Précision d'une mesure et chiffres significatifs

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1 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Introduction A la différence des mathématiques, on distingue, en physique et en chimie, deux catégories de nombres: les valeurs issues de mesures, connues avec plus ou moins de précision. (Le résultat de la mesure dépend de l'instrument de mesure utilisé, de l'expérimentateur, des conditions de l'expérience,...) les valeurs connues de façon exacte (comme 1/2 dans la définition de l'énergie cinétique d'un objet en mouvement: Ec = 1/2 m V²) Par leur façon d'écrire les nombres issus de mesures, les physiciens peuvent donner des informations fondamentales sur leur précision.

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Une taille de 1,10 m ou de 1,1 m, est-ce pareil pour le physicien? Pour mesurer la taille de cet enfant, on utilise une toise (règle graduée collée au mur).

3 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Si l'on dit qu'elle mesure 1,10 m, cela signifie qu'elle mesure 1 mètre, 1 décimètre et 0 centimètres. La mesure est précise au centimètre près (elle a été faite avec une règle qui est graduée tous les cm). Si l'on dit qu'elle mesure 1,1 m, cela signifie qu'elle mesure 1 mètre et 1 décimètre : la mesure est précise au décimètre près, soit à 10 cm près (comme si la mesure avait été faite avec une règle graduée tous les 10 cm).

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Définition Le dernier zéro, dans 1,10 m a un sens. Les chiffres 1, 1 et 0 ont chacun un sens : on les qualifiera de chiffres significatifs. Dans le résultat de la mesure 1,1 m, il y a 2 chiffres significatifs, tandis que dans le résultat de la mesure 1,10 m, il y a 3 chiffres significatifs. La seconde mesure est plus précise que la première. Le nombre de chiffres significatifs d'une mesure indique la précision de la mesure.

5 Comment déterminer le nombre de chiffres significatifs?
Précision d'une mesure et chiffres significatifs Comment déterminer le nombre de chiffres significatifs? Règle: Dans un nombre mesuré, on compte les chiffres significatifs à partir du premier chiffre non nul apparaissant à gauche. Exemple: si la taille d'un enfant est 1,05 m, le premier chiffre non nul apparaissant à gauche est le 1, puis il y a le 0 et le 5, soit 3 chiffres significatifs. Autre exemple: si la taille d'un enfant est 0,95 m : le premier chiffre non nul apparaissant à gauche est le 9, puis il y a le 5, soit 2 chiffres significatifs. Dernier exemple: La taille de l’enfant de l’exemple précédent est de 1,10 m : le premier chiffre non nul apparaissant à gauche est le 1, puis il y a un autre 1, puis un 0 soit 3 chiffres significatifs.

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Remarques: - Les zéros à gauche ne sont pas significatifs, (ils disparaissent si on choisit une unité plus petite): 0,95 m c'est aussi 95 cm, on a toujours 2 chiffres significatifs. Les zéros à gauche donnent des informations sur l'ordre de grandeur, pas sur la précision de la mesure. - Les zéros à droite sont significatifs, ils doivent être comptés lorsqu'on dénombre les chiffres significatifs et conservés lors d'un changement d'unité. - Lorsque la valeur mesurée est écrite en notation scientifique, tous les chiffres du nombre écrit devant la puissance de dix sont significatifs. La puissance de dix n'intervient pas dans le décompte.

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Exemple: la valeur de la vitesse de la lumière mesurée à 3, m.s-1 possède trois chiffres significatifs : le 3 et les deux 0.

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Combien de chiffres significatifs possède chaque nombre proposé ? 1030 4 chiffres significatifs (CS) 035,7 3 chiffres significatifs (CS) 0,001 1 chiffre significatif (CS) 1030,0 5 chiffres significatifs (CS)

9 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Cocher parmi les mesures ci-dessous, celles qui ont trois chiffres significatifs.  0,95 dam  0,01 kg  m.s-1  1, m  9,81 N.kg-1  16,0 g.mol-1  1013 hPa  0,001 mol.L-1 X X X

10 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Exprimer le résultat d’un calcul en tenant compte de la précision Les valeurs issues de mesures sont souvent utilisées dans des calculs (multiplication, division, addition,...) Avec combien de décimales doit-on écrire le résultat d'un calcul ? Toutes celles que donne la calculatrice ? Pas forcément...

11 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Si le calcul contient une seule valeur issue d'une mesure Prenons l'exemple de l'étalonnage d'un compteur kilométrique de vélo. On doit rentrer la distance parcourue par le vélo lors d'un tour de roue en mm. Cette distance (le périmètre de la roue) est calculée avec la relation 2πR. On mesure donc le rayon R de la roue (distance entre le centre de la roue et le sol). La mesure donne R = 335 mm.

