Fractions et décimaux.

Fractions et décimaux

Place dans les programmes 2008
Des questions représentations Place dans les programmes 2008 Quels rapports entre fractions et décimaux ? Quels sont les principaux obstacles ? Quelle démarche possible ? Place du calcul mental ? Qu'est il important de faire au CE2 en vue de l'approche de nouveaux nombres au CM1? Ressources.

Des questions mathématiques
Tout nombre qui s’écrit avec une virgule est un nombre décimal. Une fraction est toujours inférieure à 1. Un nombre entier a une représentation fractionnaire. Dans une fraction, le numérateur est toujours inférieur au dénominateur. Peut-on dire que deux tiers c’est 2 divisé par 3, les liens entre fraction et division sont-ils à faire en cycle 3 ?

Des questions didactiques
Il faut travailler les nombres décimaux avant les fractions. Placer des fractions sur la droite graduée n’est pas au programme du cycle 3. Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs est au programme du cours moyen. L’addition de fractions n’est pas au programme du cours moyen. Il est nécessaire de proposer aux élèves des exercices de représentation des fractions décimales sous forme de partage de surface unité. Il est nécessaire de proposer des nombres entiers pendant toutes les activités concernant les nombres décimaux. Il est nécessaire de travailler les différentes désignations des nombres décimaux ayant une partie décimale pouvant aller jusqu’à 3 chiffres au moins.

Résultats de quelques évaluations
Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? Comment expliquer l’erreur persistante selon laquelle 6,9 serait le nombre le plus proche de 7 ? les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Importance du CM1 sur les compétences futures des élèves concernant les décimaux L’origine de la difficulté est d’abord à chercher dans la nature même des décimaux, très différente de celle des entiers : Or leur nature de fraction est masquée par l’écriture sous forme de nombres à virgule CM1 CM2 6° 5° 22% 30% 27% 29%

Résultats de quelques évaluations
Quelques résultats 2,3 x 10 (évaluation 6e 2001) = % La virgule frontière = 20,3 ou 2,30 ou 20, % La virgule absente = % les élèves raisonnant avec ces nouveaux nombres en appliquant des règles qui ne valent que pour les entiers. On peut penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1 2°) En revanche, ceux qui n’ont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les quelques années qui suivent (cf le pourcentage) Importance du CM1 sur les compétences futures des élèves concernant les décimaux L’origine de la difficulté est d’abord à chercher dans la nature même des décimaux, très différente de celle des entiers : Or leur nature de fraction est masquée par l’écriture sous forme de nombres à virgule

BO: 19 juin 2008

Deux options donner d’abord du sens au nombre décimal à l’aide du fractionnement de l'unité et de l'intercalation avant de s’intéresser à son usage social. rester dans le domaine du "concret" en s'appuyant sur le nombre à virgule qu'utilisent déjà les élèves (cm, mm par exemple) et le changement d'écriture.

Fractions: de l’école primaire au collège
Approche limitée à l'école Primaire une seule signification: 5/3 c’est 5 fois 1/3 travail par le raisonnement (sans techniques) relation avec 1: 3/3 c’est 1, donc 5/3 est supérieur à 1 décomposition en nombre entier et fraction; composition inférieure à1: 19/3 c’est 6 fois 3/3 plus 1/3, donc 6 + 1/3 Au collège, place centrale et nouvelles notions Nouvelle signification, comme quotient: 7/3 : c’est le tiers de7 ou 7 divisé par 3. 7/3 est un nombre et non un calcul à effectuer. Conception théorique: 7/3 est le nombre qui multiplié par 3 donne 7

CARACTÉRISTIQUES D'UN POINT DE VUE MATHEMATIQUE
Les décimaux sont de nouveaux nombres : ce sont des fractions qui permettent d’approcher d’aussi près que l’on veut la mesure d’une grandeur continue quelconque. Ex 7 feuilles de cartons identiques forment une épaisseur totale de 10 mm. Quelle est l’épaisseur de l’une d’elle ?" Entre deux décimaux, on peut toujours en intercaler un autre. (...) L'algorithme concernant l'ordre sur les décimaux n’est pas le même que celui des entiers. Les décimaux servent pour approcher d’autres nombres. Tous les nombres à virgule ne sont pas des décimaux. Les décimaux sont un outil dans les activités de mesure.

