Mécanique des fluides Chapitre 4

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1 Mécanique des fluides Chapitre 4
En arrière plan: études de Leonardo sur le mouvement de l’eau.

2 Contenu du chapitre 4 (1) 1. Introduction 2. Hydrostatique
Les caractéristiques mécaniques des fluides Les types de fluides Équation de continuité 2. Hydrostatique La Poussée d’Archimède Les forces sur une paroi 3. Fluides idéaux Équation de mouvement Le Théorème de Bernoulli Quelques applications simples Le Théorème d’Euler

3 Contenu du chapitre 4 (2) 4. Fluides visqueux incompressibles
Fluides newtoniens Équations de Navier-Stokes Expérience de Reynolds Pertes d’énergie Le mouvement des fluides en conduite Les actions dynamiques des fluides 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet

4 Chapitre 4 1. Introduction Les caractéristiques mécaniques des fluides
Les types de fluides Équation de continuité En arrière plan: études du tourbillon. Newton, Principia Mathematica, 1687.

5 Les caractéristiques mécaniques des fluides
Les fluides sont des milieux continus qui d’un point de vue mécanique, sont caractérisés par ne pas avoir une forme propre; être des milieux homogènes et isotropes; ne pas pouvoir développer des contraintes de traction; avoir une loi de comportement qui ne s’exprime pas comme une relation entre le tenseur de la contrainte et celui de la déformation, mais plutôt entre le tenseur de la contrainte et la variation temporelle du tenseur de la déformation; en gros, ce ne sont pas les déformations mais les vitesses de déformation qui entrent en jeu. de ce fait, les fluides seront caractérisés par d’autres paramètres mécaniques que E et n. Ici, on se bornera à une présentation très succincte de la mécanique des fluides, en renvoyant aux textes en bibliographie pour un approfondissement.

6 Les types de fluides (1) Les fluides se divisent classiquement en deux catégories: fluides parfaits ou non visqueux; pour ces fluides, le seul type de contrainte interne est de type normal, en toute situation possible: ils ne sont pas en mesure d’exercer des contraintes tangentielles; fluides réels ou visqueux; ce sont les fluides qui peuvent exercer, outre les contraintes normales, aussi les contraintes tangentielles. A leur tour, ces 2 catégories peuvent être divisées en: fluides incompressibles: leur densité est une constante; fluides compressibles: leur densité peut varier avec les contraintes appliquées. Un fluide parfait incompressible est parfois indiqué comme fluide idéal.

7 Les types de fluides (2) A stricte rigueur, tout fluide est visqueux et compressible. Toutefois, dans nombreuses applications on peut considérer un fluide comme parfait, incompressible etc.; en particulier: les liquides sont pratiquement incompressibles; les gaz sont compressibles, mais si la vitesse est inférieure à environ les 2/3 de la vitesse du son, on peut les considérer avec bonne approximation comme incompressibles; dans les écoulements en conduite, sur des parcours brefs on peut considérer les fluides comme parfaits, mais pas sur des parcours longs, où il faut considérer les effets de la viscosité; encore, pour les écoulements autour d’objets (écoulements extérieurs, p. ex. le vent autour d’une voiture ou d’un avion) on peut diviser l’écoulement en deux parties: celle loin du corps, où le fluide se comporte comme non visqueux, et celle proche du corps, où le fluide se comporte comme visqueux.

8 Les types de fluides (3) Donc, le type de fluide ne dépend pas seulement du milieu, mais aussi de la situation de l’écoulement. En fait, quand on parle de fluide parfait ou visqueux, en réalité on parle d’un modèle mécanique: le modèle doit être bien adapté à décrire la situation, mais il se peut que dans une autre circonstance le même modèle ne soit pas le plus indiqué (voir ce qu’on a dit au chapitre 2 au sujet du modèle de corps rigide etc.). Un problème majeur en mécanique des fluides est que le type de modèle employé décide aussi du type d’équations du mouvement; or, ces équations, tout en ayant une même racine, sont très différentes d’un point de vue strictement mathématique. Ceci résulte en une grande différence dans les méthodes mathématiques utilisées pour traiter les différents modèles, mais dans tous les cas il y a une caractéristique commune: la grande difficulté de solution des équations de la mécanique des fluides.

9 Les types de fluides (4) En fait, on connaît un faible nombre de solutions exactes, toutes concernant des situations simples d’un point de vue géométrique. Pour les situations courantes, il faut faire appel à des méthodes numériques ou expérimentales (utilisation des simulations numériques, des souffleries ou des bassin hydrauliques pour la simulation expérimentale). Dans cette brève présentation de la mécanique des fluides, après une introduction à l’hydrostatique, on ne parlera que de fluides idéaux et de fluides visqueux incompressibles; en fait, une présentation correcte de la mécanique des gaz comporte l’introduction nécessaire de l’énergie interne et donc de concepts propres à la thermodynamique, ce que on a n’a pas souhaité faire dans ce module de présentation de la mécanique.

10 Équation de continuité
Quoi qu’il en soit du modèle de fluide, l’équation de continuité (conservation de la masse) est la même, celle qu’on a trouvé au chapitre 3: Cette équation lie la densité r à la vitesse v. Pour les fluides incompressibles, la densité est constante et donc: Cette dernière est donc l’équation qui caractérise les fluides incompressibles (elle joue le rôle de loi constitutive des fluides incompressibles).

