Professeure/chercheure

Présentation au sujet: "Professeure/chercheure"— Transcription de la présentation:

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2 Professeure/chercheure
AQETA La réussite des opérations sur les décimaux en passant par la réussite sur les fractions Incroyable mais vrai! par Colette Picard (Ph.D) Orthopédagogue Professeure/chercheure UQAT Cette conférence porte donc sur les ……………..

3 Contenu de la conférence
Présentation et Introduction Connaissances antérieures et préalables Lien entre les fractions et les décimaux Fraction: Addition/soustraction/multiplication Décimaux: Addition/soustraction/multiplication/ division Conclusion Voici le contenu………….

4 Présentation et introduction
Toutes ces années consacrées à l’étude des fractions Cette conférence tient compte de centaines d’entretiens avec des élèves et leur enseignant Elle est soutenue par une revue de littérature scientifique Elle s’imbrique dans la programme du MELS et favorise la mise en action du document sur la progression des apprentissages Comme chercheure je me suis particulièrement intéressée aux fractions. Je suis avec Pascale Blouin parmi les personnes qui ont le plus étudié ce concept Au total j’ai mis plus de 20 ans depuis mes études de maitrise et de doctorat pour tenter de comprendre comment soutenir les enseignants et favoriser la réussite des élèves. Tout en protégeant le plaisir d’enseigner et d’apprendre Est-ce qu’on en vient pas à couper les cheveux en quatre, peut-être, mais on ne peut faire de demi mesure… Cette conférence tient compte de centaines d’entretiens avec des élèves et leur enseignant pour mes différents projets de recherche et pour l’élaboration d’un ouvrage spécifique à l’enseignement et à l’apprentissage des fractions dont il sera question plus tard. Cette conférence est soutenue………………… MISE EN GARDE: Trop souvent on s’attaque à des problématiques qui vont au-delà des savoirs essentiels du programme du MELS, car les élèves nous y conduisent. L’important c’est d’être vigilant sur ce qu’on évalue….

5 Préalables Identifier l’entier
Reconnaître que l’entier est divisible à l’infini Reconnaître l’importance de l’égalité des parties Représenter des fractions Passer des fractions familières aux fractions décimales Comparer des fractions décimales Passer de la forme a/b aux nombres à virgule Comprendre le système de numération Lorsque les enfants ne réussissent pas nous sommes tentés de reprendre nos explications, de donner d’autres exemples etc… Mais revenons nous suffisamment sur la progression des apprentissages et sur les connaissances antérieures ? Notamment…………….. Définition: Fractions décimales: dont le dénominateur est une puissance de 10 (Petit Larousse)

6 Additionner les fractions
Ennemi no 1 : Négliger la période manipulation SUGGESTION: Varier le matériel et référer à un contexte stimulant   Il faut d’entrée de jeu reconnaître que l’on doit tenir compte des préalables et s’assurer de présenter les opérations en favorisant une période de manipulation avec des objets réels, ici nous avons représenté des pizzas et du chocolat parce qu’il représente ce que l’enfant a déjà partagé et crée un lien avec son quotidien, sa culture. Par la suite nous référons à un matériel plus abstrait, les cercles fractionnaires si on a travaillé avec les pizzas, les barres fractionnaires si on a utilisé les tablettes de chocolat. Dans un cas comme dans l’autre on pourra passer au représentation dessinée avant de passer à l’abstrait

