Des fractions aux nombres décimaux

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1 Des fractions aux nombres décimaux
Sébastien DESSERTINE Animateur Formateur Départemental Mathématiques Sciences et Développement Durable

2 Observation du dispositif, évolution régulière, il y a bu bleu dans 8 tubes et de moins en moins
Hypothèse : Tube 1 que du Bleu , Tube 9 que du jaune , Tube 4 moitié bleu / moitié jaune ?, Définir la quantité à l’aide d’une bande unité que l’on partage Voici un nuancier fait à partir de 3 couleurs primaires. Comment a-t-on procédé pour obtenir la couleur du tube n°6 ?

3 Il y a de moins en moins de bleu dans les tubes.
Il y a du bleu dans 8 tubes. Il y a de moins en moins de bleu dans les tubes.

4 88 Attention bien vérifier que pour les élèves, une demie unité bande représente bien un demi volume. Intérêt du dispositif, c’est que ce que l’on propose est expérimentable.

5 Les nombres décimaux et les fractions
BO HS N° 3 du 19 juin 2008 Les nombres décimaux et les fractions fractions simples et décimales : - écriture, - encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, - écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, Qu’est-ce qu’une fraction simple ? Quel travail mener sur la lecture et le vocabulaire de structuration ? Numérateur / dénominateur Repérage des écritures fractionnaires correspondant à un Naturel ou à 1 ? - somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur

6 - désignations orales et écritures chiffrées,
nombres décimaux - désignations orales et écritures chiffrées, - valeur des chiffres en fonction de leur position, - passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, - comparaison et rangement, ( Ex : 3 trois treize 1/3 tiers 43 cube ) Rôle et importance des , , ,090 Comparaison 34,9 = 34,90 = 34,900 Dénominations dangereuses : Trois virgule vingt-sept favorise la compréhension d’une juxtaposition de deux nombres entiers autour de la virgule - repérage sur une droite graduée ; - valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près.

7 - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.
- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. L’évaluation est réalisée tout au long de l’année ou du cycle : - à l’oral, en lecture et en production ; - à l’écrit, dans de courts exercices dédiés ; - à l’écrit, dans le cadre de résolutions de problèmes ou d’autres exercices de traitement de données numériques. En évaluation les encadrements et comparaisons sont stricts. Les symboles < et > doivent être connus, leur bon usage est évalué. En revanche les symboles d’inégalité large ( ≤ et ≥ ) peuvent être connus mais ne sont pas exigibles. Un nombre entier est un nombre décimal : ce qui est à savoir sur les nombres décimaux l’est donc aussi sur les nombres entiers lorsque cela a du sens. Les nombres décimaux non entiers sont exprimés sous la forme : m unités et n dixièmes, ou m unités, n dixièmes et p centièmes, ou m unités et p centièmes. Les valeurs approchées sont attendues indifféremment par excès ou par défaut ; la notion d’arrondi est hors programme Grilles de références pour l’évaluation et la validation des compétences du socle commun au palier 2, © MENJVA/DGESCO, juin 2011, page 26

8 de sa position (jusqu’au 1/100ème).
Nombres décimaux - Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème). - Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée. - Savoir les comparer, les ranger. - Savoir encadrer un nombre décimal non entier par deux nombres entiers consécutifs. - Produire des décompositions en utilisant 10 ; 100 ; 1000… et 0,1 ; 0,01. - Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près. - Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Grilles de références pour l’évaluation et la validation des compétences du socle commun au palier 2, © MENJVA/DGESCO, juin 2011, page 26

9 L’élève est capable de :
- écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples - utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) - estimer l’ordre de grandeur d’un résultat ; - utiliser une calculatrice - utiliser les unités de mesure usuelles ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions - résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, “règle de trois”, figures géométriques, schémas ;

10 Les fractions simples ? Usuelles ?
½ litre ½ baguette ½ heure ½ euro ? Garçon un demi ! ¼ litre Les fractions s’utilisent par les enfants avant même de les conceptualiser : on arrête l’exercice dans ¼ d’heure, … Elles ont bien un usus « social ». Parfois le ½ est associé ou remplacé par le terme moitié « verser la moitié du litre de lait ». La monnaie sur laquelle on opère plus régulièrement que les autres domaines s’accommode mal de l’écriture fractionnaire usuelle : On ne dit pas un1/4 d’euro mais 25 centimes. Elle relève plus socialement de la formulation décimale ( quoique !!!) on ne dit pas 8 décimes mais quatre-vingt centimes Si l’on s’attache aux programmes et aux rapprochements proposés on pourrait définir la fraction simple comme non décimale, c’est-à-dire la fraction unitaire. 3/4 de minute ¼ de kilogramme ? Le tiers provisionnel 1/10 de secondes 10/100 d’euro ?

