« 90% de nos trains arrivent à lheure! ». énoncé exercice : « Le retard sur un trajet train de 6h15 Marseille-Paris est en moyenne: 10mn avec écart type.

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1 « 90% de nos trains arrivent à lheure! »

2 énoncé exercice : « Le retard sur un trajet train de 6h15 Marseille-Paris est en moyenne: 10mn avec écart type 3mn; Encadrement du retard? »

3 Faire des mathématiques, cest raisonner Comment intégrer les probas dans cette perspective?

4 Soit Ri la variable aléatoire: Retard (en mn) sur train de 6h15 Mrs-Paris le jour i Loi du retard Ri?

5 Un échantillon (X i ) i=1…n est: un n-uple de variables aléatoires, indépendantes, de même loi. (x i ) i=1…n en est une réalisation

6 Moyenne d'échantillon : X = ( X i )/n : E(X i ) = m donc E(X) = m; Indépendance des X i : Var X = (Var X i )/n

7 Le retard est une erreur: Ri = Ti-T, où Ti = temps de trajet jour i T: temps de trajet annoncé

8 Si Ri suit une loi Gauss N(10; 3): Alors: P[10-1.96σ < Ri < 10+1.96σ] = 0.95

9 Alors, sur un trajet: Le retard est, au seuil 95%, compris entre: 4mn et 16mn

10 Si on ne connaît pas la loi de Ri? Hypothèses raisonnables:

11 Les retards Ri sont des V.A Indépendantes De même loi, despérance 10, décart type 3

12 Les Ri ne sont pas identiques Mais sont de même loi…inconnue TCL: La loi de la moyenne déchantillon est une loi normale, pour n assez grand.

13 Intervalle de fluctuation de la moyenne: Au seuil de confiance 95%: [10-1.96(σ/n); 10+1.96(σ/n)]

14 Sur 36 trajets: le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre 9mn et 11mn …quelle que soit la loi de chaque retard Ri!

15 Sur 3600 trajets: le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre 9mn54s et 10mn6s

16 Doù lestimation De la moyenne: 10 mn Puis, de lécart-type…

17 Et cest ainsi que lon peut justifier les hypothèses… Aller retour réalité-modèle- réalité:

18 Observation échantillon de variables aléatoires (Ri) dont (r i ) i=1…n en est une réalisation donne moyenne (et écart type) observés.

19 De l'observation à la modélisation: Construction dun intervalle de confiance aussi fin que lon veut à partir dun échantillon de taille assez grande.

20 De la modélisation à l'observation Construction d'intervalles de fluctuation

21 La loi normale intervient à deux niveaux: - Pour l approximation de la loi de la moyenne d un SEUL échantillon (Xi) de taille n assez grande;

22 Pour un échantillonnage: Si on fait 1000 échantillons de 36 relevés de « retard… », alors 95% des échantillons donneront un retard moyen compris entre 9 et 11mn…

23 Lois des erreurs: (n grand) Les moyennes des erreurs suivent des lois normales, si n assez grand La multiplication des mesures « normalise » les erreurs...

24 Autres pistes: Une usine fabrique des pièces dont le diamètre est une variable aléatoire suit une loi normale; l'erreur Ei sur la pièce i est une variable aléatoire despérance nulle (compensation)

25 Pour estimer distance Terre Soleil: 400 mesures donne une précision 20 fois meilleure qu'une seule mesure

26 Gauss : Les erreurs de mesures suivent des lois normales : Echantillon gaussien