7 Additionner les fractions
Ennemi no 2 : Difficulté avec les représentations SUGGESTION: Faire verbaliser l’enfant ½ + 1/4 = Intuitivement l’enfant veut additionner le ¼ de la demie Il obtient 10/16 ou encore 8/16, car deux cases sont superposées.   Donc à chaque fois comme le prescrit le mels dans son document sur la progression des apprentissages on tiendra compte des préalables et on s’assurera de manipuler, et de représenter avant de passer aux opération. Maintenant que nous avons dit l’essentiel poursuivons. L’ennemi no 1 lorsqu’on additionne les fractions c’est que les représentations peuvent amener de la confusion ainsi …………diapo. Qu’est-ce qu’il doit faire! Quand il sélectionne ½ il s’agit de 8 cases, s’il additionne 1/4 il doit ajouter à ce nombre 4 cases. Ainsi il obtient 12 cases et sa réponse est 12/16. Ainsi pour soutenir les élèves en difficulté….. Diapo suivante Il peut aussi procéder ainsi: Il trouve la demie. Il trouve le quart, mais il se laisse déranger par la superposition et sa réponse est encore erronée. Qu’est-ce que l’enfant doit faire?

8 Additionner: Difficulté avec les représentations (suite)
Les représentations sont source de confusion SUGGESTION: Utiliser différents rectangles pour identifier clairement les sections concernées Représenter l’entier: Représenter ½: Représenter 1/4: Regrouper ½ + 1/4 = 12 /16 Le fait d’utiliser de représenter les deux termes de l’opération permet à l’enfant de voir tous les aspects que comporte cette procédure…. L’enfant serait probablement plus attentif s’il s’agissait d’une situation réelle, qui pourrait avoir un impact sur lui…

9 Additionner: Difficulté avec la réponse
Comment exprimer le résultat obtenu SUGGESTION: Préciser les attentes. Simplifier la réponse: Plusieurs procédures sont possibles en fonction de la fraction: 4/8, 5/15, 7/21 12/15 8/16 Difficultés liés à la réduction des fractions Il y a des degrés de difficultés selon les fractions à réduire. Par exemple, les fractions suivantes sont plus difficiles à réduire : 5/15 = cette situation est la plus réussie, dès que l’enfant peut diviser le dénominateur par le numérateur, mais encore ici s’il ne connait pas ses tables il ne voit pas la possibilité de réduction, comme dans le cas de 7/21 12/15= l’enfant veut commencer par diviser par 2, si cela ne marche que pour le numérateur il conclut que la fraction est irréductible 8/16 = 4/ l’enfant ne passe pas par le plus grand commun diviseur On peut penser que c’est parce que les tables auxquelles il faut se référer sont plus difficiles, ou parce qu’on ne peut diviser par deux, ou encore parce que le dénominateur ne se divise pas par le numérateur et qu’il faut se référer au PGCD. La diversité des procédures augmente le risque d’erreurs.

10 Additionner: Cas particuliers
SUGGESTION: Discuter 5/ /10 peut-il valoir 10/20 ?  Cas particulier : Parfois 5 / / 10 vaut 10/20 Effectivement, lors de la correction de certains examens, vous mettrez peut-être une section sur 10 et l’autre sur 10, pour un total de 20 points. Que s’est-il passé ? J’ai mis en rapport les réponses correctes sur le total des réponses. Ensuite, je les ai regroupées.On voit à quel point il faut être vigilant et à l’écoute des élèves, car cela peut rapidement conduire à des impasses où l’enfant croit qu’il n’y a plus rien à comprendre. De même, si j’ai une demi-tasse de lait 2% avec une demi-tasse de lait 1%, est-ce que j’ai une tasse de lait 3% ? Encore ici, il faut se demander ce qu’on a fait. On parle de proportion et non de parties.

11 Le choix des représentations
SUGGESTION: Utiliser des représentations circulaires Voici l’entier: ½ + 1/4 = 3/4  Cas particulier : Parfois 5 / / 10 vaut 10/20 Effectivement, lors de la correction de certains examens, vous mettrez peut-être une section sur 10 et l’autre sur 10, pour un total de 20 points. Que s’est-il passé ? J’ai mis en rapport les réponses correctes sur le total des réponses. Ensuite, je les ai regroupées.On voit à quel point il faut être vigilant et à l’écoute des élèves, car cela peut rapidement conduire à des impasses où l’enfant croit qu’il n’y a plus rien à comprendre. De même, si j’ai une demi-tasse de lait 2% avec une demi-tasse de lait 1%, est-ce que j’ai une tasse de lait 3% ? Encore ici, il faut se demander ce qu’on a fait. On parle de proportion et non de parties. ½ - 1/4 = 1/4