11 Chapitre 4 2. Hydrostatique La Poussée d’Archimède
Les forces sur une paroi En arrière plan: le vol de la première montgolfière. Annonay, 4 juin 1783.

12 La Poussée d’Archimède (1)
L’hydrostatique est la partie de la mécanique des fluides qui s’occupe de l’équilibre des fluides et des corps immergés dans un fluide. Dans ce domaine, la loi la plus importante est connue sous le nom de: Voyons la signification, les conséquences et les applications de ce Principe (qui n’est pas un vrai principe, car on peut le démontrer mathématiquement). Principe d’Archimède: tout corps immergé dans un fluide reçoit une force vers le haut égale au poids du fluide déplacé.

13 La Poussée d’Archimède (2)
La poussée d’Archimède est une force qui n’est que la résultante des forces de pression. La pression est une force de contact: c’est une contrainte normale de compression. En conditions d’équilibre, l’état de contrainte dans un fluide est du type p est un scalaire positif: la pression. On constate immédiatement que la contrainte t sur une facette de normale n est toujours la même: t= -p n, donc de compression. (c’est cohérente avec ce qu’on a dit à la page 5: pas de traction dans les fluides).

14 La Poussée d’Archimède (3)
A l’équilibre, donc, l’état de contrainte dans un fluide ne dépend pas de la direction, et ceci est rigoureusement vrai pour tout type de fluide. Or, on a déjà observé que la poussée d’Archimède ce n’est que la résultante de toutes les forces de pression qui agissent sur la surface mouillée du corps. Ce qui est étonnant, c’est que cette force est toujours verticale: les composantes horizontales s’annulent. Non seulement, mais le Principe d’Archimède nous donne une façon extrêmement simple de calculer cette résultante: il suffit de calculer le volume immergé et de le multiplier par le poids volumique du fluide! Pas besoin de faire des compliquées intégrales de surface de la pression! W W p

15 La Poussée d’Archimède (4)
La poussée d’Archimède est la force de flottaison: si le poids total du corps immergé est inférieur à la poussée, alors le corps flotte jusqu’à ce que les deux forces s’équilibrent. En cas contraire, le corps coule! Cette force est celle qui permet au navires de flotter, aux aérostats de voler et au sous-marins de «voler dans l’eau». En fait, le poids total d’un bateau est exactement égal à celui de l’eau déplacé. Si on ajoute du chargement, le poids du navire augmente et il s’enfonce jusqu’à ce que le nouveau volume d’eau donne une poussée d’Archimède suffisant à équilibrer le nouveau poids.

16 La Poussée d’Archimède (5)
La poussée d’Archimède est une force appliquée en un point qui est le barycentre du volume immergé, le centre de carène C, alors que le poids du bateau est appliqué en correspondance du barycentre B du bateau même. Le bateau alors est en équilibre stable seulement si C est supérieur à B: en fait, seulement dans ce cas le couple formé par le poids du bateau et la poussée d’Archimède a un moment qui tend a redresser le bateau lorsqu’il oscille. C’est pour ça qu’on ajoute la dérive aux voiliers, pour baisser la position de C et rendre stable le bateau! (et aussi pour contraster, avec le même effet, la poussée horizontale du vent sur la voilure). C B C B C B C B

17 La Poussée d’Archimède (6)
Dans une montgolfière, on gonfle le ballon avec de l’air qui est chaud, et donc dilaté par rapport à l’air ambiant: son poids spécifique est donc mineur et le poids du volume d’air ambiant déplacé par le ballon est supérieur au poids du ballon gonflé d’air chaud plus la nacelle: la montgolfière vole! Dans les dirigeables, on utilise plutôt un gaz plus léger de l’air: l’hélium. Dans les deux cas, la nacelle baisse la position du barycentre de l’aérostat, comme la dérive pour les voiliers, en rendant ainsi stable la position de l’aérostat.

18 La Poussée d’Archimède (7)
Pour un sous-marin, la poussée d’Archimède est réglée de façon à faire immerger ou émerger le navire. Cela est fait en utilisant des réservoirs qui sont remplis d’air lorsque le sous-marin est en émersion, et qui sont inondés pour aller en immersion. Une fois la condition neutre obtenue (poussée égale au poids), le navire est en équilibre vertical et il est guidé à l’aide de surfaces de direction verticales et horizontales. Pour refaire surface, on injecte de l’air comprimé dans les réservoirs; l’eau est expulsé et le poids diminue: la poussée d’Archimède, qui n’a pas changé, pousse le navire en haut jusqu’à ce qu’il émerge.

19 Les forces sur une paroi (1)
La force hydrostatique qu’un fluide exerce sur une paroi mouillée est l’intégrale de la pression sur la surface. Or, en conditions statiques, la pression varie linéairement avec la profondeur: Dans cette équation, z est la profondeur mesurée à partir de la surface libre. Donc, tracer la variation de la pression avec la profondeur est simple, et simple est aussi calculer la valeur de la force hydrostatique et déterminer son point d’application.

