ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

Présentation au sujet: "ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur"— Transcription de la présentation:

1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes : LDL’ et Choleski

2 Résoudre un système linéaire
Fonction x = Gauss(A,b) Fonction x = LU(A,b) U,c = descent(A,b) x = triang(U,c) L,U = decompose(A) y = triang(L,b) x = triang(U,y) Cas particulier : A est symétrique définie positive

3 Matrice à diagonale dominante
Définition : une matrice carrée A est dite à diagonale dominante ssi : Théorème : Si A est a diagonale strictement dominante, Alors est elle alors non singulière, De plus Gauss est stable et peut fonctionner sans changement de colonne Éléments de démonstration : Ax=0, par l’absurde

4 Matrice symétrique définie positive
Symétrique : A’=A Définie positive : Exemple : Rappelez vous des moindres carrés

5 Exemple

6 Exemple

7 Propriétés des matrices définies positives
Théorème : Si A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : A est non singulière aii > 0 pour i=1,n

8 Propriétés des matrices définies positives
Théorème : Si A est une matrice n x n strictement définie positive Alors : A est non singulière aii > 0 pour i=1,n

9 Propriétés des matrices définies positives
Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

10 Propriétés des matrices définies positives
Théorème : Si A est une matrice n x n symétrique strictement définie positive Alors :

11 Autres propriétés Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrice principales à un déterminant positif

12 Autres propriétés Définition : une sous matrice principale d’une matrice A est une matrice carrée de la forme A(1:i,1:i) quelque soit i Théorème : Une matrice symétrique est définie positive ssi chacune de ses sous matrice principales à un déterminant positif

13 Autres propriétés Théorème :
Une matrice est symétrique définie positive si la méthode de Gauss être appliquée sans permutations n’admet que des pivots positifs De plus, le résultat est stable par rapport aux erreurs d’arrondi Corollaire si A est une matrice symétrique non singulière, Alors il existe une matrice diagonale D et une matrice triangulaire avec des 1 sur la diagonale L telles que : A = LDL’ éléments de démonstration : A non singulière => A=LU =LDV et A’=V’DL’ que l’on identifie car A est symétrique

14 Factorisation LDL’ V=DL’ vj=S lijdj aii=di+S lijvj aij=dilij+S likvk A
vj=S lijdj aii=di+S lijvj aij=dilij+S likvk L A i Exemple :

15 La factorisation LDL’ Fonction L,D = décomposeLDL(A)

16 Choleski : LL’ D doit être positif ! Théorème :
toute matrice A symétrique définie positive admet une décomposition unique sous la forme A=LL’ ou L est une matrice triangulaire inférieure dont tous les éléments diagonaux sont positifs

17 Choleski : l’algorithme
Fonction L = Choleski(A)

18 Comparaison : temps de calcul
2 Total n3/ n3/3 Plus stable !

19 Logiciels Cas général : PA=LU
Matrice symétrique définie positive : A=LL’ (Choleski) Matrice symétrique : A=LDL’ Matrice tridiagonale (heisenberg) : LU par bande (cf TD) Matrice triangulaire : « remontée en n2 » Matlab : x =A\b ; si A triangulaire : x=trisup(A,b) sinon si A symétrique définie positive ; L=chol(A) sinon : (* cas général*) [L,U,P]=lu(A); z=L\(P*b); x=U\z; LAPACK = BLAS (basic linear algebra subprograms) - blaise, octave, matlab (interprétés calcul) - scilab, maple (interprétés formels) - IMSL, NAG (bibliothèques)