12 Le choix des représentations
SUGGESTION: Profitez des compensations que le cerveau fait pour notre plus grand bonheur! On a représenté une partie d’une tarte. On a représenté une partie d’une tablette de chocolat.  Cas particulier : Parfois 5 / / 10 vaut 10/20 Effectivement, lors de la correction de certains examens, vous mettrez peut-être une section sur 10 et l’autre sur 10, pour un total de 20 points. Que s’est-il passé ? J’ai mis en rapport les réponses correctes sur le total des réponses. Ensuite, je les ai regroupées.On voit à quel point il faut être vigilant et à l’écoute des élèves, car cela peut rapidement conduire à des impasses où l’enfant croit qu’il n’y a plus rien à comprendre. De même, si j’ai une demi-tasse de lait 2% avec une demi-tasse de lait 1%, est-ce que j’ai une tasse de lait 3% ? Encore ici, il faut se demander ce qu’on a fait. On parle de proportion et non de parties. On a représenté une partie d’une boîte de Smarties Dans chaque cas, donnez-moi sa valeur?

13 ½ - ¼ = Soustraire : Difficulté avec la représentation
Comme pour l’addition l’enfant ne saisit pas ce qu’il doit faire SUGGESTION: Analyser les représentations des élèves ½ - ¼ = Comme pour l’addition Il peut lui paraître tout à fait naturel de partir de ½ pour identifier le quart qu’on veut enlever. Le retour à l’entier total ne semble pas l’option la plus intuitive. Il obtient 6/16 OU il part de la demie, identifie effectivement le ¼ de l’entier mais lors du retrait donne quand même 6/16 Pour qu’il consente au sens de l’opération nous allons devoir passer par différentes étapes. Voyons voir!

14 Soustraire: Difficulté avec les représentations (suite)
Encore ici, certaines représentations sont source de confusion. SUGGESTION: Utiliser différents rectangles pour identifier clairement les sections concernées Représenter l’entier: Représenter ½: Représenter 1/4: Regrouper ½ - 1/4 = 4 /16 ½ - 1/3 Considérons le même exemple : / /4     Le fait de représenter chaque étape permet de voir que l’on parle toujours de la valeur de l’entier. On ne change pas d’entier de référence en cours de route. Les activités de manipulation avec du matériel concret va soutenir la compréhension de l’élève. Surtout si a un moment ou à un autre il se retrouve avec moins de chocolat que prévu!

15 Soustraire: Difficulté avec l’entier de référence
L’enfant passe d’une entier à un autre sans s’en formaliser SUGGESTION: Utiliser les nombres fractionnaires 1 ½ ½ 1 ½ ¼ Que faire pour que l’enfant consente à soustraire en partant toujours de la valeur de l’entier ? La référence à un entier plus grand que 1 amène une situation différente et favorise la prise de conscience de la valeur de chaque terme et du fait que chacun réfère à la valeur qui découle du même entier de référence 1 ½ - ½ = ? ½ /4 = ? ½ /4 = ? ½ = ? /4 = ? ½ /3 L’enfant prend-il conscience que la valeur de ce qu’on enlève est déterminée par rapport à l’entier.  Comme on le voit le choix de la situation d’apprentissage et le choix des fractions à utiliser peuvent faciliter la compréhension. 1 ½ ¾ ½ ¼

16 Ennemi no 3 : La diversité des procédures
Qu’il s’agisse d’ordonner, d’additionner ou de soustraire , les compétences requises vont dépendre du choix des fractions. Les fractions choisies ont le même dénominateur  1/ /3 = Les fractions ont des dénominateurs multiples entre eux; 1/ /6 = Les fractions ont des dénominateurs qui ne sont pas multiples entre eux. 2/ /4 = On a inséré des entiers dans l’addition;  ½ /10 = On soustrait une fraction d’un entier; /4 DIAPO

17 Multiplier: Donner du sens à l’opération
SUGGESTION: Visualiser l’opération de multiplication. Voici le 1/8 d’une pizza: Nous en voulons 2 fois plus! Combien en aurons-nous? Nous en voulons 4 fois plus! Cette situation nous permet de parler d’équivalence et nous permet de reconstituer l’entier. Le fait que ce soit une situation familière permet aux enfants de se sentir en contrôle de la tâche. Les images mentales qu’ils ont construit par les expériences antérieures supportent les nouveaux apprentissages. Nous en voulons 8 fois plus?