20 Les forces sur une paroi (2)
Voyons ça avec un exemple classique, le calcul de la force sur un barrage. Le diagramme de la pression sur la paroi mouillée est linéaire (en forme de triangle). La pression la plus forte est celle en bas, égale à rgh (h étant la profondeur du bassin). La résultante R (par unité de longueur de barrage) est égale à la surface du diagramme de chargement: Cette force est orthogonale à la paroi (comme la pression) et appliquée en correspondance du barycentre du diagramme de la pression: à 1/3 du bas de la paroi. z l/3 l h R p=r g h

21 Les forces sur une paroi (3)
C’est important de comprendre que ce n’est pas la quantité de fluide qui détermine la résultante de la force, mais seulement la pression. Donc, deux barrages de la même hauteur sont soumis à la même force, même si dans un cas le las artificiel est plus grand que dans l’autre. C’est la paradoxe du tonneau: pour faire éclater un tonneau il suffit d’ajouter un petit tube vertical qu’on rempli de fluide: quand le niveau est suffisant, la pression est si forte que le tonneau éclate, et ceci tout en n’ayant ajouté qu’une petite quantité de fluide! D’ailleurs, ceci est exploité dans les vérins hydrauliques: la force exercée par le vérin est proportionnelle à la pression et à la surface du vérin. En utilisant des surfaces suffisantes, on obtient des forces considérables même avec des pressions pas trop importantes.

22 Chapitre 4 3. Fluides idéaux Équation de mouvement
Le Théorème de Bernoulli Quelques applications simples Le Théorème d’Euler En arrière-plan: machine hydraulique. Planche de l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert, 1751.

23 Équation de mouvement (1)
Les fluides parfaits ne sont pas capables d’exercer des contraintes tangentielles. De ce fait, le tenseur de la contrainte est toujours comme dans le cas statique: il n’est formé que par la pression: Seulement que maintenant la pression est liée au mouvement (même si elle n’est pas déterminée par le mouvement de façon unique).

24 Équation de mouvement (2)
L’équation de mouvement pour les fluides parfaits (et a fortiori pour les idéaux) a été trouvée par Euler: Pour les fluides idéaux, r est constante et la même partout. Cette équation, qui est l’équation de mouvement par unité de volume, est à confronter avec l’équation générale du mouvement vue au chapitre 3 (page 30).

25 Équation de mouvement (3)
Elle montre que les causes de la variation de la vitesse ce sont les forces de volume et la variation spatiale de la pression (la divergence de s se traduit dans le gradient de la pression dans le cas où s est du type «hydrostatique»). Les équations d’Euler sont très compliquées et on ne connaît pas une solution générale de ces équations. Ceci est dû essentiellement au terme à 2ème membre; en fait, la dérivée totale par rapport au temps, devient, une fois que tout à été écrit en prenant comme variables indépendantes le temps et la position actualisée (approche eulérienne):

26 Équation de mouvement (4)
Ces équations sont fortement non linéaires: en fait, les inconnues sont les composantes de la vitesse et la pression; or, au 2ème membre on a un opérateur différentiel des inconnues mêmes… La quatrième équation est l’équation de continuité, que pour les fluides idéaux est Il faut observer que la plupart des fois, les forces volumiques sont la pesanteur, qui est conservative. Une autre hypothèse souvent faite, est l’irrotationnalité, c’est-à-dire que le vecteur rotationnel de la vitesse est nul. Cette hypothèse est justifiée par un théorème de Lagrange, qui assure la conservation du rotationnel pour les fluides parfaits; mais alors, si un écoulement commence du repos, qui est sans doute irrotationnel, il restera toujours irrotationnel!

27 Le Théorème de Bernoulli (1)
Dans le cas d’écoulements de fluides idéaux soumis à des forces conservatives, D. Bernoulli a trouvé l’équivalent de la conservation de l’énergie mécanique totale pour unité de poids de fluide. En réalité, il faudrait parler de théorèmes de Bernoulli, car on a au moins trois cas possibles. Ici, on se bornera à introduire le grand théorème de Bernoulli, celui qui a à sa base toutes les hypothèses possibles, et qui est le plus souvent utilisé dans les applications; il est valable pour les écoulements irrotationnels et stationnaires (ou permanents; ce sont les écoulements dans lesquels la vitesse ne dépend pas explicitement du temps). En outre on l’énoncera dans le cas où les forces de volume sont la pesanteur (c’est pratiquement toujours le cas).

28 Le Théorème de Bernoulli (2)
Voici donc le: Théorème de Bernoulli: dans un fluide parfait soumis à l’action de la pesanteur, en écoulement irrotationnel stationnaire, la somme des hauteurs géométrique, de pression et cinétique est constante:

29 Le Théorème de Bernoulli (3)
Les applications du théorème de Bernoulli sont pratiquement infinies. Son importance est centrale en mécanique et il est sans doute le plus important théorème de la physique mathématique, au moins pour ses applications. Comme déjà dit, ce théorème stipule la conservation de l’énergie par unité de poids de fluide: la dimension de l’énergie est donc celle d’une hauteur: c’est pour ça qu’on parle de hauteurs dans le trinôme de Bernoulli. En particulier, l’hauteur géométrique z est l’énergie potentielle de la pesanteur, l’hauteur de pression p/g (g étant le poids volumique du fluide) est l’énergie potentielle des efforts internes de pression et l’hauteur cinétique v2/2g est l’énergie cinétique, le tout par unité de poids de fluide.

