temps de calcul sur maillage optimisé: 1262 s

22 Critère épaisseur moyenne
Critère épaisseur max

23 Critère différence moyenne
Critère gradient maximal

24 Calcul d’erreur a posteriori
å ò + Î e face [ ] 2 u dl D ) ( h 1 ce de R = r K erreur þ ý ü î í ì R. Verfürth (2000) dl A u erreur 2 l ' p arêtes arête 1 - å ò ÷ ø ö ç è æ + Ñ = avec W. Liu & N. Yan (2001)

25 Conclusions et perspectives
Mise en œuvre simple Résolution numérique validée en 2D Un bon outil initial de dimensionnement Raffinement validé Critères intuitifs efficaces Erreurs a posteriori en cours d’étude SIC2002