Reconstruction tomographique

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1 Reconstruction tomographique
Traitement et analyse d’images MASTER 1 Reconstruction tomographique Patrick Bourguet Rennes Support de cours adapté d’Irène Buvat octobre 2003

2 Plan du cours B- Notions de base
A- Introduction - Problème de reconstruction tomographique - Tomographie en transmission - Tomographie en émission - Spécificité du problème de reconstruction tomographique B- Notions de base - Projection - Transformée de Radon - Sinogramme - Rétroprojection C- Méthodes de reconstruction analytique - Principe - Théorème de la coupe centrale - Rétroprojection filtrée - Filtres D- Méthodes de reconstruction itérative - Opérateur de projection R - Méthodes ART - Méthodes SIRT - Méthodes de descente - Méthodes statistiques - Caractéristiques des méthodes itératives - Régularisation - Interprétation probabiliste E- Discussion - Reconstruction analytique ou itérative ? - Historique - Quelle méthode pour quelle application ?

3 Découvrir l’intérieur…
RX

4 Tomographie axiale X

5 A - Introduction : la reconstruction tomographique
projections 2D sous différentes incidences angulaires Reconstruction tomographique La reconstruction tomographique est l ’art d ’estimer un objet tridimensionnel à partir de la seule mesure de ses projections 2D. En imagerie médicale, le problème de reconstruction tomographique se pose dans deux configurations : la tomographie de transmission et la tomographie d ’émission. sagittale transverse coronale coupes d’orientation quelconque : imagerie 3D Reconstruction tomographique = problème inverse : estimer la distribution 3D à partir des projections 2D mesurées

6   Introduction : tomographie de transmission N0
Source (X ou g) externe au patient Mesures : projection du rayonnement ayant traversé le patient  intégrale des coefficients d’atténuation Objet à reconstruire : cartographie 3D des coefficients d’atténuation m du milieu traversé N0 N0 N0 X g b+ N N N scanner X (tomodensitométrie) SPECT PET d  N0 d  N = N0 exp(- (l) dl) ln (l) dl N

7  * * * * * Introduction : tomographie d’émission N = n(l) dl
Source g ou b+ interne au patient Mesures idéales (sans atténuation) : intégrale de l’activité le long des raies de projections Objet à reconstruire : cartographie 3D de la distribution d’activité n dans l’organisme détecteur détecteur * * * détecteur * * détecteur SPECT PET d  N = n(l) dl y z x

8 Factorisation du problème de reconstruction
Un ensemble de projections 2D reconstruction d’un objet 3D Un ensemble de projections 1D reconstruction d’un objet 2D (coupe zi) ensemble de coupes zi = volume d’intérêt une projection q détecteur en position q z N(x,z) x volume 3D étudié y z x une ligne de projection détecteur en position q N(x) z x x coupe axiale zi

9 Reconstruction : non unicité de la solution
Pas de solution unique : toujours plusieurs objets compatibles avec un ensemble fini de projections Unicité de la solution pour une infinité de projections seulement 1 projection : plusieurs solutions possibles direction de projection 2 projections : plusieurs solutions possibles directions de projection

10 typiquement, 64 ou 128 projections << 
Reconstruction : problème inverse mal posé Pas de solution du fait du bruit entachant les données Non unicité de la solution du fait du manque d’informations (nombre de projections fini) typiquement, 64 ou 128 projections <<  Instabilité de la solution : petite différence sur les projections peut provoquer des écarts importants sur les coupes reconstruites projection idéale projection bruitée

11 B - Notions de base !

12   - Opération de projection y u = x cos + y sin
v = -x sin + y cos v f(x,y) u  x   p(u,) = f(x,y) dv - u projection 

13    - Transformée de Radon p(u,) = f(x,y) dv
ensemble des projections pour q = [0, p ] = transformée de Radon de f(x,y) R[f(x,y)] = p(u,q) dq p  f(x,y) p(u,q) domaine spatial espace de Radon Problème de reconstruction tomographique : inverser la transformée de Radon, i.e., estimer f(x,y) à partir de p(u,q)

14 FBP : Filtered Back Projection
C - Méthodes de reconstruction analytique Inversion analytique de la transformée de Radon Expression continue du problème de reconstruction tomographique Méthode la plus courante : rétroprojection filtrée FBP : Filtered Back Projection Méthodes rapides Méthodes disponibles sur tous les dispositifs d’acquisition commercialisés (scanner X, SPECT, PET)  p R[f(x,y)] = p(u,q) dq

