Microéconomie et Finance - Théorie du consommateur :

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1 Microéconomie et Finance - Théorie du consommateur :
Cours 3 & 4 - Théorie du consommateur : Choix en incertitude Application à l ’assurance

2 Choix en incertitude Points à aborder: Définition du risque
Préférences face au risque Réductions du risque Assurance à termes fixes à termes flexibles Information

3 Définition du risque - Probabilité
Pour mesurer un risque on doit connaître: Tous les résultats possibles La probabilité d’occurrence de chaque résultat Probabilité : Possibilité d’occurence d’un événement Probabilité Objective Basée sur une fréquence observée d’événements passés (ex. jours de pluie). Probabilité Subjective Basée sur la perception ou sur l’expérience avec, ou non, une fréquence passée observée. Différentes informations ou différentes capacités à traiter la même information peuvent influencer la probabilité subjective (ex. cours boursiers).

4 Définition du risque - Espérance
Espérance mathématique : Moyenne pondérée des payoffs ou des valeurs résultant de tous les résultats possibles Les probabilités de chaque résultat sont les coefficients de pondérations L’espérance mathématique mesure la tendance centrale; la valeur moyenne. Généralisation: Soit n résultats possibles avec des payoffs de X1 à Xn Les probabilités de chaque résultat s’écrivent Pr1 à Prn L’expérance mathématique s’écrit :

5 Définition du risque - Variance
Déviation : Difference entre le payoff attendu (la moyenne) et le payoff observé Ecart-type : Racine carrée des carrés des déviations des payoffs associés à chaque résultat, par rapport à la moyenne. Expression mathématique, pour 2 états possibles :

6 Définition du risque - Exemple
Choix entre 2 travails: Soit 2 jobs ayant le même revenu moyen attendu (€1,500) Le premier paie à la commission: 1,000 € si mauvaises ventes (50% proba), 2,000 € si bonnes ventes (50% proba) Le second est salarié : 1,510 € en principe (99%) ou 510 en cas de faillite de l’entreprise (1% proba) Ecarts-types (“risques”) des deux options : Job 1 : salaire à la commission : Job 2 : salaire fixe

7 Définition du risque - Exemple
Caractéristiques des deux options : Espérance mathématique Job 1 : salaire à la commission : Job 2 : salaire fixe Ecart-type (“risque”)

8 Définition du risque - Exemple
Amendes de stationnement Imaginez une ville voulant éviter les stationnements interdits. Hypothèses: Le parking sauvage “rapporte” 5 € au conducteur en gain de temps. Le conducteur est neutre au risque. La crainte de l’amende est nulle. Dans ce cas, une amende certaine de 5.01 € suffit à éviter l’infraction.

9 Définition du risque - Exemple
Amendes de stationnement Accroître l’amende peut réduire le coût de la prévention. La pénalité moyenne de 5 € est la même dans : 50 € avec une probabilité de 0.1 500 € avec une probabilité de 0.01 Plus les conducteurs sont averses au risque, moins l’amende doit être élevée pour être efficace.

10 Préférences face au risque
Choix parmi plusieurs alternatives risquées: Hypothèses Consommation d’un seul bien Le consommateur connaît toutes les probabilités Les payoffs sont mesurés en termes d’utilité La fonction d’utilité est donnée Exemple : Une personne gagne $15,000, ce qui lui rapporte 13 unités d’utilité. Elle envisage un autre job, plus risqué, où elle a : 50% de chance d’accroître son revenu à $30,000, et 50% de chance de le diminuer à $10,000.

11 Préférences face au risque
Elle déterminera son choix en fonction de l’espérance de l’utilité (E(u)) apportée par le résultat. A savoir: E(u) = (1/2).u($10,000) + (1/2).u($30,000) = 0.5(10) + 0.5(18) = 14 E(u) du nouveau job est 14, supérieur à 13, l’utilité actuelle 13. Elle choisira donc le nouveau job. L’ espérance de l’utilité est la somme des utilités associées à chaque état; pondérées par les probabilités de chaque état. S’écrit E(U) . ! A ne pas confondre avec U (E), qui est l’utilité associé à l’espérance mathématique du résultat, qui néglige l’aspect “risque”.

