PGCD : sous ce sigle un peu bizarre se cache un outil bien utile dans les simplifications de fractions, mais aussi dans bien des problèmes de la vie courante…

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1 PGCD : sous ce sigle un peu bizarre se cache un outil bien utile dans les simplifications de fractions, mais aussi dans bien des problèmes de la vie courante… 3e3e PGCD

2 DIVISEURS ET MULTIPLES Exemple: le reste de la division entière de 357 par 17 est 0. On dit alors au choix : 357 est divisible par 17 17 est un diviseur de 357 357 est un multiple de 17 35717 210

3 Contre-exemple: 945 nest pas divisible par 37 puisque le reste de la division entière de 945 par 37 nest pas 0. On peut dire aussi au choix : 37 nest pas un diviseur de 945 945 nest pas un multiple de 37 94537 2520

4 Il existe quelques règles simples qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10. On les appelle les critères de divisibilité : divisibilité par 2: le nombre se termine par un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8). divisibilité par 3: la somme des chiffres est un multiple de 3. divisibilité par 5: le nombre se termine par 0 ou 5. divisibilité par 9: la somme des chiffres est un multiple de 9. divisibilité par 10: le nombre se termine par 0. dans les autres cas: on doit faire la division entière et voir si le reste est 0. CRITERES DE DIVISIBILITE

5 Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) Exemple : 135 est divisible par 3 puisque : 1 + 3 + 5 = 9 et 9 est un multiple de 3. 240 est lui aussi divisible par 3 puisque : 2 + 4 + 0 = 6 et 6 est un multiple de 3. 3 est donc un diviseur commun à 135 et à 240. Mais 135 et 240 sont aussi tous les deux divisibles par 5 (voir critères de divisibilité) : 5 est donc un autre diviseur commun à 135 et 240. 135 et 240 ont donc 3 et 5 comme diviseurs en commun mais ils en ont peut être dautres : le plus grand d'entre eux s'appelle le PGCD. Pour le trouver, on utilise un procédé appelé Algorithme dEuclide.

6 Un algorithme est un procédé de calcul qui se répète plusieurs fois de suite jusquà obtention du résultat. Euclide (mathématicien grec né au III°s. av. J.C.) en a mis au point un qui permet de calculer le PGCD de deux nombres. On lappelle lAlgorithme dEuclide. ALGORITHME DEUCLIDE Exemple 1: on recherche le PGCD de 91 et 234 : Le plus grand entre 91 et 234 23491 252 9152 139 5239 113 3913 30 Lalgorithme se termine lorsque lon obtient pour reste 0. Le PGCD est alors le dernier diviseur. Dans cet exemple, on obtient 13 pour PGCD de 91 et 234.

7 Remarque : lorsque le PGCD de deux nombres vaut 1, on dit que les deux nombres sont premiers entre eux. Exemple 2: on recherche le PGCD de 558 et 186 : 558186 30 Le plus grand entre 558 et 186 Dès la première division, on obtient comme reste 0. Cela signifie que le PGCD de 558 et 186 est 186 lui-même.

8 On dit qu'une fraction est irréductible lorsqu'elle est simplifiée au maximum (on ne peut plus la réduire…). Méthode : pour rendre une fraction irréductible, on peut commencer par utiliser les critères de divisibilité. Ensuite, si lon nest pas certain davoir obtenu une fraction irréductible, on cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur et on simplifie la fraction par ce nombre. Comme cest le plus grand diviseur commun, on est alors sûr davoir obtenu une fraction irréductible. FRACTION IRREDUCTIBLE Exemple 1: on veut mettre sous forme irréductible la fraction Daprès les critères de divisibilité, on peut simplifier par 2 : Les critères de divisibilité ne permettent plus de simplifier et on ne voit pas si la fraction obtenue est irréductible. On va alors calculer le PGCD de 91 et 234 : l'algorithme d'Euclide utilisé précédemment permet de trouver 13. On simplifie alors par 13 : On a finalement :

9 Exemple 2: on veut mettre sous forme irréductible la fraction Les critères de divisibilité ne permettent pas de simplifier cette fraction. Donc il faut trouver le PGCD de 537 et 371 : l'algorithme d'Euclide permet de trouver 1. Cela signifie que la fraction est déjà sous sa forme irréductible ! Remarque: on pourrait se contenter de calculer systématiquement le PGCD pour rendre une fraction irréductible. Mais quelquefois, les critères de divisibilités suffisent et cest alors beaucoup plus rapide ! Exemple :