15  p Opération de rétro-projection « simple » y u = x cos + y sin
v = -x sin + y cos v f(x,y) u  x p  f*(x,y) = p(u,) d u rétroprojection Attention : la rétroprojection ‘’simple’’ n’est pas l’inverse de la transformée de Radon

16  p Limites de la rétro-projection simple f*(x,y) = p(u,) d u
p  f*(x,y) = p(u,) d u rétroprojection simple artefacts d’épandage en étoile nombre de projections image originale 1 3 4 16 32 64 La rétroprojection n’inverse pas la transformée de Radon

17   p p Rétro-projection filtrée : principe f*(x,y) = p(u,) d u
p  f*(x,y) = p(u,) d u rétroprojection simple p  f*(x,y) = p(u,) d projection filtrée u rétroprojection filtrée réduction des artefacts inversion de la transformée de Radon

18      Théorème de la coupe centrale (TCC) 
transformée de Fourier (TF) -    p(u,) = f(x,y) dv P(r,) = p(u, )e-i2pru du - y u = x cos + y sin v = -x sin + y cos v u x =  cos  y =  sin  du.dv = dx.dy  x changement de variable : (u,v) (x,y) -   -   -   P(r,) = f(x,y)e-i2pru du dv = f(x,y)e-i2p(xrx + yry) dx dy TF monodimensionnelle d’une projection par rapport à u = TF bidimensionnelle de la distribution à reconstruire

19 objet f(x,y) à reconstruire rétroprojection des projections filtrées
Rétro-projection filtrée P(,) = F(x, y) TF-1 -   f(x,y) = F(rx,ry)ei2p (xrx + yry) drx dry = P(r,q)ei2p(xrx + yry) drx dry = P(r,q) |r|ei2pru dr dq = p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|ei2pru dr TCC -   x =  cos  y =  sin   = (x2 + y2)1/2 dx.dy = .d.d u = x cos + y sin changement de variable : (rx, ry) (r, q) p  -  p  -   projections filtrées filtre rampe objet f(x,y) à reconstruire = rétroprojection des projections filtrées

20 transformée de Fourier
Algorithme de rétro-projection filtrée f(x,y) = p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|ei2pru dr p  -  projections images reconstruites p(u,) f(x,y) transformée de Fourier rétroprojection Transformée de Fourier inverse filtrage P(r,) |r| P(r,) p’(u,)

21  |r| |r|w(r) Insuffisance du filtre rampe
f(x,y) = p’(u,q) dq avec p’(u,q) = P(r,q) |r|ei2pru dr p  -  filtre rampe |r| |r|w(r) fenêtre d’apodisation Exemple : |r| w(r) |r|w(r) ,8 1 1 ,8 1 ,8 fenêtre d’apodisation de Hann filtre de Hann résultant filtre rampe w() = 0,5.(1+cos/c) si  < c = si  ≥ c domaine fréquentiel 1/ si c= N domaine spatial

22 Filtres classiques : filtre de Hann
Filtre rampe meilleure résolution spatiale mais forte amplification du bruit haute fréquence Filtre de Hann modifie les moyennes fréquences w() = 0,5.(1+cos/c) si  < c = si  ≥ c 0, , , , ,1 fréquence de coupure c plus faible est la fréquence de coupure, moins on préserve les détails “haute fréquence”, i.e., plus fort est le lissage

23 Filtres classiques : filtre de Hamming
Filtre rampe Filtre de Hamming w() = 0,54+0,46(cos/c) si  < c = si  ≥ c 0, , , , ,1 fréquence de coupure c plus faible est la fréquence de coupure, moins on préserve les détails “haute fréquence”, i.e., plus fort est le lissage

24 Filtres classiques : filtre gaussien
Filtre rampe Filtre gaussien (domaine spatial) c(x) = (1/s 2p).exp[-(x-x0)2/2s2] si  < c = si  ≥ c FWHM = 2 2ln2 s (pixel) plus grande est la dispersion du filtre gaussien (FWHM ou s), moins on préserve les détails “haute fréquence”, i.e., plus fort est le lissage