12 Préférences face au risque
Les préférences sont différentes face au risque : Les gens peuvent être averses, neutres, ou favorables au risque. Averse au risque : préférer un revenu certain à un revenu risqué, de la même expérance mathématique. L’utilité marginale du revenu est décroissante chez les personnes averses au risque. Mesure de l’aversion au risque : RA (w) = - u’’ (w) u’ (w) où w est la fortune u la fonction d’utilité concave

13 Préférences face au risque
Aversion au risque U(E) : courbe des revenus certains Utilité E 10 15 20 13 14 16 18 30 A B C D E(U) : courbe des gains moyens Revenu ($1,000)

14 Préférences face au risque
Une personne est neutre au risque si elle ne montre pas de préférence entre un revenu certain, et un revenu incertain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)=U(E). Une personne est dite aimer le risque si elle montre une préférence pour un revenu incertain, par rapport à un revenu certain de même espérance mathématique. Dans ce cas : E(u)>U(E). Exemples: Jeu, certains délits

15 Préférences face au risque
Neutralité au risque E Utilité 18 C 12 A 6 Revenu ($1,000) 10 20 30

16 Préférences face au risque
“L’amour du risque” Utilité E 18 C 8 A 3 Revenu ($1,000) 10 20 30

17 Prime de risque La prime de risque est le montant qu’une personne averse au risque est prête à payer pour éviter de prendre un risque. Elle est égale à la différence entre l’espérance mathématique du loterie et son équivalent certain. Le revenu certain apportant la même utilité qu’une loterie est son “équivalent certain”. La concavité des courbes d’utilité indique le trade-off entre risque et espérance mathématique, et donc l’aversion au risque. Plus une courbe est concave, plus la prime de risque est grande.

18 Prime de risque - Exemple
Soit l’exemple du job risqué : $30,000 à 50% et probabilité et $10,000 à 50% (revenu moyen = $20,000). L’espérance de l’utilité de cette distribution de revenus vaut: E(u) = .5(18) + .5(10) = 14 Combien l’individu est-il prêt à payer pour éviter le risque?

19 Prime de risque - Exemple
Prime de risque ici de $4,000 parce qu’un revenu certain de 16,000 donne à l’individu la même utilité qu’un revenu incertain d’espérance mathématique de 20,000 Utilité 20 F Prime de risque 10 18 30 40 20 14 A C E G Revenu ($1,000) 10 16

20 Prime de risque - Exemple
La variabilité des payoffs potentiels accroit la prime de risque. Exemple: Un job à 50% de probabilité de rapporter $40,000 (u=20) et 50% de probabilité de rapporter 0 (u=0). L’espérance du revenu reste à $20,000, mais l’espérance de l’utilité (E(u)) tombe à 10. E(u) = 0.5 u(0$) u($40,000)= (20) = 10

21 Prime de risque - Exemple
Prime de risque ici de $10,000 parce qu’un revenu certain de 10,000 donne à l’individu la même utilité qu’un revenu incertain d’espérance mathématique de 20,000 Utilité Prime de risque G 20 18 E C 14 A F 10 Equivalent certain Revenu ($1,000) 10 16 20 30 40

22 Préférences face au risque - Exemple
Managers et choix du risque Etudes sur 464 managers exécutifs: 20% sont neutres au risque 40% sont favorables au risque 20% sont averses au risque 20% n’ont pas répondu Si les gains espérés sont les mêmes, ils optent pour les situations moins risquées. Font des efforts importants pour réduire le risque en reportant des décisions et en rassemblant plus d’informations.

23 Réduction du risque Les trois façons pour les individus de réduire le risque sont: 1) La diversification 2) L’obtention de plus d’information 3) L’assurance

24 Réduction du risque Diversification
Une firme peut réduire son risque en diversifiant ses activités dans des domaines peu liés entre eux. Exemple : Ventes de produits économiquement opposés Activités dans des zones géographiques et des devises différentes Application : le marché des actions - voir chapitre suivant.