11 Fractions unitaires à dénominateur puissance de 2

12 Si les fractions décimales sont historiquement assez récentes ( Renaissance), la nécessité de partager des unités est ancienne (Égypte ancienne). Les dénominateurs puissance de 2 sont très facilement manipulables. ½ ¼ 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 C’est plus compliqué pour les autres dénominateurs unitaires. Pourtant, ce n’est pas impossible. Thalles permet de partager en 3 ou 5 une unité donnée ( voir 7 ou 9 ….) On obtient les fractions de bandes à l’aide de droites parallèles situées à égales distances les unes des autres. On parle de Guide-âne.

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15 Comment aborder la fraction ?
1° Approche procédurale ? ……. 2° Approche fonctionnelle ? ……. 3° Approche par sauts ? ……. 4° Approche par la mesure ? ……. Approche par un système de mesures mesure ? ……. 5° Approche par partage d’un segment ? …….

16 Une fraction désigne une division à effectuer.
1° Approche procédurale ? ……. Une fraction désigne une division à effectuer. Action de diviser 7 par 4 7 4 Dans cette approche la fraction n’est pas un nombre mais une procédure visant à atteindre un nombre décimal aussi proche que l’on veut de 7/4. 7/4 = 1,75 Attention

17 7 4 2° Approche fonctionnelle ? …….
La fraction désigne une chaîne d’opérateurs. C’est … x par 7 et ÷ par 4 Ou C’est … ÷ par 4 et x par 7 7 4 Le nombre et la fraction x sont deux objets de nature différentes. 7 4 Attention

18 Ex : 8/4 → arriver au point 8 en 4 sauts
3° Approche par sauts ? ……. En partant du point 0, on passe par le nombre « n » après un certain nombre « s » de sauts. Ex : 8/4 → arriver au point 8 en 4 sauts Les automates de A Pressiat Le saut est un déplacement auquel on associe une longueur repérée par un nombre. Facilite l’étude des équivalences et donc de la simplification des fractions.

19 8 6 4 2 4 3 2 1 3° Approche par sauts ? ……. 1 2 3 4 = = =
Les automates de A Pressiat Revoir la présentation par ligne graduée 8 6 4 2 = = = 4 3 2 1

20 6 8 4 6 4° Approche par la mesure ? …….
La représentation s’appuie sur une représentation de partition surface (souvent un disque ou un rectangle). 6 8 4 6

21 4° Approche par la mesure ? …….
Attention unité unité En absence d’unité de référence, on reconnaît toujours le tiers d’un disque En absence d’unité de référence, on ne reconnaît pas le quart d’un rectangle

22 4° Approche par la mesure ? …….
Attention 5 4 5 8 ou

23 Approche par un système de mesure ? …….
Segment S La longueur du segment S est de 1 Unité et 8 V (Unité partagée en 10 morceaux égaux : U = 10 V V = 1/10 U ). Ce processus est tout à fait pertinent tant qu’on reste en base 10. Il aura pour avantage de permettre d’appliquer simplement les procédures opératoires construites pour les entiers. Cf Ermel , Cap Maths 18V = 1U 8V = 1,8 U

24 5° Approche par partage d’un segment ? …….
Activité souvent absente ou négligée en classe. Portant elle favorisera au collège le passage de la notion de « fraction » à la notion de « quotient » Passage de la fraction lue « 7 tiers » au quotient lu « le tiers de 7 » qui est donc le nombre qui multiplié par 3 donne 7. Attention à la difficulté de double représentation : confusion entre le « nombre-mesure » (2/3 d’une grandeur) et le « nombre-repère » (nombre 2/3 sur droite graduée).

25 1/4 1/8 nous obtenons des morceaux dont l'aire est 1/2 puis, 1/4 ; 1/8 ; 1/16 ; 1/32 ; 1/64 ; etc... Prenons une feuille de papier de format A4 classique. Découpons la deux puis en quatre, huit, seize etc... Si nous prenons comme unité d'aire celle de la feuille de départ, nous obtenons des morceaux dont l'aire est 1/2 puis 1/4 puis 1/8, 1/16 1/32 1/64 etc... 1 = 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + … + 1/n

26 Les formats de type An En 1922, le format standard DIN "A" (Deutsche Industrie Norm) a été défini à partir d'une feuille ayant pour surface 1 m². Nous sommes donc partis de la feuille A0 de même forme mais d'aire 1m² exactement. Elle mesure environ 118,9 cm sur 84,1 cm avec le rapport longueur sur largeur de . A1 d'aire 1/2 m² mesure environ 84,1 cm sur 59,5 cm. Le rapport longueur sur largeur est aussi de 1, ou √2 . A2 d'aire 1/4 m² mesure environ 59,5 cm sur 42 cm A3 d'aire 1/8 m² mesure environ 42 cm sur 29,7 cm A4 d'aire 1/16 m² mesure environ 29,7cm sur 21 cm A5 d'aire 1/32 m² mesure environ 21cm sur 14,8 cm. Le rapport Longueur sur largeur est constant c'est toujours 1, ou √2 . Ainsi le rapport Longueur/Largeur est identique pour toutes les feuilles et chacune contient exactement deux feuilles du format immédiatement inférieur. Notons qu'avec du papier 80g/m², une feuille A4 d'aire 1/16 m² pèse 5g. Nous pouvons donc placer 3 feuilles dans une enveloppe et mettre un timbre normal sur l'enveloppe (moins de 20g).