25 Filtres classiques : filtre de Butterworth
Filtre rampe Filtre de Butterworth w() = 1/[1+(/c)2n] si  < c = si  ≥ c 2 paramètres : fréquence de coupure c et ordre n ordre n, c=0,25 plus faible est l’ordre moins on préserve les détails “haute fréquence”, i.e., plus fort est le lissage

26 Implantation du filtrage
Multiplication du filtre rampe par une fenêtre d’apodisation filtrage 1D (direction x) Filtrage des projections puis reconstruction avec un filtre rampe filtrage 2D (directions x,z) Reconstruction avec un filtre rampe puis filtrage 2D des coupes reconstruites filtrage 2D (directions x,y) Reconstruction avec un filtre rampe puis filtrage 3D du volume reconstruit filtrage 3D (directions x,y,z) |r| |r|w(r) z x coupe zi y

27 2 097 152 équations à autant d’inconnues
D - Méthodes de reconstruction itératives Expression discrète et matricielle du problème de reconstruction tomographique Problème de reconstruction : système d’équations de grande taille 128 projections 128 x 128 équations à autant d’inconnues Inversion itérative du système d’équations r r14 r r44 p1 p2 p3 p4 f1 f2 f3 f4 =

28 p = R f Expression discrète du problème de reconstruction pi fk f1 f2
projection fk f1 f2 f3 f4 p1 p2 p3 p4 r r14 r r44 p1 p2 p3 p4 f1 f2 f3 f4 = p1 = r11 f1 + r12f2 + r13f3 + r14 f4 p2 = r21 f1 + r22f2 + r23f3 + r24 f4 p3 = r31 f1 + r32f2 + r33f3 + r34 f4 p4 = r41 f1 + r42f2 + r43f3 + r44 f 4 p = R f projections acquises opérateur de projection objet à reconstruire Problème : déterminer f connaissant p et R

29 p = R f Expression de l’opérateur de projection R fk pi projection
Modélisation géométrique - choix d’un modèle de distribution de l’intensité des pixels - modélisation de la géométrie de détection Modélisation de la physique de détection * atténuation * diffusion * résolution limitée du détecteur

30 l Modélisation géométrique de l’opérateur R
Modèle de distribution de l’intensité des pixels : détermination de la contribution de chaque pixel i à une raie de projection k Modèle de la géométrie de détection bins de projection 1 modèle exact = modèle uniforme modèle de Dirac l modèle de longueur de raies modèle du disque concave bins de projection parallèle en éventail

31 Modélisation physique de l’opérateur R
Atténuation Diffusion Réponse du détecteur f1 f2 f3 f4 p1 p2 p3 p4 p1 = r11 f1 exp(-1d1) + r13f3 exp(-3d3) carte des m f1 f2 f3 f4 p1 p2 sans modélisation de la diffusion : p1 = r11 f1 + r13 f3 avec modélisation de la diffusion : p1 = r11 f1 + r12 f2 + r13 f3 + r14 f4 p1 p2 sans modélisation de la fonction de réponse de la caméra : p1 = r11 f1 + r13 f3 avec modélisation : p1 = r11 f1 + r12 f2 + r13 f3 + r14 f4 f1 f2 f3 f4

32 R Rt Opérateurs de projection R et de rétroprojection fk fk pi pi
p1= f1 + f3 p2= f2 + f4 p3= f1 + f2 p4= f3 + f4 f1= p1 + p3 f2= p2 + p3 f3= p1 + p4 f4= p2 + p4 R Rt = =

33 p = R f Résolution du problème inverse fn=0 p = R f ^ ^ pn pn vs p
Recherche d’une solution f minimisant une distance d(p,Rf), p et R étant connus estimée initiale de l’objet à reconstruire fn=0 p = R f facteur de correction cn comparaison ^ ^ pn pn vs p fn+1 projection correspondant à l ’estimée fn définit la méthode itérative : additive : fn+1 = fn + cn multiplicative : fn+1 = fn . cn

34 R Exemple Deux pixels et deux raies de projection
système de deux équations à deux inconnues p1 p2 f1 f2 f1 = 10 f2 = 15 Opérateur de projection (connu) 7/8 1/8 1/8 7/8 = R Valeurs de projection mesurées p1 = 7/8 f1 + 1/8 f2 = 85/8 p2 = 1/8 f1 + 7/8 f2 = 115/8 Inconnues à déterminer : f1 et f2