les nombres décimaux / les nombres à virgule
Les nombres décimaux ne sont pas seulement des nombres à virgule ; ils sont aussi représentés par des fractions décimales. Enseigner d’abord les décimaux sous forme de fractions décimales puis, dans un deuxième temps, l’écriture à virgule de ces fractions décimales. (ordre dans BO) Les nombres décimaux sont des nombres rationnels inventés pour approcher d’aussi près que l’on veut la mesure d’une grandeur continue.

nombre rationnel : quotient d'un entier par un entier naturel
22/8 Ce nombre peut s'exprimer de deux façons : en écriture fractionnaire : 22/8 en écriture à virgule : 2,75 22/8 = 11/4 = 275/100 = 2,75 c'est un décimal 22/7 une écriture fractionnaire 22/7 impossible de trouver une fraction décimale égale à 22/7 22/7 est un nombre rationnel non décimal. Il admet un développement décimal illimité périodique... 3,

Le chiffre des unités n'est pas le dernier.
OBSTACLES Les règles de fonctionnement des entiers ne peuvent être étendues aux décimaux. Elles ne sont pas supprimées pour autant, d'où instabilité pour les élèves. Un entier est d'autant plus grand qu'il a un plus grand nombre de chiffres (faux pour les décimaux). Le nombre de chiffres d'un nombre n'est pas un indicateur de sa grandeur. Le chiffre des unités n'est pas le dernier. Le précédent d'un nombre n'a pas de sens, le successeur non plus. Les entiers nous font aller dans l' infiniment grand, les décimaux vers l' infiniment petit. Notion d'infinité dans un intervalle.

OBSTACLES Que se passe-t-il tout près du 0 ? On peut facilement fabriquer une collection de 1000 à 3000 objets ; il est difficile d'imaginer 1, 454 m² ou 1,454321m² : Les décimaux sont une construction d'abord mentale et non physique. (grandeur discrète / continue) multiplier augmente (parfois vrai, parfois faux pour les décimaux) ; Rupture de sens pour la multiplication . diviser diminue (parfois vrai, parfois faux pour les décimaux).

OBSTACLES • Les décimaux de la vie quotidienne, mètres et centimètres, euros et cents , mètres et kilomètres, grammes et kilogrammes. Les élèves traitent par exemple les mètres d'un côté et les centimètres de l'autre, puis font les conversions. Ils traitent séparément la partie entière et la partie décimale • Une présentation à l’aide des mesures ou à l’aide des changements d’unités les conforte dans ce sens Pour comparer des nombres décimaux, ils comparent d'abord la partie entière 13,45 < 123,45. Mais à partie entière égale, ils comparent les parties décimales comme pour des entiers. Dans 13,475 , 4 est pris assez souvent pour le chiffre des centaines. Problème de la fraction décimale : dizaine < centaine mais dixième > centième

Les verres doseurs Anatole France Voltaire Condorcet

Les verres doseurs de nouveaux nombres: les fractions
Objectif : construire et utiliser des nouveaux nombres (les fractions), plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues.

Les verres doseurs de nouveaux nombres: les fractions 1ère séance
Remplir la moitié du verre de semoule ; pas de règle autorisée Comparaisons des « estimations » Proposer un dessin et une écriture (dessin problématique) Remplir la moitié de la moitié Proposer des écritures mathématiques . Oral: la moitié de la moitié – c’est partager en 4 – on en prend une sur 4 Donner 3 parties sur 4 Proposer des écritures (11 différentes). Remplir 4/4 quatre quarts présentation de l’unité

Les verres doseurs de nouveaux nombres: les fractions 1ère séance
Donner 3 parties sur 4 Proposer des écritures (11 différentes).

