ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

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1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires

2 Opérations sur les vecteurs
Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension

3 Opérations sur les vecteurs
Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux

4 Normes et produit scalaire

5 Matrices Tableau de n lignes et k colonnes Remarque fondamentale :
on ne peut rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente

6 Applications linéaires
Soient E et F deux espaces vectoriels Définition : Propriétés : Noyau : image : Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(ei) rang = dim(Im(u)) u injective (ker(u) = 0) u surjective Im(u) = F Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice

7 Applications linéaires et matrices

8 Propriétés des matrices
u, A Img(A) Ker(A) Rn Rk

9 Propriété des matrices
Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F soit k = dim(E) et n=dim(F) Noyau Rang (nombre de colonnes linéairement indépendantes) variables équivalentes équations équivalentes systèmes liés - systèmes libres (matrices blocs) vecteurs propres

10 Opérations sur les matrices
Somme : somme des applications linéaires produit : composition des applications linéaires A B n p q AB n’est pas BA (non commutatif)

11 Complexité algorithmique
Quel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ? Définitions grand O petit o équivalence asymptotique O(n2) < Algorithme < O(n3) A, B et C sont des matrices carrées de taille n Exemple, n=2 NR pagen = 10.^([1:10]); [log10(n') n'.^3./n'.^(log2(7))] 23 = 8 multiplications Comme Strassen, 1969 sauriez vous faire mieux ?

12 Complexité algorithmique
Quel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ? Exemple, n=2 log10(n) n3/n(log2(7)) Numérical recipiees : page n = 10.^([1:10]); [log10(n') n'.^3./n'.^(log2(7))] Strassen, 1969 o(n2) < Algorithme < O(nlog27) 2,807

13 Opérations sur les matrices
Inverse (a.l. bijective <=> matrice carrée) matrice identité I Transposée (adjointe pour les complexes) A est symétrique ssi A’=A Permutation p associé à la matrice P (changement de base de ei à ep(i))

14 Opérations sur les matrices
Changement de base déterminant d’une matrice carrée

15 Quelques matrices particulières
Matrices carrées Matrices diagonales Matrices triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices par bandes Matrice diagonale (strictement) dominante Matrice symétrique Matrice de Vandermonde (déjà vu en introduction) Matrice de Toeplitz Matrice de Hankel

16 4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque l’on : 1. permute 2 lignes interprétation physique 2. permute 2 colonnes 3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne

17 Question fondamentale
A quelles conditions l’équation Ax = b admet-elle une solution unique ? Théorème Dim(Im u)+dim(ker u) = dim(F) rang(u)+dim(ker u) = dim(F) corollaire