30 Quelques applications simples (1)
Voyons deux applications classiques du théorème de Bernoulli. Vitesse de sortie d’un réservoir: considérons un réservoir rempli d’eau, de profondeur h; au fond du réservoir il y a un trou pour l’évacuation de l’eau. Supposons que le niveau du liquide soit constant dans le réservoir (voire, que la surface du réservoir est tellement plus grande du trou que la vitesse avec laquelle l’eau baisse dans le réservoir est totalement négligeable). Le problème est de trouver la vitesse de sortie de l’eau, et donc le débit volumique. L’application du théorème de Bernoulli entre les sections 1 (la surface libre) et la surface 2 (le trou) permet de résoudre le problème: 1 h z 2

31 Quelques applications simples (2)
Dans ce cas: z1=h, z2=0; p1=p2: c’est la pression ambiante dans les deux cas (normalement, la pression atmosphérique): la pression n’entre donc pas en jeu dans ce problème; v1=0 (par l’hypothèse faite) et v2 est l’inconnue du problème. Le théorème de Bernoulli devient donc: On retrouve la vitesse de Torricelli, déjà vue au chapitre 2 (page 61) pour la chute libre (c’était à prévoir, derrière il y a toujours la conservation de l’énergie mécanique…). Pour avoir le débit volumique, il suffit maintenant de multiplier la vitesse par l’aire du trou.

32 Quelques applications simples (3)
Le tube de Venturi: c’est un dispositif utilisé pour mesurer le débit volumique dans une conduite. Le dispositif consiste en un rétrécissement de la section. En correspondance d’une section amont et de la section rétrécie on capte la pression, à l’aide p. ex. de deux piézomètres. Un piézomètre est simplement un tube dans lequel le fluide peut remonter: l’hauteur du fluide est simplement l’hauteur de pression (donc une mesure de la pression). Si le tube de Venturi est en horizontal, comme en figure, le théorème de Bernoulli appliqué entre les sections 1 et 2 donne simplement (z1=z2): D1 D2 1 2 p1/g p2/g

33 Quelques applications simples (4)
Dans cette équation il y a deux inconnues, les deux vitesses (les hauteurs de pression sont mesurées à l’aide des piézomètres). Il faut donc une autre équation: l’équation de continuité. Celle-ci exprime, pour un fluide idéal, la conservation de la densité. Dans le cas d’un écoulement stationnaire en conduite, ceci se traduit dans le Théorème de Leonardo: le débit volumique est constant: Ce théorème montre, entre autres, que la vitesse est plus grande où la section est plus petite (A est la section droite du tube). L’équation qui manque est donc

34 Quelques applications simples (5)
La solution du problème est donc vite trouvée: Le débit volumique sera donc donné par la formule Il suffit donc de mesurer la différence d’hauteur de pression, les caractéristiques géométriques du tube de Venturi étant connues, pour obtenir le débit volumique.

35 Le Théorème d’Euler (1) Le Théorème d’Euler exprime le bilan de la quantité de mouvement non pas pour une partie matérielle (constituée toujours par les mêmes particules) mais pour un volume de contrôle, c’est–à–dire pour un volume spatial fixe, dans lequel la matière peut circuler. Ce théorème est plutôt important, car il permet le calcul des actions dynamiques qu’un écoulement donne aux parois du solide qui le contient. Donc, il est à la base du calcul des turbines et des pompes, mais il sert aussi dans de nombreuses autres circonstances, p. ex. pour calculer l’action sur un tube qui change de géométrie. Dans sa forme la plus générale, le théorème d’Euler est Ici, V est le volume de contrôle et n la normale externe unitaire à sa frontière.

36 Le Théorème d’Euler (2) Voyons une application simple de ce théorème: il s’agit de calculer la poussée d’un jet d’eau sur une aube courbe. Cette poussée F est la partie de l’intégrale de surface de t faite sur la paroi de l’aube. En faisant l’hypothèse que le jet conserve sa section droite (et donc, par le théorème de Leonardo, v1=v2) et que les forces de volume sont négligeables, on obtient (A est la section droite du jet): La force est donc selon la bissectrice de l’aube et sa valeur est a v 2 1 n1 n2

37 Le Théorème d’Euler (3) Cette valeur est maximale pour a=180°; dans ce cas la force vaut 2rv²A. Les aubes des turbines Pelton sont conformés ainsi, avec une déviation de 180°, pour maximiser la poussée du jet. A cet effet s’inspire aussi le système d’inversion de la poussée utilisé par les avions à réaction pour freiner en phase d’atterrissage.

38 Chapitre 4 4. Fluides visqueux incompressibles Fluides newtoniens
Équations de Navier-Stokes Expérience de Reynolds Pertes d’énergie Le mouvement des fluides en conduite Les actions dynamiques des fluides En arrière-plan: le premier vol des frères Wright, 17 décembre 1903.

39 Fluides newtoniens (1) La propriété fondamentale des fluides réels est la viscosité. Celle-ci fait apparaître les efforts tangentiels dans le comportement des fluides. Une expérience simple qui met en évidence l’existence de la viscosité est le glissement d’un fluide réel sur un plan. Dans le cas d’un fluide parfait, l’absence d’efforts tangentiels implique que, à part la pression, le fluide n’exerce aucune action sur le plan, qui donc n’est pas entraîné en mouvement. Si le fluide est visqueux, les efforts tangentiels que le fluide exerce sur le plan tendent à entraîner le plan en mouvement avec le fluide. Si le plan est bloqué, ces efforts ont comme résultat celui de freiner le mouvement du fluide, qui donc, si la cause de son mouvement cesse (p. ex. une différence de pression) au bout d’un moment s’arrêtera.