18 Ennemi no 2 : Difficulté à donner le résultat
Écart entre l’action la représentation et la compréhension SUGGESTION: Garder l’entier de référence bien en vue. Prenons le cas de 2/3 x 3 : Il y a un écart entre les constructions réalisées avec le matériel concret et les représentations graphiques que l’on peut faire. Dans le cas présent: L’enfant est tenté de dire 6/9, car c’est ce qu’il voit. Il perd de vue ce qu’il cherche. II fait une addition répétée du numérateur et du dénominateur applique la même règle aux dénominateurs. 6/3 ne lui semble pas une réponse acceptable, pas plus que 2! L’enfant est tenté de dire 6/9, car c’est ce qu’il voit. La réponse est 6/3, mais cela semble inacceptable!

19 Multiplier: difficulté avec les représentations
SUGGESTION: Progresser lentement d’une illustration à l’autre Voici l’entier: Prenons le cas de 2/3 x 3 : Donc comme nous venons de la voir, nous allons représenter la multiplication, 2/3 un fois, deux fois, trois fois Mais si nous reportons sur l’entier, En complétant les parties de cet entier une à une, l’enfant visualise plus facilement le résultat. On voit que le fait de laisser l’entier de référence bien en évidence facilite l’interprétation du résultat

20 Multiplier: Donner du sens à l’opération
SUGGESTION: Visualiser l’opération de multiplication. Voici le 2/8 d’une pizza: Nous en voulons 2 fois plus! Nous en voulons 4 fois plus! Nous en voulons 8 fois plus? Cette situation nous permet de parler d’équivalence et nous permet de reconstituer l’entier. Le fait que ce soit une situation familière permet aux enfants de se sentir en contrôle de la tâche. Les images mentales qu’ils ont construit par les expériences antérieures supportent les nouveaux apprentissages.

21 Qu’est qu’on a dit déjà? Le contexte de réalisation joue un rôle important dans l’engagement de l’élève dans le développement de la compréhension La manipulation est au cœur de la réussite Les représentations imagées sont une étape à considérer DIAPO La discussion avec les élèves nous donnent l’opportunité d’ajuster notre enseignement Il est tentant de passer rapidement au symbolisme

22 Passage aux décimaux : lien entre ½ , 5/10, 5/100
Différentes fractions peuvent représenter une même quantité. SUGGESTION: Ces rectangles vont nous permettre d’introduire la notion de nombres décimaux. 2/2 10/10 100/100 1 Pour passer au décimaux nous allons procéder par étapes. Revenir à l’entier permet à l’enfant de mieux interpréter la fraction. De même lorsqu’on peut faire la progression des fractions familières comme ½ avant de passer aux dixièmes Donnons aux dixièmes une attention particulière: voici 1/10, 2/10 , 3/10 etc… jusqu’à 10/10 donc l’entier…. De même pour les centièmes mais sans exagération …. Quand même…. Mettre en évidence ce qui est pareil entre 4/10 et 0,4. ON N’a qu’à diviser 4 par 10… on obtient 0,4 1 5/10 50/100

23 Passage aux décimaux : lien entre 5/10, 50/100, 0,5, 0,50
SUGGESTION: Représenter des fractions décimales dans leur expression (a/b) et sous forme de nombres à virgule 1 1,1 1 ½ 1,9 Il est parfois plus facile de partir avec un nombre fractionnaire. Pour les enfants représenter un dixième est plus difficile que représenter un et une demie. Il y a une progression. Comment Ici on aura avantage à solliciter les savoirs concernant la numération positionnelle et l’écriture des nombres à virgule. Il y a plusieurs exercices de ce genre dans différents ouvrages mathématiques épuisez-les… 1 5/10 1,01 1 50/100 1,96

