Quelques applications.

Quelques applications.
Cours de graphes Quelques applications. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Cours de graphes 9 - Intranet
Les grandes lignes du cours Définitions de base Connexité Les plus courts chemins : Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres, graphes particuliers Arbres de recouvrement ( minimaux ) Problèmes de flots Coloriage de graphes, graphes planaires Couplages, chemins d’Euler et de Hamilton Problèmes NP-complets, réductions Applications 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications L E C O L O R I A G E D E S A R E T E S 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Nous nous contentons de
Le coloriage des arêtes Minimiser les couleurs est un problème NP–complet ! Nous connaissons une solution polynômiale qui est optimale à une couleur près ! L’algorithme de Vizing est donc fondamental ! ! ! Identifier une problématique comme étant un problème de coloriage des arêtes d’un graphe fournit donc tout de suite une solution ! Nous nous contentons de la solution approchée ! ! ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des arêtes Dans les problèmes de coloriage des arêtes : les sommets sont typiquement des ressources, les arêtes des contraintes de disponibilité ! Le coloriage ordonnance les contraintes pour qu’elles soient compatibles au niveau des ressources ! Ce sont souvent des problèmes d’emploi du temps : Horaires d’oraux entre profs et élèves. Horaires d’affectation d’une salle de TP à des cours. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Certaines couleurs sont interdites pour certains sommets !
Le coloriage des arêtes Souvent, nous avons des variantes plus compliquées du problème, comme par exemple : Ceci veut dire que toutes les ressources ne sont pas toujours disponibles ! Exemple : des années d’études, des salles, des enseignants, avec leurs contraintes d’edt. Certaines couleurs sont interdites pour certains sommets ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

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Le coloriage des sommets Nous devons colorier les sommets de façon à ce que deux voisins quelconques n’aient pas la même couleur. Nous essayons de minimiser le nombre de couleurs ! C’est un problème NP–complet et le nombre minimal de couleurs ne peut pas en général être encadré de manière précise ! Le coloriage des sommets est plus difficile que celui des arêtes et a aussi plus d’applications ! ! ! Souvent, on utilise des algorithmes polynômiaux qui donnent des solutions que l’on espère « pas trop mauvaises » ! ! ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Dans les problèmes de coloriage des sommets : les sommets sont typiquement des entités, les arêtes des incompatibilités entre entités ! Le coloriage minimise une ressource critique, comme des nombres de salles, de fréquences, ! Ce sont souvent des problèmes de : Distribution d’une ressource en pénurie. Minimisation d’une ressource chère. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Attribution de fréquences : les émetteurs sont les sommets, les arêtes représentent le fait que deux émetteurs ont une intersection non vide de couverture ! Le coloriage des sommets minimise le nombre de fréquences nécessaires pour couvrir tout le territoire ! Dans la pratique : Les fréquences réelles sont partitionnées en paquets de fréquences. Chaque paquet correspond à une couleur. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Emploi du temps : les cours sont les sommets, les arêtes représentent l’incompatibilité entre cours du fait qu’il sont par exemple donnés par le même enseignant, se font dans la même salle . . . Le coloriage des sommets minimise le nombre de créneaux horaires nécessaires pour donner les cours ! Les questions d’emplois du temps peuvent être traduits en différents problèmes de coloriage ! Nous pouvons d’ailleurs envisager de colorier aussi bien les sommets que les arêtes ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Variantes de coloriage : Il y a le coloriage des sommets ! Il y a le coloriage des arêtes ! Il y a le coloriage conjoint des sommets et arêtes ! Comme le coloriage des sommets attribue une paire de couleurs à chaque arête, nous pouvons exiger que : ce coloriage soit « harmonieux » au sens où il attribue à chaque arête une paire de couleurs différente, ce coloriage soit « complet » au sens où chaque paire de couleurs est utilisée au moins une fois. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Allocation de registres : les variables d’un programme sont les sommets, les arêtes représentent l’incompatibilité entre variables au sens où elles ne peuvent pas utiliser un même registre. Le coloriage des sommets minimise le nombre de registres nécessaires pour gérer toutes les variables ! La gestion d’une valeur dans un registre est beaucoup plus rapide que la gestion en mémoire centrale ! Si nous n’avons pas assez de registres il faut faire un choix entre les variables ! C’est un autre problème . . . 