40 Fluides newtoniens (2) On comprend donc une autre caractéristique de la viscosité: la dissipation de l’énergie; le théorème de Bernoulli n’est donc plus valable. Newton avait déjà proposé une loi qui lie la contrainte tangentielle à la paroi t, due à la viscosité, au champ de vitesse: Dans cette formule, v est la vitesse tangentielle à une paroi et z l’ordonnée normale à celle-ci. La dérivée est calculée en correspondance de la paroi même. m est la viscosité (dynamique) du fluide. z t v(z) Contrairement au cas d’un fluide parfait, la couche de fluide à contact avec la paroi est immobile: la viscosité la freine totalement (hypothèse de l’adhérence).

41 Fluides newtoniens (3) Le comportement des fluides visqueux classiques est décrit par la relation générale: Le tenseur t est le tenseur des contraintes visqueuses. On remarque que celles-ci s’ajoutent à la contrainte due à la pression, la seule qu’on a pour un fluide parfait. Le tenseur des contraintes visqueuses est donné par la loi constitutive suivante: Cette loi constitutive caractérise les fluides newtoniens, qui sont la grand part des fluides visqueux classiques. l et m sont les deux coefficients de viscosité. Le premier concerne les contraintes visqueuses liées aux changements de volume, alors que le deuxième, comme déjà vu, est lié aux glissements des couches de fluide.

42 Fluides newtoniens (4) A remarquer que, comme pour les fluides incompressibles la loi constitutive des contraintes visqueuses se réduit à et donc pour ces fluides il n’y a que m comme coefficient de viscosité. Le tenseur est le tenseur de stretching: c’est le tenseur qui a comme composantes les dérivées temporelles de celles de e. Pour terminer, on remarque aussi la correspondance, même dans les symboles utilisés, entre cette loi constitutive et celle de Lamé, qui décrit le comportement des solides élastiques isotropes. Finalement, si on applique la loi des fluides newtoniens au cas de la figure de page 40, on trouve, comme contrainte à la paroi, exactement la valeur déjà trouvée. Donc, par rapport aux contraintes tangentielles, ce qui compte ce n’est pas la vitesse elle même, mais la variation spatiale de la vitesse.

43 Équations de Navier-Stokes (1)
Dans le cas des fluides newtoniens incompressibles, les équations du mouvement deviennent: En composantes, on a Si la viscosité est nulle, on retrouve bien les équations d’Euler pour les fluides parfaits.

44 Équations de Navier-Stokes (2)
Ces équations sont d’un ordre plus grand que celles d’Euler: il y a en fait les dérivées spatiales secondes de la vitesse. Ce sont des équations fortement non linéaires, pour les mêmes raisons que celles d’Euler, et encore plus difficiles à résoudre. En fait, la solution des équations de Navier-Stokes est encore aujourd’hui un challenge mathématique important, qui nécessite de grandes compétences et puissances de calcul. On connaît par ailleurs quelque solution exacte de ces équations, dans des cas particulièrement simples (voir ci-après, p.ex., le cas de l’écoulement de Poiseuille).

45 Expérience de Reynolds (1)
L’expérience de Reynolds met en évidence un effet important lié à la viscosité: la transition entre régime laminaire et turbulent. L’expérience est la suivante: dans un tube en verre, on fait passer de l’eau. En un point donné du tube on injecte un colorant. Ce qu’on observe est que: pour des valeurs «petites» de la vitesse de l’eau, le colorant trace une trajectoire rectiligne bien précise, et ceci pour n’importe quel point d’injection sur la section; en faisant croître la vitesse de l’eau, la veine fluide du colorant commence d’abord à osciller rapidement et ensuite se casse complètement, pour se mélanger à l’eau du courant.

46 Expérience de Reynolds (2)
Dans le 1er cas on parle de régime laminaire, car les filets fluides restent parallèles et ne se mélangent pas: l’écoulement a donc une structure en couches superposées, des laminae justement; Dans le 2ème cas on parle de régime turbulent: dans l’écoulement on perd toute organisation régulière du flux, chaque particule suit une trajectoire chaotique, imprédictible, avec une vitesse qui change beaucoup en valeur et direction, à chaque instant; l’écoulement est donc chaotique, turbulent justement, et la capacité de mélanger très forte. Reste toutefois un écoulement moyen, globalement selon l’axe du tube; la vitesse moyenne des particules est égale au débit volumique divisé par la section droite du tube. La transition entre un régime et l’autre est déterminée par la valeur d’un paramètre adimensionnel, le nombre de Reynolds Re:

47 Expérience de Reynolds (3)
Dans cette formule, U est la vitesse moyenne du flux, D est une dimension linéaire caractéristique de l’écoulement (pour les flux en conduite c’est évidemment le diamètre du tube) et n est la viscosité cinématique: La transition entre les deux régimes se situe aux alentours de Re= 2500. Physiquement, le nombre de Reynolds représente le rapport entre les ordres de grandeur des forces inertielles et visqueuses. Donc, pour des bas Re, les forces visqueuses prévalent sur les forces inertielles et le régime est laminaire: en quelque sorte, la viscosité stabilise, régularise l’écoulement. Au contraire, si Re>~2500, les forces inertielles prévalent sur les visqueuses et tendent à déstructurer l’écoulement, qui devient chaotique, turbulent.