35 Approche ART (Algebric Reconstruction Technique)
p1 = 7/8 f1 + 1/8 f2 = 85/8 (équation 1) p2 = 1/8 f1 + 7/8 f2 = 115/8 (équation 2) Utilisation d’une seule équation de raie par itération, et mise à jour de chaque inconnue à partir de cette équation : itération 1 : estimation de f1 à partir de l’équation 1 slmt estimation de f2 à partir de l’équation 1 slmt itération 2 : estimation de f1 à partir de l’équation 2 slmt estimation de f2 à partir de l’équation 2 slmt itération 3 : estimation de f1 à partir de l’équation 1 slmt etc… Modification à chaque itération proportionnelle à l’erreur par rapport à la projection vraie ART additive (erreur = pk - pkn) ou ART multiplicative (erreur = pk / pkn)

36 fin+1 = fin + (pk - pkn ) rki/Sjrkj2
ART additive p1 = 7/8 f1 + 1/8 f2 = 85/8 = 10,6 p2 = 1/8 f1 + 7/8 f2 = 115/8 = 14,4 Repose sur la méthode de Kaczmarz fin+1 = fin + (pk - pkn ) rki/Sjrkj2 Exemple (initialisation f10 = f20 = 0  p10 = p20 = 0 ) : itération n=1, raie k=1, estimation de f1 et f2 : f11 = 0 + (85/8-0).(7/8)/(49/64+1/64) = 119/10 = 11,9 f21 = 0 + (85/8-0).(1/8)/(49/64+1/64) = 17/10 = 1,7  p21 = 119/40 = 3,0 itération n=2, raie k=2, estimation de f1 et f2 : f12 = 11,9 + (115/8-119/40).(1/8)/(49/64+1/64) = 13,7 f22 = 1,7 + (115/8-119/40).(7/8)/(49/64+1/64) = 14,5  p11 = 13,8 itération f , , , , ,0 f , , , , ,9 A chaque itération, mise à jour successive de toutes les inconnues (ici f1 et f2) à partir de l’équation correspondant à une seule raie de projection contribution du pixel i à la raie de projection k écart entre valeurs du bin de projection estimée et observée

37 Approche SIRT (Simult. Iterative Reconst° Tech.)
p1 = 7/8 f1 + 1/8 f2 = 85/8 (équation 1) p2 = 1/8 f1 + 7/8 f2 = 115/8 (équation 2) SIRT : Simultaneous Iterative Reconstruction Technique Utilisation de toutes les équations à chaque itération et mise à jour de chaque inconnue : itération 1 : estimation de f1 en résolvant l’équation 1 estimation de f2 en résolvant l’équation 2 itération 2 : estimation de f1 en résolvant l’équation 1 estimation de f2 en résolvant l’équation 2 itération 3 : estimation de f1 en résolvant l’équation 1 estimation de f2 en résolvant l’équation 2 etc… Modification à chaque itération proportionnelle à l’erreur par rapport à la projection vraie Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Nombre d’itérations réduit par rapport aux méthodes ART

38 SIRT : méthode de Jacobi
p1 = 7/8 f1 + 1/8 f2 = 85/8 = 10,6 p2 = 1/8 f1 + 7/8 f2 = 115/8 = 14,4 contribution du pixel i à la raie de projection i fin+1 = fin + (pk - pkn ) / rii Exemple (initialisation f10 = f20 = 0  p10 = p20 = 0 ) : itération n=1 : estimation de f1 en résolvant l’équation 1 f11 = (85/8)/(7/8) = 85/7 = 12,1 estimation de f2 en résolvant l’équation 2 f21 = (115/8)/(7/8) = 115/7 = 16,4 itération n=2 : f12 = [85/8-(1/8)*(115/7)]/(7/8) = 9,8 f22 = [115/8-(1/8)*(85/7)]/(7/8) = 14,7 itération f , , ,0 f , , ,0 écart entre valeurs du bin de projection estimée et observée