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Deux variables sont compatibles si l’une cesse de servir avant que l’autre ne commence ! Deux variables sont incompatibles si l’une a des usages avant et après un usage de l’autre variable ! Des variables peuvent utiliser un même registre si et seulement si elles sont compatibles ! Exemple : { x := 5 ; y := 7 ; u := 2 * x ; t := 3 ; t := t + u + y ; } x et y sont incompatibles ! x est compatible avec u et t ! y est incompatible avec u et t ! u et t sont incompatibles ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Deux variables sont compatibles si l’une cesse de servir avant que l’autre ne commence ! Deux variables sont incompatibles si l’une a des usages avant et après un usage de l’autre variable ! Des variables peuvent utiliser un même registre si et seulement si elles sont compatibles ! Exemple : { x := 5 ; y := 7 ; u := 2 * x ; t := 3 ; t := t + u + y ; } x y Il nous faut 3 registres ! Le registre bleu sert à x et à t ! u t 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Le coloriage des sommets Coloriage de chemins dans un graphe : Nous recevons un graphe et devons colorier un certain nombre de chemins qui sont donnés. Deux chemins doivent avoir une couleur différente dès qu’ils partagent une arête. Nous devons minimiser le nombre de couleurs ! C’est un problème de coloriage des sommets du graphe suivant : Chaque chemin est représenté par un sommet ! Deux sommets sont reliés par une arête si les chemins qu’ils représentent partagent des arêtes ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications C O U P L A G E S V E R T E X C O V E R E T A U T R E S 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Couplages, vertex cover et autres Le couplage consiste à : former le plus grand nombre de couples de sommets, les arêtes représentant des adéquations entre les sommets. Les applications sont bien-sûr nombreuses ! Quelques exemples : Couples de personne–tâche , candidat–poste , Couples de binômes en respectant les affinités. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Couplages, vertex cover et autres Le Vertex Cover consiste à savoir si nous pouvons trouver un sous-ensemble de k sommets au plus tel que chaque arête touche un de ces sommets ? ou à trouver le plus petit entier k pour lequel un tel ensemble existe ! Y a–t–il des applications réelles pour ce tel problème ? Pour un graphe de n sommets, le Vertex Cover avec la constante k est équivalent à savoir si Clique admet une solution de taille n–k ? 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Couplages, vertex cover et autres Le problème Independent Set ( STABLE en français ) : Pouvons-nous trouver dans un graphe au moins k sommets qui ne sont pas voisins deux à deux ? ? ? Quelle est la plus grande valeur k pour laquelle nous pouvons trouver un stable ? ? ? Un graphe avec n sommets admet un stable de taille k si et seulement si son graphe complémentaire admet une clique de taille n–k ! ! ! Comme il n’existe aucune arête entre deux sommets du stable, dans le graphe complémentaire toutes les arêtes vont exister, et donc former une clique ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Couplages, vertex cover et autres Vertex Cover , Clique et Independent Set sont en fait le même problème, vu sous des facettes différentes ! Une application pour Independent Set : Soient des sommets qui représentent tous les emplacements potentiels de succursales dans une ville. Soient les arêtes qui représentent une concurrence trop forte ( et donc un mauvais investissement ) due à une trop grande proximité entre deux sites. Maximiser le stable revient à trouver la meilleure saturation de la ville avec des succursales, sans risquer une trop grande concurrence entre elles. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Couplages, vertex cover et autres Un exemple ayant 24 sommets : Ces problèmes sont NP-complets ! Le stable maximal est de taille 9 ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications D I G R E S S I O N : A L G O R I T H M E S D ‘ A P P R O X I M A T I O N 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Ceci concerne les problèmes de décision NP-complets
Algorithmes d’approximation Pour des raison pratiques, nous renonçons à la solution optimale, pour avoir une solution en temps polynômial ! Ceci concerne les problèmes de décision NP-complets et leurs versions d'optimisation ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Ou alors à l'aide de programmes de complexité polynômiale