48 Expérience de Reynolds (4)
Le comportement global de l’écoulement en résulte très affecté, en particulier pour ce qui concerne la distribution de la vitesse sur la section droite, le débit volumique et les pertes d’énergie. Il faut dire que cette dualité de comportement, laminaire ou turbulent, on la retrouve non seulement pour les écoulements en conduite, mais aussi pour tout type d’écoulement. L’étude de la turbulence pose en général beaucoup de problèmes, de par son caractère chaotique intrinsèque, et l’approche généralement suivie est une approche sur base statistique tendant à récupérer des grandeurs moyennes du flux turbulent (théorie de Reynolds et Kolmogorov). Mathématiquement, la transition entre régime laminaire et turbulent correspond à une perte de stabilité: la solution laminaire, toujours possible pour Re>2500, devient instable, et la moindre perturbation, irrégularité, suffit à casser la symétrie de l’écoulement et à passer donc en régime turbulent.

49 Expérience de Reynolds (5)
Or, considérons le cas de l’eau: si l’on prends les valeurs caractéristiques de l’eau (n = 1,1×10-6 m2/s) et une vitesse moyenne du flux de 1 m/s (valeur assez courante), alors, on voit que le régime est laminaire seulement pour D<~ 2,75 mm. Donc, avec un fluide, peu visqueux, comme l’eau, l’écoulement est pratiquement toujours turbulent (il est laminaire seulement pour des diamètres et des vitesses très petites, circonstance très rare. Avec l’air (n = 1,5×10-5 m2/s) il faudrait D<~ 37,5 mm: même l’air est pratiquement toujours en régime turbulent. Pour une huile, fluide très visqueux (n ≈ 1,1×10-4 m2/s), on trouve D<~ 275 mm: le régime est facilement laminaire. C’est le cas de la lubrification, où on utilise des huiles et les dimensions sont normalement très petites (<1 mm): le régime est donc laminaire.

50 Pertes d’énergie (1) On a déjà dit que l’un des effets de la viscosité est la dissipation de l’énergie mécanique: le problème qui se pose est donc le calcul de ces pertes d’énergie mécanique dues à la viscosité. Dans la suite on considérera toujours, pour simplicité, le cas d’un écoulement dans une conduite circulaire de diamètre D. Il faut souligner que la perte d’énergie est une perte d’hauteur piézométrique e: En fait, dans le trinôme de Bernoulli, qui représente l’énergie totale (ce qu’on appelle souvent la hauteur ou charge totale) l’hauteur cinétique ne dépend que de la vitesse, laquelle, en régime permanent, ne dépend que de la section, comme le prescrit le théorème de Leonardo. Ce calcul se fait de façon différente selon le régime, laminaire ou turbulent.

51 Pertes d’énergie (2) Dans ce cas, la solution existe en forme analytique: c’est la solution de Poiseuille. Le problème est le suivant: dans une conduite cylindrique de diamètre D, un fluide de caractéristiques données s’écoule sous une chute de pression connue. Il s’agit de trouver le champ de vitesse à l’intérieur du tube et le débit volumique. La solution de Poiseuille donne un profil parabolique de la vitesse: J est la chute piézométrique, à savoir, la perte de e par unité de longueur: r x v(r) 2R Dp/g Dl

52 Pertes d’énergie (3) J est donc une perte d’énergie élémentaire, par unité de parcours. Le débit volumique Q est (A = section droite): et la vitesse moyenne La perte d’énergie, représentée par J, est donc fonction linéaire de la vitesse moyenne (et donc de Q): Cette formule doit être interprétée ainsi: la différence de hauteur piézométrique par unité de longueur nécessaire pour écouler à vitesse U en régime laminaire le fluide de viscosité n à travers un tube de rayon R est J. C’est ce qu’il faut «dépenser» pour avoir le débit voulu.

53 Pertes d’énergie (4) En régime turbulent la situation change radicalement. D’abord, on ne peut pas trouver une solution en forme analytique et donc il faut faire appel à des lois empiriques, basées sur des essais de laboratoire, qui donnent la valeur de J en fonction des différents paramètres. Le profil de la vitesse est beaucoup plus aplati que dans le cas laminaire. Dans le cas turbulent entre en jeu aussi la rugosité de la paroi, qui évidemment favorise le passage au régime turbulent. Pour mieux comprendre le phénomène, on introduit le paramètre adimensionnel l: l est dit paramètre de résistance, car il est lié à t, la valeur de la contrainte tangentielle à la paroi. Pour le régime laminaire, on montre facilement que l=64/Re.

54 Pertes d’énergie (5) En régime turbulent, contrairement à ce qui se passe en régime laminaire, l dépend aussi de la rugosité, et plus précisément de la rugosité relative s, rapport entre l’hauteur des grains de rugosité et le diamètre du tube. La formule universelle donne la relation entre Re, l et s: Régime turbulent Tubes rugueux On voit bien que pour Re qui tend vers l’infini, l ne dépend plus de Re: c’est le régime turbulent pur. Sur un graphique log Re- log l l’allure est la suivante (abaque de Moody ou arpe de Nikuradse) Régime laminaire Tubes lisses Régime transitoire

55 Pertes d’énergie (6) J étant liée à l, une fois connue celle-ci on peut calculer J; Toutefois, dans les applications on préfère souvent utiliser d’autres lois empiriques, d’usage plus simple. Une formule très utilisée est la formule de Chézy: Rm est le rayon hydraulique: Rm=section liquide/contour mouillé; Rm= R/2 pour une section circulaire. Le paramètre c est déterminé grâce à des formules empiriques: formule de Bazin: gs est le coefficient de rugosité de Bazin, tabulé en fonction du matériau du tube; formule de Manning-Strickler: avec c un autre coefficient de rugosité, lui aussi tabulé.

