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Publié parNinon Laine Modifié depuis plus de 10 années
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cours 18 6.3 DÉTERMINANT
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Au dernier cours nous avons vus Linverse dune matrice. Quelques théorèmes qui encadrent son existence. Les matrices élémentaires. Lalgorithme de Gauss pour trouver linverse.
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Aujourdhui, nous allons voir Le déterminant dune matrice carré Les propriétés du déterminant La matrice adjointe Calcul de linverse à laide de la matrice adjointe
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Définition: 4 Soit une matrice carrée, le mineur de la i- ième lignes et j-ième colonnes noté est la sous matrice de obtenue en y enlevant la i- ième ligne et j-ième colonne.
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Définition: 5 Soit une matrice carrée n x n, le déterminant de, noté est définit de manière récursive comme suit; On fixe une ligne ou une colonne Si n=1 Si n >1
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Exemple:
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Propriétés des déterminants 1)
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En développant selon cette ligne de zéros. Si a une ligne ou une colonne de zéros, alors2) Propriétés des déterminants
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Si est obtenue de en multipliant une ligne (ou colonne) par une constante. 3) Propriétés des déterminants
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Si a deux lignes ou deux colonnes identique, alors Si est une matrice 2 x 2 alors car 4) Si est de format n x n avec n > 2, on peut développer le déterminant en ne développant jamais avec les deux lignes (2 colonnes) identiques. Le résultat sera une (potentiellement très grosse) somme de déterminants 2 x 2 avec 2 lignes (ou 2 colonnes) identiques. Donc une grosse somme de zéro! Propriétés des déterminants
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Si est obtenue de en ajoutant un multiple dune ligne (ou colonne) à une autre. 5) Propriétés des déterminants
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Si est obtenue de en interchangeant deux lignes ou deux colonnes 6) Si est une matrice 2 x 2 alors car Le résultat sera une (potentiellement très grosse) somme de déterminants 2 x 2. Si est de format n x n avec n > 2, on peut développer le déterminant en ne développant jamais avec les deux lignes (2 colonnes) interchangé. Si on interchange leurs deux lignes et quon mets les -1 en évidence, on obtient Propriétés des déterminants
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Proposition: Soit une matrice triangulaire supérieurs (ou inférieure) alors le déterminant de est le produit des éléments de sa diagonale principale. En développant selon la première colonne.
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Proposition:
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Une preuve directe de ceci nest pas particulièrement amusante! Mais! Si on passe par les matrices élémentaires... cest plus beaucoup plus sympathique! Si est une matrice élémentaire alors Il y a trois type de matrice élémentaire donc trois cas à vérifier. Lemme:
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(Type ) Car est diagonale donc est la produit de sa diagonale. Car est triangulaire donc est la produit de sa diagonale.
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Théorème: Preuve: car la dernière ligne de est une ligne de zéros. On peut écrire avec Sialors et donc
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En fait, on peut reformuler le dernier théorème comme suit; est inversible Et cet énoncé, ça peut sauver bien du temps! Car calculer un déterminant, est pas mal plus court que de trouver un inverse!
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Preuve: Si alors de ( )
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Si reste à voir que auquel cas, on aura que mais car la dernière ligne de est une ligne de zéros. et donc la dernière ligne de aussi et
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Proposition: Preuve: Transposé ne fait quinterchanger le rôle des lignes et des colonnes. Proposition:
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Remarque: 25 Cette définition permet la réécriture du déterminant comme suit; Soit une matrice carrée, le cofacteur de lélément, noté, est : Définition:
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Proposition: Preuve: Si alors Lidée devient explicite si on prend
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Définition: La matrice adjointe de, noté, est: La matrice des cofacteurs de, noté, est: Définition:
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Exemple:
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Linverse dune matrice est donnée par: Vérification:
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Cette méthode dinversion de matrice peut être plus longue. Mais si la matrice est une 2x2, cest vraiment plus vite!
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Exemple: Soit calculer.
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Aujourdhui, nous avons vu Le déterminant dune matrice carré Les propriétés du déterminant La matrice adjointe Calcul de linverse à laide de la matrice adjointe
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Devoir: p. 225 # 1 à 7
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