Algorithmes d’approximation Pour des raison pratiques, nous renonçons à la solution optimale, pour avoir une solution en temps polynômial ! Ceci peut se faire à l’aide d’heuristiques quelconques, qui n’offrent aucune garantie de qualité ! Ou alors à l'aide de programmes de complexité polynômiale et de qualité garantie ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Algorithmes d’approximation Une heuristique quelconque est un programme qui utilise un temps polynômial plus ou moins grand, pour appliquer des arguments plus ou moins sophistiqués, qui donnent une solution plus ou moins bonne, sur une partie plus ou moins grande des instances du problème ! Tout reste vague . . . 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Algorithmes d’approximation Un algorithme d’approximation à un facteur r près est un programme qui utilise un temps polynômial connu, pour donner une solution optimale au facteur r près et ce quelle que soit l’instance donnée du problème ! Si la meilleure solution ( inconnue ) vaut opt , alors nous sommes assurés d’obtenir une solution sol telle que opt <= sol <= r * opt 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Algorithmes d’approximation Un algorithme d’approximation à un facteur r près est un programme qui utilise un temps polynômial connu, pour donner une solution optimale au facteur r près et ce quelle que soit l’instance donnée du problème ! Si la meilleure solution ( inconnue ) vaut opt , alors nous sommes assurés d’obtenir une solution sol telle que Au pire : sol = r * opt 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Algorithmes d’approximation Pour le « Voyageur de Commerce euclidien » ( inégalité triangulaire ) nous avons construit une solution à un facteur 2 près ! Il s’agissait de trouver un arbre de recouvrement minimal, en doubler les arêtes pour en faire un circuit et d’éviter de passer plusieurs fois par un sommet ( ce qui ne rallonge pas les distances ) . La complexité est en O ( | E | * log ( | E | ) ) . 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

A tailles égales, ils sont plus difficiles que le TSP !
Algorithmes d’approximation A tailles égales, ils sont plus difficiles que le TSP ! Théorème : Pour le problème « Independent Set » il n’existe pas d’algorithme polynômial qui donne une solution optimale à un facteur r près, quel que soit r , à moins que P ne soit égale à NP ! Il y a des instances de Independent Set , tout comme de Vertex Cover et Clique , qui ne peuvent pas être approchées en temps polynômial à un facteur 2 ou 5 ou près ! ! ! Ils sont vraiment difficiles ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Algorithmes d’approximation Pour Independent Set , la complexité dépend du degré D ( G ) du graphe. Et, nous avons les résultats : Pour D ( G ) = 3 , nous ne pouvons pas approximer en temps polynômial à un facteur r = 1,0005 près. Pour D ( G ) = 4 , nous ne pouvons pas approximer en temps polynômial à un facteur r = 1,0018 près. Pour D ( G ) = 5 , nous ne pouvons pas approximer en temps polynômial à un facteur r = 1,003 près. Pour e petit, nous ne pouvons pas approximer en temps polynômial à un facteur r = D ( G ) ^e près. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

En général, le degré n'est pas borné !
Algorithmes d’approximation Pour Independent Set , la complexité dépend du degré D ( G ) du graphe. Et nous avons les résultats : Nous pouvons approximer en temps polynômial à un facteur r = ( D ( G ) + 3 ) / 5 près. Nous pouvons approximer en temps polynômial à r = ( D ( G ) * log log D ( G ) ) / log D ( G ) près. Pour D ( G ) grand, la seconde formule est meilleure. En général, le degré n'est pas borné ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications V A R I A N T E S D E P R O B L E M E S D E F L O T 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Le problème de flot tel que nous l’avons regardé est en fait la variante la plus simple de toute une famille de problèmes de flot ! L’extension la plus simple consiste à introduire plusieurs sources et plusieurs puits ! Elle ne change rien à la problématique, car il suffit de rajouter une « super-source » et un « super-puits » pour se ramaner à la situation de départ. C’est différent lorsque chaque source produit une couleur différente, destinée au puits correspondant. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Multi-commodity Flow Problem ! Nous avons n sources et n puits. Chaque source produit une couleur différente, destinée au puits qui lui correspond. La demande est d . Respect des capacités : Conservation, pas de mélange : Respect des demandes : i S f ( u , v ) <= c ( u , v ) i i S f ( u , v ) = 0 si u = s , p / i i i v S f ( s , v ) = S f ( v , p ) = d i i i i i v v 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Complexité du Multi-commodity Flow Problem : Si les flots sont des entiers, le problème de décision sous-jacent est NP–complet déjà pour deux sources et puits. Le problème est par contre polynômial si les flots sont des réels ! ! ! Analogie : La programmation linéaire en nombres entiers est NP–complète ! La programmation linéaire dans un univers continu est polynômiale ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Minimum