Les verres doseurs de nouveaux nombres: les fractions 2ème séance
Reprise des « quarts » vérification avec des bandes de papier. Préparer 5/4 Nécessité de s’accorder avec les voisins. Remplir le tiers Recours immédiat aux bandes Oral: un tiers deux tiers trois tiers 1/3 c’est plus que ¼ ? Remplir pour avoir 2/3 Feuilles d’exercices.

Préparer 1/5 comparaison travail avec des bandes de papier. Pliage très compliqué

Fonctionnement du guide âne plusieurs essais Graduer le verre (repère? Intervalle ?) Feuilles d’exercices.

Les verres doseurs de nouveaux nombres: les fractions 4 ème séance
Graduer en huitièmes Graduer en dixièmes Reprendre toutes les bandes Traces écrites Feuilles d’exercices.

Des erreurs à reprendre

Reprise de l’unité: travail avec un vase référent qui reprend les graduations Qu’est ce que l’unité ? Travail avec des vases, des segments, des surfaces, des verres de différentes tailles Évaluation

Comment permettre aux élèves de comprendre le lien entre fraction décimale et nombre décimal ? Travail avec des emballages quantité indiquée par un nombre à virgule

S’interroger Verser dans un litre étalonné en dixièmes.

Plusieurs essais Reprendre les écritures proposées Introduire écriture à virgule

Répertoire d’écritures 0,20 = 2/10 0,5 = 5/10 1,5 = 15/10 C’est une autre manière d’écrire la fraction; c’est l’écriture décimale. Travail sur droite graduée

Travail avec une bouteille marquée 0,15 Il existe des écritures donc des nombres entre 1/10 et 2/10 ou entre 0,1 et 0,2

Exercices: retrouver les fractions décimales sur la droite graduée. Retrouver les nombres décimaux sur la droite graduée.

Trace écrite : le tableau de numération Utilisation du tableau Dictée et entraînement.

Travail avec la calculatrice

Encadrer une fraction décimale ou un nombre à virgule par deux entiers. Ranger dans l’ordre croissant Comparer Encadrer, intercaler un nombre décimal entre deux nombres ( 11, ,6 – 11,61) Recours constant au tableau pour ceux qui le souhaitent.

Traces écrites Voir trace brégeon

Des « inconvénients » à repérer: les règles
"Pour comparer deux décimaux, on écrit des zéros à droite de la virgule jusqu’à ce qu’ils aient le même nombre de chiffres après la virgule". Risque de comparer les parties décimales comme s’il s’agissait d’entiers. Comparer plutôt les dixièmes puis les centièmes …mais ne pas « égaliser ».

Des « inconvénients » à repérer: les règles
"Pour diviser un nombre par cent, je décale la virgule de 2 rangs vers la gauche. Pour multiplier par 10, on bouge la virgule d’un rang vers la droite » Comment justifier 23,45 x 10 = 234,5 ? Interpréter 23,45, par exemple : 2 dizaines + 3 unités + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que multiplier le nombre par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10 Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…

Des « inconvénients » à repérer
Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande » Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur, donc de place C'est la même chose pour les entiers et pour les décimaux !

Des « inconvénients » à repérer
décimaux dans la vie sociale Nombres à virgule fréquentés en ce 1 et ce 2 Des écritures qui ressemblent à celle des entiers… "à la virgule près" Usage social : les écritures à virgule évoquent souvent des mesures à 2 unités 3,25 € pour 3€ 25c ou 2,35 m pour 2m 35cm Expression orale : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Signification "spatiale" plus que "conceptuelle" pour les mots "dixième", "centième"…

Que faut-il travailler en CE 2 ?
Décomposer des nombres. Différencier la valeur des chiffres selon leur position (Berdonneau) Utiliser fréquemment la droite numérique dans des situations variées (placer des nombres, intercaler des nombres) en proposant des échelles différentes Utiliser la droite numérique pour visualiser qu’un nombre représente un point mais aussi un intervalle.