25 Réduction du risque - Information
Valeur de l’information complète : Difference entre la valeur attendue d’un choix avec information complète, et la valeur attendue avec information incomplète. Exemple : Soit le patron de Zara. Combien de costumes d’automne commander ? Commande 100 costumes 180 €/pièce Commande 50 costumes 200 €/pièce Le prix de vente est de 300 €. Invendus remboursables à 1/2 prix. Probabilité subjective de vente de chaque quantité : 50%.

26 Réduction du risque - Information
Achat de 50 : Coût = 10,000 Achat de 100 : Coût = 18,000 Vente de 50 : C.A. = 15,000 Vente de 100: C.A = 30,000 Matrices des profits: Vente de 50 Vente de 100 Achat de 50 5,000 5,000 Achat de 100 1,500 12,000

27 Réduction du risque - Information
En information incomplète : Neutralité au risque : achat de 100 costumes (profit max. supérieur) Aversion au risque : achat de 50 costumes Espérance mathématique du profit en incertitude = 0.5*12, *1,500 = 6,750 En information complète (certitude) Profit = 0.5*5, *12,000 = 8,500 Valeur de l’information complète = 1,750

28 Réduction du risque Assurance
Des individus averses au risque sont prêts à payer pour éviter un risque. Si le coût de l’assurance égale la perte attendue, alors les individus averses ou neutres au risque : s’assureront, en cas d’assurance à termes fixes; achèteront suffisamment d’assurance pour couvrir totalement leur perte potentielle, en cas d’assurance à termes flexibles.

29 Assurance - Termes fixes
Eléments de choix d’une assurance à termes fixes: probabilité du sinistre :  en cas de sinistre : perte de : l valeur actuarielle du sinistre : l prime d’assurance : L sans assurance : perte de “l” avec une probabilité , et conservation de la fortune sans sinistre : en 2de période : w1 = w0.(1- ) + (w0-l).  = w0- l avec assurance : paiement de la prime dans tous les cas et pas de perte en cas de sinistre : en 2de période : w1 = w0-L, avec certitude

30 Assurance - Termes fixes
L = Prime d’assurance max. pour une couverture complète Utilité U(w0) E U (W0-.l) = U(W0-L) C On voit que, plus l ’aversion au risque croît, plus l’individu est prêt à payer pour une assurance, au-delà de l’espérance mathématique du sinistre. F A U(W0 - l) Revenu ($1,000) W0 - l W0-.l W0 W0-L

31 Assurance - Termes fixes
E (prendre une assurance) = E (ne pas prendre une assurance) SSI: p = .l (càd prime = valeur actuarielle des risques) Ainsi, les individus neutres au risque seront indifférents à contracter ou non une assurance à terme fixe si p = .l et les individus averse au risque préféreront contracter une assurance si p = .l et même si p > .l jusqu'à une certain prix, appelé pmax. De la même manière que les individus averses au risque préfèrent un revenu certain même s'il est inférieur à l'espérance mathématique d'une loterie, ils vont, ici, préférer le revenu certain [W0 - p] = [Richesse initiale - prime d'assurance] que la loterie : W0 à proba (1 - ) ou (W0 - l) à proba . Ainsi, on peut voir [W0 - pmax] comme l'équivalent certain de la loterie constituée par le fait de ne pas s'assurer. La prime de risque vaut donc : [pmax - .l] , appelée aussi "prime de réservation".

32 Transposition dans le plan x1, x2
x1 = revenu si état s = 1 : proba (1- ) x2 = revenu si état s = 2 : proba  points de l’espace = paire de revenus conditionnels bissectrice = lieu des revenus certains (x1+, x2+) = dotation initiale (sans assurance) point B, U2-U1 : utilité accrue avec assurance pente de la droite = rapport des probabilités des états x2 U1 U2 x1 = x2 x* B A X^ X2+ (1- )  (1- )  O x1 X^ X1+ x*