39 SIRT : méthode de Gauss-Seidel
p1 = 7/8 f1 + 1/8 f2 = 85/8 = 10,6 p2 = 1/8 f1 + 7/8 f2 = 115/8 = 14,4 Identique à la méthode de Jacobi mais en tirant immédiatement parti des estimations obtenues aux itérations précédentes fin+1 = fin + (pk - pkn ou (n+1) ) / rii Exemple (initialisation f10 = f20 = 0  p10 = p20 = 0 ) : itération n=1 : estimation de f1 en résolvant l’équation 1 f11 = (85/8-0)/(7/8) = 85/7 = 12,1 estimation de f2 en résolvant l’équation 2 avec f11 =85/7 f21 = [115/8-(1/8)*(85/7)]/(7/8) = 14,7 itération n=2 : estimation de f1 en résolvant l’équation 1 avec f21 =14,7 f12 = (85/8-14,7/8)/(7/8) = 10,0 estimation de f2 en résolvant l’équation 2 avec f12 =10,0 f22 = (115/8-10,0/8)/(7/8) = 15,0 itération f , ,0 f , ,0 estimé à partir de toutes les valeurs courantes des fi  convergence plus rapide que Jacobi

40 fin+1 = fin + an (erreurn)
Méthodes de descente Méthodes ART et SIRT : fin+1 = fin + a (erreurn) Méthodes de descente : fin+1 = fin + an (erreurn) modification du coefficient de pondération à chaque itération Méthode du gradient : Iterative Least Squared Technique (ILST) Méthode du gradient conjugué : meilleure méthode de descente coefficient de pondération constant e.g., pk - pkn coefficient de pondération optimisé

41 Méthodes de descente : gradient conjugué
Adaptée à la résolution d’un système d’équations dont la matrice est symétrique : p = R f  Rt p = Rt R f Formule de mise à jour : fin+1 = fin + an dn Vitesse de descente optimisée à chaque itération : an = ||Rt p - Rt R fn||2 / (Rt p - Rt R fn)t R (Rt p - Rt R fn) Direction de descente optimisée à chaque itération : itération 1 : d1 = Rt p - Rt R f0 itération n : dn = (Rt p - Rt R fn) + bn dn-1 optimisation de la convergence convergence rapide méthode additive utilisée en SPECT matrice symétrique coefficient de pondération optimisé à chaque itération (vitesse de descente) direction de descente optimisée à chaque itération

42 prob(p|f) = P exp(- pk) . pk / pk !
Méthode statistique : MLEM MLEM = Max. Likelihood Expectation Maximization Utilise une formulation probabiliste du problème de reconstruction : - modèle probabiliste : Les pk sont des variables aléatoires de Poisson de paramètres pk, d’où l’expression de la vraisemblance de f : prob(p|f) = P exp(- pk) . pk / pk ! - détermine la solution f qui maximise la vraisemblance (ou log-vraisemblance), i.e., prob(p|f) par rapport au modèle probabiliste choisi. pk k

43 fin+1 = fin . [S rki (pk / pkn)] / S rki fn+1 = fn . Rt [ p / pn ]
Algorithme MLEM Deux étapes : - calcul de l’espérance de la log-vraisemblance compte tenu des projections pk mesurées et de l’estimation courante des fi. - maximisation de l’espérance en annulant les dérivées partielles par rapport à fi. Formule de mise à jour : fin+1 = fin . [S rki (pk / pkn)] / S rki fn+1 = fn . Rt [ p / pn ] * méthode multiplicative * solution toujours positive ou nulle * nombre d’événements conservé au fil des itérations * convergence lente * méthode itérative la plus utilisée en SPECT (dans sa version accélérée OSEM) k k opérateur de rétroprojection erreur

44 Version accélérée de MLEM : OSEM
OSEM = Ordered Subset Expectation Maximisation Tri des P projections en sous-ensembles ordonnés Exemple : Application de MLEM sur les sous-ensembles : - itération 1 : estimation de f1 à partir de l’initialisation f0 et des projections p1 correspondant au sous-ensemble 1 f1 = f0 . Rt [ p / p1 ] estimation de f’1 à partir de f1 et des projections p’1 correspondant au sous-ensemble 2 f’1 = f1 . Rt [ p / p’1 ] - itération 2 : estimation de f2 à partir de f’1 et des projections p2 correspondant au sous-ensemble 1 f2 = f’1 . Rt [ p / p2 ] estimation de f’2 à partir de f2 et des projections p’2 f’2 = f2 . Rt [ p / p’2 ] etc. 8 projections 2 sous-ensembles de 4 projections

45 Caractéristiques de OSEM
OSEM avec S sous-ensembles et I iterations  SI itérations de MLEM Facteur d’accélération ~ nombre de sous-ensembles méthode itérative la plus utilisée en SPECT MLEM itér. OSEM itér. 4 ss-ens. OSEM 8 ss-ens.