Que faut-il travailler en CE 2 ?
Travailler en calcul réfléchi sur les doubles et moitiés (éventuellement tiers et triples, quarts et quadruples). Utiliser l'opportunité d'avoir recours aux fractions (demi, quart), ainsi qu'aux écritures de nombres à virgule que les élèves peuvent rencontrer dans leur vie. (en situation). Eviter un recours trop systématique au tableau de numération. Rappeler qu’on n’en utilise qu’une partie (pointillés, droite qui continue). L’utilisation raisonnée du tableau de conversion pour les unités de mesures. Faire le parallèle avec le tableau de numération.

Que faut-il travailler en CM 1 ?
L’usage de la droite graduée est clairement notifié. Ne pas démarrer pour autant par les mesures de longueur. Insister sur repère et intervalle (bande: longueur et repère de l’extrémité cf. file numérique GS) visualiser favoriser les différentes écritures d’un nombre : soit trouver toutes les écritures d’un nombre donné, soit sous forme d’affichage (décompositions en variant les groupements)

pour rendre concrète une fraction, démarrer par les fractions usuelles faire la part belle aux fractions décimales et ne pas se précipiter pour l'introduction de l'écriture à virgule qui n'est qu'une convention d'écriture pour comparer 2 nombres décimaux, passer par les fractions et ne proposer la technique de l’ajout de zéros à la partie décimale que quand elle aura du sens pour l’élève. Adopter une programmation qui amène à démarrer le module fractions et décimaux en janvier ou en mars et ne plus s'en détacher jusqu'en juin

Pourquoi aller jusqu’au 1/ ? Pour proposer des nombres qu’on ne retrouve pas dans les mesures de grandeur ou pour montrer que le nombre de chiffres de la partie décimale ne s’arrête pas à 3 (ce qui est souvent un maximum dans la vie courante). proposer des exercices réguliers de décomposition et recomposition ; les utiliser de manière quasi systématique en aide personnalisée pour permettre une stabilisation des acquis . Être explicite: la découverte de l’infiniment petit bouleverse les représentations des élèves ; les règles de fonctionnement des entiers ne sont pas valables pour les décimaux.

repasser systématiquement par les fractions décimales pour comprendre l’écriture à virgule. utiliser plus souvent des fractions supérieures à l’unité (par ex lors de pliages de bandes). Surveiller l’oral ( éviter 7 virgule 35, sept trente cinq). Produire longtemps des écritures équivalentes. Reprendre fractions et décimaux dès septembre. Utiliser les calculettes

passer par des représentations graphiques variées (aires,…). Mais d’autres problèmes. Inférieures à l’unité 4/3 ou 4/6 ? Confusion ?

Des pistes de travail Quels affichages mettre en place pour travailler et mémoriser des propriétés des fractions en cycle 3 ? Les affichages suivants sont indispensables : -La droite numérique avec une graduation tous les demis, une autre tous les tiers, tous les quarts, tous les dixièmes. -Les différentes familles avec : L’écriture fractionnaire et le nom des familles : demis, quarts, tiers, cinquièmes, dixièmes, centièmes. -Les représentations avec des bandes, avec des disques (pendules, penser à l’heure), avec des carrés, des rectangles non carrés, en prenant soin de préciser l’unité (ce qui représente 1) -Des familles de fractions égales à 1, 2, …égales à un demi, un tiers, un quart, un dixième.

Des pistes de travail Quelles traces écrites ? (Bregeon) Cahier de règles ? Quels outils identiques ? Tableau de numération

Des pistes de travail Place du calcul mental Calculatrice –

Des pistes de travail Programmation de cycle. Manière de nommer les nombres décimaux Utilisation des unités de mesure non conventionnelles pour favoriser l’appropriation du fractionnement Enseigner l’écriture à virgule comme un changement de notation

Des pistes de travail Armoire maths Étude des manuels

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