Cost Flow Problem ! C’est un problème de flot mono-source et puits. A chaque arc ( u , v ) nous associons un coût a ( u , v ) ! L’objectif est de minimiser le coût total d’un flot de valeur d donné : S f ( s , v ) = d v Minimiser : S a ( u , v ) * f ( u , v ) u , v 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Minimum Cost Max Flow Problem ! C’est un problème de flot mono-source et puits. A chaque arc ( u , v ) nous associons un coût a ( u , v ) ! L’objectif est de minimiser le coût total du meilleur flot qui peut être atteint : Maximiser : S f ( s , v ) v tout en minimisant : S a ( u , v ) * f ( u , v ) u , v 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Résolution du Minimum Cost Max Flow Problem : Le problème est simple, car il suffit d’adapter le principe de Ford & Fulkerson. Nous allons chercher le chemin augmentant dont le coût total est le plus faible. Le poids de ce chemin correspond au coût unitaire du flot ! C’est l’algorithme de Dijkstra ! La complexité est la même que pour la version sans les coûts, car nous avons la même complexité pour la vague et Dijkstra ! ! ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Circulation Problem, le problème le plus général ! ! ! Le puits est relié à la source et ils doivent aussi conserver le flot, d’où le nom de circulation ! En plus de la capacité maximale c ( u , v ) , nous associons à l’arc ( u , v ) une capacité minimale notée l ( u , v ) ! Pour un flot d donné, il s’agit de trouver une circulation : f ( p , s ) = d l ( u , v ) <= f ( u , v ) <= c ( u , v ) S f ( u , v ) = 0 v 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Tout est polynômial sauf le multi-commodity en nombres entiers ! Nous pouvons limiter le nombre de sources à unité. En supprimant les bornes inférieures l ( u , v ) , nous revenons à un classique problème de flot ! En annulant les coûts, nous obtenons un simple problème de flot sans coûts ! En portant la capacité de l’arc ( p , s ) à infini, nous obtenons un problème de maximisation ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Le problème d’affectation ! Il s’agit de trouver un couplage maximal, de poids minimal dans un graphe bi-parti valué ! Nous avons, par exemple, des personnes et des tâches, ainsi que des coûts de personne–tâche ! Il s’agit de trouver une bijection entre les personnes et les tâches qui minimise la somme des coûts ! Si le couplage maximal et de poids minimal est NP–complet sur un graphe pondéré quelconque, il est cependant polynômial sur un graphe bi-parti ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Le problème d’affectation est un cas particulier du « problème de transport » ! Dans le problème de transport, nous avons un nombre m de mines et un nombre u d’usines, ainsi que des coûts de transport connus d’une mine vers une usine ! Chaque mine ne livre qu’une seule usine et chaque usine ne se fournit qu’auprès d’une mine. Il s’agit de trouver la correspondance qui minimise la somme des coûts ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Variantes de problèmes de flot Le « problème de transport » est un cas particulier du « problème de flot avec coûts » ! En effet, il suffit de rajouter une « super-mine » en amont des mines et une « super-usine » en aval des usines et de bien choisir les capacités et coûts ! Nous pouvons en fait trouver un petit nombre de problèmes qui englobe une bonne partie des problèmes que l’on peut rencontrer usuellement ! De telles réductions sont classiques ! ! ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications C H E M I N S D ‘ E U L E R E T D E H A M I L T O N 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Chemins d’Euler et de Hamilton Il peut y avoir des applications surprenantes pour les chemins d’Euler ! Ainsi, des problèmes d’alignements locaux de séquences de DNA ont pu être ramenées à des problèmes de chemins d’Euler, en utilisant des graphes de De Bruijn ! Le fait de savoir si un anneau peut être plongé dans un graphe est un problème de cycle de Hamilton ! Tous problèmes de circuits de type « Voyageur de Commerce » sont des questions de cycles de Hamilton ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Chemins d’Euler et de Hamilton Pour un graphe G donné, nous définissons le graphe de représentation R ( G ) suivant : Chaque arête de G devient un sommet de R ( G ). Deux sommets de R ( G ) sont reliés s’ils correspondent à des arêtes adjacentes dans G . G Les sommets de R ( G ) ! ! ! Les arrêtes de R ( G ) ! ! ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Chemins d’Euler et de Hamilton Si le graphe G admet un chemin d’Euler, alors le graphe R ( G ) aussi ! Si le graphe G admet un chemin d’Euler, alors le graphe R ( G ) admet un chemin de Hamilton ! Si le graphe G admet un chemin de Hamilton, alors le graphe R ( G ) aussi ! Les réciproques ne sont pas vraies ! G 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Chemins d’Euler et de Hamilton Les cycles de Hamilton servent souvent à démontrer que d’autres problèmes sont NP–complets ! Savoir si un graphe possède un arbre de recouvrement de degré 2 au plus est NP–complet ! En effet, cet arbre est égal au chemin de Hamilton ! Savoir si un graphe possède un arbre de recouvrement de degré 3 au plus est NP–complet ! En effet, un graphe G admet un chemin de Hamilton si et seulement si le graphe G’ suivant admet un arbre de recouvrement de degré 3 au plus. Ensuite, nous rajoutons les arêtes ( u , u’ ) . . . u u u’ Nous gardons les arêtes et dupliquons les sommets ! G : G’ : v v v’ 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications A R B R E S D E R E C O U V R E M E N T ( M I N I M A U X ) 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Arbres de recouvrements (minimaux) L’arbre de recouvrement est important parce que il fournit la plus petite solution connexe en termes d’arêtes, il fournit la plus grande solution sans cycles en termes d’arêtes, il évite les choix arbitraires entre plusieurs chemins ! Il est compatible avec la minimisation sous la forme du calcul de l’arbre de recouvrement minimal ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Arbres de recouvrements (minimaux) Le problème devient difficile dès que nous imposons des contraintes sur la forme de l’arbre, comme une arité bornée, . . . De même, il est difficile de trouver, parmi les n sommets d’un graphe pondéré, le sous-ensemble de k sommets qui admet l’arbre de recouvrement le plus léger. Le calcul de l’arbre de recouvrement minimal a de nombreuses applications soit en tant que solution directe d’un problème, soit comme étape essentielle d’un calcul plus complexe comme l’approximation du TSP. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Arbres de recouvrements (minimaux) Le problème de « l’arbre de recouvrement euclidien » est une variante intéressante ! Nous considérons des points dans le plan ( ou un espace de dimension plus grande ) et cherchons l’arbre de recouvrement minimal en termes de distances euclidiennes. Un exemple : La solution la plus simple consiste à calculer les distances entre toutes les paires de points et de dérouler ensuite un calcul d’ARM ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Applications P L U S C O U R T S C H E M I N S 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Plus courts chemins Le calcul des composantes connexes, des chemins les plus courts et des chemins les plus légers est à la base de beaucoup de traitements ! Une première difficulté peut provenir du fait que l’inégalité triangulaire ne soit pas respectée ! Une seconde difficulté peut provenir du fait que, en présence d’arêtes de poids négatives, nous puissions tomber sur des cycles de poids négatifs ! Nous avons en général plusieurs algorithmes à notre disposition, de complexités variables, mais toujours polynômiales ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Plus courts chemins Il est équivalent de minimiser une somme de poids, minimiser le poids de l’arête la plus lourde, c’est-à-dire minimiser un maximum, maximiser une somme de poids, maximiser le poids de l’arête la plus légère, c’est-à-dire maximiser un minimum ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Quelques applications.
Synthèse Quelques applications. 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Connexité Les plus « courts » chemins : La vague La multiplication de matrices Floyd-Warshall Dijkstra Bellmann-Ford 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Arbres : Définitions équivalentes Arbres de recouvrement Arbres de recouvrement minimaux 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Problèmes de flots : Théorème du MIN–MAX Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme de Edmonds et Karp 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Coloriage de graphes : Coloriage des sommets Coloriage des arêtes L’algorithme de Vizing Graphes planaires 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Couplages Chemins d’Euler Chemins de Hamilton 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Problèmes NP-complets : La théorie ( rappels ) Les réductions polynômiales Des exemples de réductions 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Quelques graphes particuliers : Le graphe en ligne, la grille, . . . L’anneau, le tore, . . . L’hypercube Des graphes plus exotiques . . . 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

Synthèse du cours Quelques applications : Illustrations directes du cours Quelques extensions de résultats 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

L E S P R O B L E M E S D E G R A P H E S D O I V E N T E T R E A P P R I S C A R L E S S O L U T I O N S S O N T S O U V E N T D I F F I C I L E S A T R O U V E R ! ! ! 30 mars 2007 Cours de graphes 9 - Intranet

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