24 Passage aux décimaux : lien entre 5/10, 50/100, 0,5, 0,50
Qu’est-ce qui est pareil entre 4/10 et 0,4? SUGGESTION: Faire une démonstration 6 4/10 0,4 4 ÷ 10 - 4,1 4 10 - 0 0,4 40 - Il est parfois plus facile de partir avec un nombre fractionnaire. Pour les enfants représenter un dixième est plus difficile que représenter un et une demie. Il y a une progression. Comment Ici on aura avantage à solliciter les savoirs concernant la numération positionnelle et l’écriture des nombres à virgule. Il y a plusieurs exercices de ce genre dans différents ouvrages mathématiques épuisez-les… - -

25 Opportunité : Lien entre les opérations sur les fractions
Opportunité : Lien entre les opérations sur les fractions et celles sur les décimaux Les opérations sur les fractions vont préparer la compréhension des opérations sur les décimaux. SUGGESTION: Utiliser le papier quadrillé La progression du simple au complexe est importante ici. Les pliages ou les manipulations de matériel auront familiarisés les enfants avec l’ajout ou le retrait au niveau des fractions. Le passage aux dixièmes se fera en douceur après avoir suffisamment travaillé les fractions familières comme ½ , 1/3 et ¼…. Le lien entre les dixièmes et les centièmes peut ensuite être découvert par les enfants eux-mêmes. Ces activités vont préparer la réussite sur les opérations sur les décimaux. ¼ + ¼ 10/ /100 0, ,10 1/ /10 La compréhension du système de numération va prendre toute son importance lorsque nous allons aborder les décimaux.

26 Ennemi no 1 : Passer trop vite au symbolisme
0,15 + 0,10 On peut être tenté de travailler les opérations directement sur les modes symboliques: SUGGESTION: Résister, car respecter le processus d’apprentissage des élèves c’est augmenter leurs chances de réussir. c d u dix centi milli , DIAPO Manipuler avec le matériel qui vous convient! On pourrait croire que l’on peut travailler les opérations uniquement en parlant de valeur positionnelle et en utilisant le tableau de numération ou même la planche à calculer. Même si cela est tout à fait pertinent. Nos expériences avec les enfants nous montrent qu’ils profitent des représentations sur du papier quadrillé avant de passer au manipulation de jetons sur la planche à calculer et aux représentations visuelles de planche. Quant à l’abaque, il faut faire preuve de prudence car si nous ne distinguons pas rigoureusement les différentes positions l’enfant peut vivre beaucoup de confusion, entier décimaux

27 Opportunité : Référer au quotidien
SUGGESTION: Utiliser l’argent scolaire. Je ne sais pour quelle raison, un problème de décimaux qui semble sans issu trouve soudainement sa solution lorsqu’on le contextualise dans une situation familière impliquant des montants d’argent. Soyez prudents lorsque vous utilisez l’argent pour parler des nombres assurez-vous de respecter la valeur de chaque position, ainsi on utilise le dollar pour l’unité, le 10¢ pour 0,1; le 1¢ pour 0,01; le 10$ pour les dizaines, le 100$ pour les centaines… $ Curieusement, lorsqu’on parle d’argent le niveau de compréhension augmente!!!!

28 4 1 4 Passage aux décimaux : Comment expliquer 0,1 x 0,1? ¼
SUGGESTION : Donner du sens à l’opération en partant des naturels Normalement l’enfant a eu l’opportunité de représenter des multiplications du type 2 x 2 . Le passage à 2 x 2 ½ et à 2 ½ x 2 ½ semble découler 2 4 1 L’enseignement de la multiplication de nombres décimaux s’apprend souvent en passant par les opérations sur les nombres naturels comme 2 x 2 pour ensuite passer à 2 x 2 et ½ Suivre diapo……. 4 2 1 1 1/2 La technique explicite démontre le résultat de cette opération.