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Le calcul de 2πR à la calculatrice donne 2104,86708 mm. Ce résultat comporte 9 chiffres significatifs! Pour respecter la précision de la donnée, le physicien exprimera le résultat avec seulement 3 chiffres significatifs (car 335 mm comporte 3 chiffres significatifs ; 2 et π sont des valeurs exactes). Méthode: Pour garder uniquement le nombre de chiffres significatifs voulu, il faut utiliser les puissances de dix et parfois arrondir. 2104,86708 mm avec seulement 3 chiffres significatifs s'écrira 2, mm.

13 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Si l'on effectue des MULTIPLICATIONS ou des DIVISIONS de valeurs mesurées Règle: si l'on effectue des MULTIPLICATIONS ou des DIVISIONS de valeurs mesurées, le résultat sera exprimé avec le même nombre de CHIFFRES SIGNIFICATIFS que la mesure qui possède le moins de chiffres significatifs. (c'est la valeur mesurée connue avec la moins bonne précision qui limite la précision du résultat)

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Si l'on effectue des MULTIPLICATIONS ou des DIVISIONS de valeurs mesurées Exemple : un cycliste a parcouru une distance d = 100 m en une durée t = 18 s. Quelle est sa vitesse moyenne? Sa vitesse est obtenue en divisant d par t. La calculatrice affiche 100/18 = 5, Comment écrire correctement le résultat de ce calcul ? Combien de chiffres significatifs garder ? Il s'agit d'une division. Le nombre 100 a 3 chiffres significatifs, le nombre 18 en a 2. Le résultat devra être exprimé avec 2 chiffres significatifs (autant que le nombre qui en a le moins). Il faudra donc écrire que la vitesse du cycliste est de 5,6 m.s-1 (on arrondit au supérieur).

15 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Si l'on effectue des ADDITIONS ou des SOUSTRACTIONS de valeurs mesurées Règle: si l'on effectue des ADDITIONS ou des SOUSTRACTIONS de nombres mesurés, ramenés dans la même unité, le résultat sera exprimé avec le même nombre de DÉCIMALES que la mesure qui possède le moins de décimales. (le résultat ne peut pas avoir plus de décimales que le nombre mesuré qui en a le moins) Remarque : si l'on a un calcul avec plusieurs opérations, ne pas arrondir les étapes intermédiaires, appliquer la règle sur le résultat final.

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Si l'on effectue des ADDITIONS ou des SOUSTRACTIONS de valeurs mesurées Exemple : 4 km à pieds ça use, ça use... et si on rajoute 800 m? L'opération est une addition. On convertit les 800 m en km et on effectue le calcul : 4 + 0,800 = 4,800 km, mais peut-on écrire le résultat ainsi? La première valeur mesurée, 4 n'a aucune décimale, la seconde valeur mesurée 0,800 en a 3. Le résultat doit s'exprimer, en km, avec aucune décimale. La réponse, tenant compte de la précision est donc : 5 km... (ça use les souliers)

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18 Précision d'une mesure et chiffres significatifs
Test d 'évaluation Objectifs Trouver combien il y a de chiffres significatifs dans les exemples donnés. Écrire des résultats issus de calculs avec la précision adéquate.

19 Question 1 : Combien y a-t-il de chiffres significatifs dans la mesure de la masse de ce biscuit: m = 50 g? 2

20 Question 2 : Combien y a-t-il de chiffres significatifs dans la mesure de température donnée par la cible de cette caméra thermique infra-rouge: 19,0°C? 3

21 Question 3 :  Combien y a-t-il de chiffres significatifs dans la mesure de distance donnée par ce télémètre laser: d = 0,260 m? 3

22 Question 4: On mesure la largeur et la longueur d'une feuille
Question 4: On mesure la largeur et la longueur d'une feuille. On trouve l = 21,0 cm et L = 29,7 cm. On calcule la surface de la feuille S = lxL. La calculatrice indique 623,7. Comment écrire le résultat de ce calcul? 624 cm2

23 Question 5: On effectue à la calculatrice le calcul suivant entre deux valeurs mesurées: 1, et 2,2. Elle indique comme résultat Combien de chiffres significatifs peut-on garder pour écrire le résultat avec la précision adéquate? 2

24 Question 6: Comment écrire le résultat 244 420 avec deux chiffres significatifs?
2,4.105

25 Question 7: Comment écrire avec la précision adéquate, le résultat de 15 + 0,34?

26 Question 8: Comment écrire avec la précision adéquate le résultat de 2,22 - 0,1?
2,1