46 Caractéristiques des méthodes itératives
Plus élevé est le nombre d’itérations, meilleure est la restitution des hautes fréquences Problème du choix du nombre d’itérations - convergence vers la solution puis divergence de la procédure lors de la reconstruction des très hautes fréquences du fait de la présence de bruit (haute fréquence) nécessité de régulariser OSEM 8 ss-ens. gradient conjugué

47 Importance de la régularisation
Régularisation implicite : arrêt précoce des itérations Régularisation explicite : introduction d’un a priori sur la solution : - solution non régularisée : minimisation de d(p,Rf) - solution régularisée : minimisation de d1(p,Rf) + ld2(f,fa) solution compromis entre la fidélité aux mesures et l’a priori Exemples d’a priori régularisants : - distribution de f connue (Poisson, Gauss) - image lisse - image présentant des discontinuités a priori régularisant

48 Effet de la régularisation
sans régularisation image idéale avec régularisation itérations : sans régularisation avec régularisation

49 Interprétation probabiliste
Problème de reconstruction : Chercher f la plus probable compte tenu des projections p observées Interprétation probabiliste : Maximiser prob(f|p) : probabilité avoir l’image f quand les projections valent p Théorème de Bayes : prob(f|p) = prob(p|f) . prob(f) / prob(p) projections connues  prob(p) = 1 pas d’hypothèse a priori sur f  prob(f) = 1 alors : prob(f|p) = prob(p|f) maximiser prob(f|p) = maximiser la vraisemblance prob(p|f) = minimiser l’écart entre projections calculées et observées probabilité a priori de l’image f probabilité a priori des projections p probabilité de mesurer les projections p pour une image f = vraisemblance des projections p

50 Algorithmes associés à l’interprétation probabiliste
maximiser prob(f|p) = maximiser la vraisemblance prob(p|f) = minimiser l ’écart entre projections calculées et observées pk ~ loi de Poisson algorithme MLEM pk ~ loi de Gauss algorithme gradient conjugué Régularisation prob(f|p) = prob(p|f) . prob(f) méthodes MAP (maximum a posteriori) versions régularisées : MLEM  MAP-EM Gradient Conjugué (GC)  MAP-GC probabilité a priori de l’image f ≠ 1 probabilité a posteriori de l’image f

51 E - Reconstruction analytique ou itérative ?
Tomographie de transmission TEP rétroprojection filtrée algorithme ML Tomographie d’émission TEP FBP OSEM Algorithmes itératifs par rapport à rétroprojection filtrée (FBP) * réduction des artefacts de raies * temps de calculs accrus * possible compensation des phénomènes parasites via une modélisation adéquate dans le projecteur R (diffusion, atténuation, fonction de réponse du détecteur) * possible modélisation des caractéristiques statistiques des données

52 Quelle méthode pour quelle application ?
Scanner X * rétroprojection filtrée car excellent rapport signal-sur-bruit Tomographie d’émission monophotonique  routine clinique : rétroprojection filtrée  de plus en plus fréquemment : algorithmes itératifs, en particulier OSEM, du fait de : - la réduction des artefacts de raies - les plus grandes possibilités en terme de quantification - le traitement plus efficace de données présentant une faible statistique ( moins d’événements qu’en scanner X) - l’augmentation de la puissance des calculateurs qui rend la mise en œuvre d’algorithmes itératifs compatible avec une utilisation clinique Tomographie d’émission de positons  désormais algorithmes itératifs du fait de : - la possibilité de traiter totalement la nature 3D de la reconstruction sans factorisation et d’exploiter au mieux les nouveaux dispositifs d’acquisition Scanner X Tomographie d’émission monophotonique Tomographie d’émission de positons

53 http://www.guillemet.org/irene Pour en savoir plus ...
Analytic and iterative reconstruction algorithms in SPECT. Journal of Nuclear Medicine 2002, 43: Tomographie d’émission: reconstruction-corrections. Revue de l’ACOMEN, juillet 1998, vol 4, n°2 Avec nos remerciements à Irène BUVAT