29 Ennemi no1 : passer trop rapidement à l’abstrait
SUGGESTION: Respecter une certaine progression Le passage à 2 x 2 ¼ et à 2 ¼ x 2 ¼ peut suivre 4 4 Suivre une progression….. Nous seront confrontés à la valeur des zones Cette situation permet de consolider la représentation des fractions que l’on considère trop rapidement acquise. Avec cet exercice vous aurez l’heure juste. 1/16

30 Ennemi no2 : représenter de façon adéquate
SUGGESTION: Respecter une certaine progression L’enfant peut-il représenter: 2 x 2 6/ et /10 x 2 6/ et identifier la valeur de chaque zone? 4 4 4 16/10 Partir de la diapo……………. Ici nous avons utilisé le papier millimétré. Mais certains enfants pourraient trouver cela trop petit. La question se pose: Pourrait-on vraiment expliquer la multiplication des décimaux sans passer par la fraction. Pourtant le programme… Il faut donc rester vigilant en tout temps… 12/10 48/100

31 Ennemi no2 : représenter de façon adéquate
SUGGESTION: Revenir sur la valeur et le sens des fractions Il faut s’assurer que l’enfant donne aux différentes parties de l’entier la valeur qui lui est proportionnelle 4 1 Partir de la diapo Si les enfants ne sont pas capables de représenter les dixièmes et les centièmes, ils ne seront pas en mesure de donner la valeur d’une multiplication. 1/10 1/100 Identifier clairement ce qui vaut 1

32 4 Ennemi no 3 : identifier la valeur des zones SUGGESTION:
Prenons le temps de mettre en évidence 8/10 x 6/10 Dans l’équation /10 x 2 6/10 L’enfant ne prend pas conscience de la valeur de 0,8 x 0,6 . 2 8/10 x 2 6/10 8/10 x 6/10 1/10 x 1/10 4 Partir de la diapo L’interprétation de la valeur de chaque zone révèle la fragilité de l’apprentissage concernant le sens de la fraction. Ici nous sommes revenus au papier quadrillé avec des élèves pour ne traiter que des multiplication de dixièmes par des dixièmes. L’enfant est-il maintenant en mesure de comprendre pourquoi : 1 x = ou ,1 x 0,1 = 0, 01

33 Ennemi no 4: l’entier de référence
SUGGESTION: Identifier ce qui vaut 1. 28 x 26 = 2,8 x 2,6 = 7,28 Il faut prendre le temps d’identifier de quoi on parle et déterminer ce qui vaut 1 dans notre représentation. Surtout si nous avons représenter des multiplications avec les entiers naturels avant de passer aux multiplications sur les fractions et les décimaux. Il est parfois indiqué de travailler les naturel sur du papier quadrillé et de passer au papier millimétré pour des décimaux.

34 4 400 4 Opportunité : les connaissances antérieures SUGGESTION:
Des nombres naturels, aux fractions, aux décimaux… 28 x 26 2 8/10 x 2 6/10 2,8 x 2,6 400 160 4 16/10 4 1,6 120 Ici nous avons fait le lien entre les trois multiplications L’enfant reconnaît-il le lien entre l’expression d’une fraction sous forme a/b et sous forme de nombre décimal L’enfant peut trouver la valeur d’une zone en fonction de l’entier de référence. 48 12/10 48/100 1, 2 0,48