27 R Q D Z N Π √2 15/3 10/3 1/7 -7 réels rationnels décimaux relatifs
Dimension 1 : Représentation sur une droite N ensemble des naturels ; Z ensemble des relatifs ; D les décimaux ; Q ensemble des rationnels (séquences, ..) R les réels Dimension 2 : Représentation sur un plan (complexes) réels rationnels décimaux relatifs naturels

28 Les décimaux permettent d'approcher la mesure de n'importe quelle grandeur continue d'aussi près que l'on veut. « Le filtre décimal » Les nombres décimaux sont des fractions dont le dénominateur est une puissance de 10. On utilise donc plus spontanément des décimaux ( parfois approximations) parce que c’est plus facile pour comparer et calculer. Cela évite d’avoir à réduire les dénominateurs et permet situer plus facilement les fractions les unes par rapport aux autres.

29 Introduire les nombres décimaux au C 3
s’approprier le projet auquel répondent les décimaux 1° Enjeu Surmonter les difficultés de conceptualisation inhérentes aux fractions qui ne sont pas unitaires 2° Enjeu l’intérêt fondamental des nombres décimaux est intrinsèquement lié à leur nature de fractions : ils permettent d'approcher la mesure de n'importe quelle grandeur continue d'aussi près que l'on veut (au cent millième près, par exemple). Si l’invention des décimaux est récente, le projet auquel ils répondent est, lui, très ancien, et il existe une façon élémentaire de réaliser ce projet : l’utilisation des fractions unitaires 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. Mais les décimaux ne sont pas des fractions unitaires et dès qu’une fraction n’est pas unitaire, sa complexité conceptuelle s’accroît.

30 il y a des ruptures à vivre moment de l’introduction des écritures à virgule mais aussi certaines continuités. 1° rupture : L’idée de prédécesseur et de successeur n’a plus de sens pour les décimaux. 2° rupture : Entre 2 entiers il y a un nombre fini d’entiers. Entre deux décimaux, il y a une infinité de décimaux. 3° rupture : Les règles de comparaison sont différentes de celles institutionnalisées sur les entiers. 4° Cela traduit une non construction de la valeur positionnelle des chiffres. On agit par des actions mécaniques gratifiantes trouvant leurs limites lors des changements de domaine Ex x 10 →rajouter un 0 n’est plus valide pour les décimaux Aligner les chiffres de droite pour faire la soustraction; bouger la virgule à gauche pour diviser, Présentation du travail sur le tableau. Construction du sens mathématiques. 4° continuité : Les techniques opératoires ne changent pas. Souvent mal transférées car appuyée sur des « trucs » plus que sur du sens mathématique.

31 L’introduction de nouveaux nombres au cycle 3
Quoi qu’on fasse il y a une rupture au moment de l’introduction des écritures à virgule. Certaines propriétés, certaines techniques de calcul qui étaient valables avec les entiers restent valables, d’autres ne le ont plus Le nombre qui a l’écriture la plus longue n’est pas nécessairement le plus grand (2,123 < 2,45) mais ça arrive (2,456 > 2,3). Pour multiplier par 10, on n’ajoute pas un 0 à la fin : 1,6 x 10 ne vaut pas 1,60 Remarque : au cycle 2, il semble important de donner du sens à la multiplication par 10 (25×10 c’est 25 « paquets de dix » et 25 « paquets de dix » ça s’écrit 250) Partir d’exemples d’erreurs et faire faire l’analyse des sources d’erreur : 2,8 +1,3 = 3, 11 (juxtaposition de 2 entiers indépendants) 2,3<2,199 (nombre de chiffres dans le nombre : plus le nombre a de chiffres plus il est grand (vrai pour N)) 1, 3 x 10 = 1,30 ou 10, 3 ou 10,30 Attention : 0,4 x 0,3 = 0,12 juste 0,3 x 0,3 = 0,9 faux = 0,09 Une écriture à virgule ce n’est pas « la juxtaposition de deux entiers » et, pourtant de nombreux élèves font comme si c’était le cas : 2,17 < 2,125 car 17 < 125 2,95 × 2 = 4, 190 « Il n’y a pas de nombre entre 1,16 et 1,17 » (car il n’y a pas d’entiers entre 16 et 17) 31