56 Le mouvement des fluides en conduite (1)
Pour mieux comprendre, considérons un exemple: celui d’une conduite qui relie à gravité deux réservoirs (par exemple: aqueduc d’approvisionnement d’une ville). La chute piézométrique est fixée par la topographie (niveaux des réservoirs), et donc on connaît J=De/Dl. On fixe le diamètre en connaissant le débit Q. z p/g U²/2g ligne de l’énergie totale piézométrique De Dl

57 Le mouvement des fluides en conduite (2)
P. ex. avec la formule de Manning-Strickler, on a L’équation de continuité, Q= U A, donne alors D: Fixer le matériau du tube équivaut à fixer c; le problème est donc résolu. A remarquer que, si le tube est à diamètre fixe, l’hauteur cinétique est constante et la pression est plus forte en correspondance des zones plus basses de la conduite: l’épaisseur du tube doit être dimensionnée en conséquence.

58 Les actions dynamiques des fluides (1)
Les actions dues aux fluides sont de différents types. On a déjà vu la poussée d’Archimède, qui est la seule action à l’équilibre. Mais lorsque le fluide est en mouvement, le scénario change et se complique beaucoup. Ici, on se bornera à une description qualitative des actions fluido-dynamiques sur un objet et de leurs procédures de calcul. Encore une fois, la distinction entre fluides parfaits et visqueux est essentielle. En fait, dans le cas des fluides parfaits, on peut montrer que la seule force qu’un fluide exerce sur un corps est de type inertiel: c’est l’effet de masse ajoutée. Cet effet se manifeste donc seulement en conditions de mouvement accéléré ou décéléré: p.ex. lorsqu’un corps se met en mouvement ou s’arrête ou encore quand le corps est fixe et c’est le fluide qui se meut.

59 Les actions dynamiques des fluides (2)
Alors, la force est du type où m est la masse de fluide déplacée par l’objet et MA est le tenseur de masse ajouté, qui dépend essentiellement de la forme et des dimensions de l’objet. Cette force est importante seulement dans l’eau, car l’air a une densité si faible que normalement Fm est négligeable (sauf pour les aérostats, qui ont une masse inférieure à celle de l’air déplacé!). P.ex. pour un cylindre qui se déplace perpendiculairement à son axe la masse ajoutée est exactement égale à la masse d’eau déplacée (c’est le cas d’un poteau figé verticalement et soumis à l’action de la houle, mais aussi, en 1ère approximation, d’un bateau qui se déplace en direction orthogonale à son axe).

60 Les actions dynamiques des fluides (3)
Évidemment, cette action disparaît lorsque le fluide (ou le corps) se déplace de vitesse uniforme. Dans ce cas, la théorie des fluides parfaits ne prévoit aucune autre action: c’est le célèbre Paradoxe de d’Alembert! En effet, c’est une expérience de tous les jours que de constater que même lorsqu’on se déplace à vitesse constante, on est soumis à une action de la part du fluide. Ce paradoxe est la conséquence de l’hypothèse de fluide parfait. Pour mettre en évidence l’existence d’une force d’interaction en conditions de mouvement stationnaire il faut donc passer au modèle de fluide visqueux. Avant toutefois d’examiner ce cas, il faut citer un cas particulier: même pour les fluides parfaits, on peut démontrer l’existence d’une autre force d’interaction, qui, elle, dépend essentiellement de la forme du corps et de l’orientation de celui-ci par rapport au courant.

61 Les actions dynamiques des fluides (4)
C’est la portance (Théorème de Kutta-Jukowski): Cette force est toujours orthogonale au vent; G est la circulation du vecteur vitesse autour du corps: C’est cette force qui permet aux avions de voler! On a déjà observé que cette force est strictement liée à la forme et à l’orientation de l’objet soumis au vent. Les formes qui permettent la naissance de cette force sont appelées profils porteurs. Le typique profil porteur est celui de l’aile d’avion: Si on l’inverse, on obtient le profile d’un aileron pour avoir la force d’appui au sol pour les voitures de sport! FL v

62 Les actions dynamiques des fluides (5)
Une première force d’interaction qui est due à la viscosité est la force de frottement. Du moment que les fluides visqueux sont capables d’exercer des contraintes tangentielles, la résultante de celles-ci, sur la surface du corps, est une force en direction contraire au courant (ou à la vitesse du corps, donc une résistance à l’avancement). La théorie qui permet de calculer correctement la résistance de frottement est la théorie de la couche limite (Prandtl, 1905). Selon cette théorie, l’écoulement autour d’un corps solide peut se diviser en deux régions: la couche limite: une fine couche de fluide proche du corps, à l’intérieur de laquelle la vitesse relative du fluide par rapport au corps change rapidement, jusqu’à la valeur nulle sur la surface du corps; la viscosité du fluide et le gradient de la vitesse donnent naissance aux contraintes tangentielles à la paroi et donc à la résistance par frottement;

63 Les actions dynamiques des fluides (6)
la région extérieure, où l’écoulement n’est pas affecté par les effets de la viscosité, et donc le fluide peut être considéré comme parfait. La théorie de la couche limite permet donc de résoudre le Paradoxe de d’Alembert: elle met en évidence l’existence d’une résistance à l’avancement même en conditions de mouvement stationnaire. Toutefois, la résistance par frottement est une résistance normalement assez faible, et ne correspond pas aux valeurs de résistance qu’on peut mesurer lors d’expériences de laboratoire. Pour comprendre pourquoi, il faut introduire la différence entre corps aérodynamiques et non. En général, on appelle aérodynamique un corps qui offre une résistance petite à l’avancement dans un fluide. Il faut toutefois souligner que l’aérodynamicité d’un corps dépend aussi de son orientation par rapport au courant.