35 400 4 Ennemi no 5: passer à l’abstrait 728 7,28 SUGGESTION:
Faire le lien entre les zones et la multiplication. 28 x 26 2,8 x 2,6 400 160 4 1, 6 120 48 1,2 0, 48 28 x 26 2,8 x 2,6 48 (6 x 8) Par la suite nous pouvons faire le lien entre les représentations, la technique explicite Ainsi nous pouvons passer de: x à / x /10 à X = ?? Ce diviser par 100 est très important pour nous car il explique pourquoi, nous allons reculer la virgule. On voit aussi rapidement pourquoi on travaille la multiplication et la division des décimaux par 10, 100, 1000….Ces exercices préparent l’enfant à diviser par 100 rapidement… Ce qui sera très utile. En intervention nous voyons régulièrement les dommages d’un enseignement trop technique de la multiplication et de la division. En effet, l’enfant déplace les virgules sans trop comprendre et, de plus, applique cela directement dans la division alors que cela est inadéquat. En effet, il veut déplacer la virgule de sa réponse dans la division…. 0,48 (0,6 x 0,8) 120 (6 x 20) 1,2 (0,6 x 2) 160 (20 x 8) 1,6 (2 x 0,8) 400 (20 x 20) 4,00 (2 x 2) 28 X 26 = 728 = 7,28 728 7,28

36 400 Ennemi no 5: passer à l’abstrait
SUGGESTION: Faire le lien entre les zones et la multiplication. 28 x 26 28 x 26 48 (6 x 8) 400 160 120 (6 x 20) 120 160 (20 x 8) 48 400 (20 x 20) 728 Partir de la diapo………………….. Cela n’est pas sans nous rappeler la décomposition suivante: 28 x 26 = (20 + 8) x ( ) = (20 x 20) + (20 x 6) + (8 x 20) + (8 x6)

37 Diviser : Donner du sens à l’opération
SUGGESTION : Des nombres naturels aux décimaux… Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme : La numération est la base de la réussite Revoir la composition des nombres pour saisir le sens de la division Manipuler et débuter avec des divisions simples: ÷ 4 Diapo Prenez le temps d’avoir du plaisir : la réussite ça fait du bien

38 Diviser : Donner du sens à l’opération
SUGGESTION : Des nombres naturels aux décimaux… Respecter une certaine progression dans le choix des équations: Pour partager 24 unités entre 6 personnes, nous devons faire des transformations sur le nombre: Diapo Nous introduisons une difficulté importante lorsque nous présentons la division d’un nombre par un diviseur qui implique des transformations. Ces activités vont favoriser le passage aux dixièmes

39 Diviser: passer des naturels aux décimaux
SUGGESTION: Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme 24 ÷ 6 La manipulation des jetons va aider les enfants à comprendre le fonctionnement de la planche à calculer Il faut faire attention, car la valeur d’un jeton dépend de la position dans laquelle il est déposé. La compréhension de la notion de numération est essentielle.

40 Diviser : Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme
SUGGESTION : Faire le lien entre la représentation et l’algorithme Cette représentation est intéressante car elle permet de faire les liens avec la technique de division qui nous est la plus familière. Exemple: divisé par 6 Disons-nous: Combien de 6 dans 2? aucun Combien de 6 dans 24? 4 Est-ce que nous faisons? Devrions-nous faire autrement, pour favoriser la compréhension? Diapo…. Mais cela met en évidence quelques problèmes, devrions-nous dire, deux dizaines divisée par 6, impossible, Mes dizaines sont échangées avec des unités, 24 (20 +4) unités divisées par 6 , 4 . L’échange des dizaines pour des unités, c’est ce qui nous permet de faire le partage. Encore un fois la manipulation des blocs, et/ou le travail sur la planche à calculer supportera la compréhension…

41 Diviser les décimaux SUGGESTION:
Viser la compréhension et résister à l’attrait du symbolisme Si l’enfant est à l’aise avec la numération, introduire les dixièmes ne pose pas de problème. 24,6 ÷ 6 Diapo On peut aussi utiliser l’argent, qui encore ici provoque toujours des réussites chez les cas les plus désespérés $ $

42 Diviser les décimaux SUGGESTION: 24,6 ÷ 6
La planche à calculer permet de varier le matériel 24,6 ÷ 6 L’utilisation de certains outils nécessite des précautions particulières. Il faut s’assurer que l’élève comprenne bien le fonctionnement des planches à calculer. Dans le cas présent, si deux planches cote à cote ont déjà été utilisées pour représenter des unités des dizaines des centaines et des unités de mille des dizaines de mille des centaines de mille il est possible que la modification de l’usage pose problème. IL importe simplement d’en prendre conscience. D’autant plus que dans le premier cas la représentation des entiers se fait en complétant les cases de droite à gauche mais pour le traitement des décimales on travaille de gauche à droite. Certains intervenants mettent une virgule entre les deux planches….

43 Diviser : passer des naturels aux décimaux
SUGGESTION: Faire des représentations distinctes de chaque étape A début il est prudent de travailler par étapes et les représenter les unes après les autres tout en laissant les précédentes intactes. Cela permet à l’enfant de voir ce qu’on a modifié d’une étape à l’autre. Par la suite, on pourra rester sur la même planche…. La manipulation pour sa part va probablement se faire en continue sur la même planche. On voit que chaque mode de représentation

44 6 - 4,1 - - Diviser : De la représentation à algorithme les décimaux
Cette représentation est intéressante car elle permet de faire les liens avec la technique de division qui nous est la plus familière. 6 - 4,1 - Recommandation du programme Garder à l’esprit que le programme considère que l’enfant doit être en mesure de diviser les décimaux par un nombre naturel inférieur à 11… -

45 Qu’est qu’on a dit déjà? Sur les opération sur les fractions :
Les fractions sur 10 sont importantes car elles préparent l’étude des décimaux Les opérations d’additions et de soustractions et les multiplications de fractions par un nombre naturel inférieur à 10 doivent se faire à l’aide de matériel concret et de schémas . La multiplication d’une fraction par une fraction n’est pas au programme, mais elle supporte la compréhension de 0,1 x 0,1 qui donne 0,01… La division de fraction n’est pas au programme.

46 Qu’est qu’on a dit déjà? Sur les opération sur les décimaux :
Utiliser différents types de matériel pour faire manipuler les enfants. L’argent est une arme secrète. La multiplication des décimaux doit-elle passer par la compréhension de la multiplication des fractions comme ½ x ½, de 1/10 x 1/10? La division des décimaux est facilitée par la compréhension de la division des nombres naturels. Le lien entre la représentation et l’algorithme peut faire la différence entre la réussite et l’échec.

47 Conclusion Prenez les choses en main…
Les recherches scientifiques nous aident à comprendre comment l’enfant construit ses connaissances. Mais les chercheurs à eux seuls n’ont aucune prise pour améliorer l’apprentissage. Seuls les enseignants peuvent faire la différence …. SUGGESTION: Prenez les choses en main… Non... je voulais dire prenez vos mains… Non, Non…Mieux encore laissez les enfants prendre leurs mains. Oui, c’est cela, laissez les enfants prendre leurs mains…

48 Conclusion En bref, manipuler, questionner, observer et même rigoler …
Documents découlant de ces recherches Deux cahiers de l’élève Chacun avec son guide d’accompagnement et les fiches reproductibles Ces ouvrages visent à faciliter l’enseignement et à favoriser l’apprentissage tout en augmentant l’engagement des élèves dans les différentes activités concernant les fractions.

49 B Invitation D’autres ouvrages sont à venir.
Ces ouvrages sont utilisés un peu partout au Québec avec les autres volumes de la collection MATHOU : Cahier de l’élève B Chacun avec son guide d’accompagnement et les fiches reproductibles D’ailleurs vous êtes invités à une séance de signature au kiosque des éditions Marie France qui se sont préparés à vous accueillir et à répondre à vos questions pour chacun de ces volumes. L’an prochain je pourrai vous présentez ma nouvelle collection spécifiquement dédiée aux difficultés des élèves concernant la numération. D’autres ouvrages sont à venir. Ils sont spécifiquement dédiés aux difficultés des élèves pour chacun des champs de la mathématique. C’est la numération qui sera le thème de ma prochaine conférence à l’AQETA.

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