33 Transposition x1, x2 - Assurance
x1, pas de sinistre : proba (1- ) x2 , sinistre: proba  (w0, w0-l) = C2 = fortune sans assurance (W0- l, W0- l) = C1 = fortune avec assurance E = utilité équivalente sans assurance -> détermine la prime max x2 U1 U2 x1 = x2 W0- l C1 E W0-pmax W0-l C2 (1- )  (1- )  O W0-pmax w0 x1 W0- l

34 Assurance - Termes flexibles
Eléments de choix d’une assurance à termes fixes: probabilité du sinistre :  en cas de sinistre : perte de l prime par franc couvert = p indemnité choisie par l'assuré = L P = pL : prime totale Dans ce cas, l'individu n'a plus le choix entre un jeu et une certitude (ne pas s'assurer / s'assurer) , mais il fait face à deux jeux. En effet, même s'il s'assure, à moins qu'il ne s'assure entièrement, sa richesse va varier selon l'état de la nature.

35 Assurance - Termes flexibles
L’individu fait face à l’aléa suivant: Sans sinistre : il aura renoncé à pL de son revenu : w1 = w0-pL En cas de sinistre : il recevra L en compensation de son sinistre, après avoir payé la prime : w1 = w0-pL - l + L L'individu ne peut pas intervenir sur p, le prix de la couverture, mais il peut intervenir sur L. Quel est donc sa décision optimale? Cas 1 : p =  => E (assurance) = E (sans assurance) L ’individu neutre au risque est indifférent L ’individu averse au risque s ’assurera complètement : L*=l

36 Assurance - Termes flexibles
Cas 2 : p >  => E(assurance) < E (sans assurance) Le prix de l ’assurance est supérieure à la probabilité d ’occurrence du sinistre (1- )/  > (1-p)/p => modification de l’optimum L ’individu neutre ne souscrira pas d ’assurance L ’individu averse au risque s ’assurera partiellement : L*<l Plus généralement, le prix d ’une assurance dépend étroitement de la probabilité d ’occurrence de l ’événement.

37 Assurance à termes flexibles
x1, pas de sinistre : proba (1- ) x2 , sinistre: proba  1- /  = rapport des proba d’occurrences 1-p/p = rapport des prix des créances conditionnelles la courbure des courbures d’indifférences déterminera l’aversion au risque et le degré de protection. x2 U1 x1 = x2 U2 E W0 - l + (1-p) L W0-l C2 (1- )  (1- p) p O W0-pmax w0 x1 W0- pL

38 Nature de l’assurance La prise d’une assurance transfère de la richesse et accroît l’utilité attendue. La décision d’assurance dépend du risque perçu par l’assuré, en fonction du prix de l’assureur. Soit un assureur incapable de discriminer entre les “bons” risques : f et les “mauvais” risques : h ; applique une moyenne p =  à tous les assurés. Résultats : les mauvais risques observent h < p => s’assurent les bons risques observent f > p => ne s’assurent pas = phénomène de sélection adverse des risques : seuls les individus à haut risque s’assurent.

39 Nature de l’assurance Face aux pertes encourrues, les assureurs haussent p tel que p = h et P = h.l -> allocation inefficiente des risques Pour contrer les problèmes de sélection adverse : réduction de l’asymétrie d’information entre assureurs et assurés : prévision des bons et mauvais risques : historique (assurance décès), variables socio-économiques (assurance crédit), critères objectifs (ex. assurance habitation, vol) signalling : comportement identifiant de l’assuré (bonus-malus) . Signalling sur le marché de l’emploi : éducation comme signal de valeur (Spence, 1973). Aussi : garanties, labels de qualité, normes ISO...

40 Nature de l’assurance Autre problème en assurance : l’aléa moral : le comportement de l’assuré, débarassé du risque, peut se modifier et accroître la probabilité de sinistre. -> Mesures incitatives à la prudence, visant à faire supporter à l’assurer une partie du risque : Franchises Coassurance ou assurances partielles Problèmatique générale des problèmes d’agence ou modèle Principal - Agent. Où celui qui conçoit le contrat (Principal) n’est pas celui qui l’exécute (Agent). Exemples : actionnaire -gestionnaire ; patron - employé, entrepreneur - chefs de chantier, etc, etc.