64 Les actions dynamiques des fluides (7)
Voyons donc quelle est la différence entre corps aérodynamiques et non. Un corps aérodynamique est élancé par rapport au courant, avec bord d’attaque (A) plus arrondi et bord de fuite (B) pointu. Le flux autour de l’objet est régulier, les filets fluides suivent l’allure du corps et la couche limite reste attachée au corps. De ce fait, la distribution longitudinale de la pression autour de l’objet est équilibrée: la pression donne une force totale nulle. La seule force totale Ff est l’intégrale des contraintes t. région extérieure couche limite v t v Ff A B

65 Les actions dynamiques des fluides (8)
Pour un corps non aérodynamique, la situation est totalement différente: les filets fluides n’arrivent pas à suivre le contour du corps et la couche limite se détache du corps à l’arrière de celui-ci: c’est le phénomène du décollement de la couche limite. Ceci provoque la formation de tourbillons à l’arrière du corps (la traînée), dont l’effet principal est celui d’altérer la distribution de la pression autour du corps entre l’avant et l’arrière. Ceci se traduit par une force globale (la force de traînée ou de drag, Fd) due non pas au frottement mais au déséquilibre de la pression sur le corps. Fd v traînée

66 Les actions dynamiques des fluides (9)
Cette force est beaucoup plus grande de la force de frottement. Elle est donnée, en général, par une relation du type Ici, A est la section du corps orthogonale au courant et Cd est un coefficient (de drag) fonction de la forme et de l’orientation du corps. Il est intéressant de remarquer que cette force est proportionnelle au carré de la vitesse (ce qui explique pourquoi doubler la vitesse quadruple la résistance et multiplie par 8 la puissance de la résistance…). Cette force est constante dans le temps si la vitesse ne change pas. Toutefois, à côté de cette force, il y a une autre force, qui, elle, oscille dans le temps.

67 Les actions dynamiques des fluides (10)
En fait, les tourbillons qui se forment derrière le corps se détachent de celui-ci, à intervalles de temps réguliers, une fois d’un côté et une fois de l’autre: c’est l’allée tourbillonnaire de Von Karman. Ceci provoque un déséquilibre transversal de la pression autour du corps, avec comme résultat une force transversale qui oscille dans le temps. Il s’agit donc d’un phénomène dynamique; le danger est que la fréquence de cette force soit proche de la fréquence propre de la structure, ce qui met en résonance la structure même, avec amplifications désastreuses des oscillations. v

68 Les actions dynamiques des fluides (11)
C’est d’ailleurs pour ça qu’un poteau soumis au vent oscille dans un plan orthogonal au vent et pas dans sa direction! Les cheminées sont très sensibles à ce phénomène (beaucoup parmi elles en ont fait les frais…) et pour l’éliminer on met un escalier en colimaçon autour de la cheminée: il casse la régularité des tourbillons et élimine en partie le danger. Ce même phénomène était à l’origine de la rupture des tirants des ailes des biplans de la 1ère Guerre (avec les conséquences qu l’on peut imaginer…) et des snorkels des sous-marins. L’accouplement dynamique entre le vent et une structure peut être très délicat car il peut engendrer des phénomènes très dangereux, comme le flutter ou la divergence torsionnelle, capables de causer la ruine d’une structure. C’est le domaine de l’aéroélasticité, qui étudie justement les interactions entre un fluide et une structure élastique très déformable (ailes d’avion, couvertures de stade, ponts suspendus ou haubanés, tours etc.).

69 Les actions dynamiques des fluides (12)
Le cas le plus célèbre est celui du pont de Tacoma (USA, 1940): un vent d’environ 60 km/h, soufflant sur une période suffisamment longue, fut suffisant pour la destruction du tout nouveau pont suspendu. La dynamique du désastre, filmé par un spectateur, met en évidence l’accouplement dynamique entre le vent et la structure: la faible rigidité torsionnelle du pont engendre des déformations transversales qui facilitent encore plus l’action du vent. Celle-ci est une action dynamique à fréquence proche de la résonance de la structure: les oscillations sont donc de plus en plus amplifiées… jusqu’à la rupture totale. D’un point de vue aéroélastique, il y a la superposition de différents phénomènes (flutter, divergence torsionnelle etc.).

70 Chapitre 4 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet
En arrière plan: études de Leonardo sur le mouvement de l’eau autour d’obstacles.

71 En librairie… H. Lamb: Hydrodynamics. Dover, 1932.
G. K. Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967. A. J. Chorin, J. E. Marsden: A Mathematical introduction to fluid mechanics. Springer-Verlag, 1979. M. E. Gurtin: An introduction to continuum mechanics. Academic Press, 1981. G. Duvaut, Mécanique des milieux continus. Dunod, 1990. P. Germain, P. Müller: Introduction à la mécanique des milieux continus. Masson, 1993. C. Truesdell, K. R. Rajagopal: An Introduction to the mechanics of fluids. Birkhauser, 2000.

72 …et sur Internet J. Garrigues: Mécanique des milieux continus. Document à télécharger à l’adresse M. Roques: Mécanique des fluides. Visiter le site F. Plunian: Mécanique des fluides incompressibles. Visiter le site S. Chaussedent: Mécanique des fluides. Visiter le site: