GCI 210 – Résistances des matériaux

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1 GCI 210 – Résistances des matériaux
Chargé de cours - Olivier Girard Hiver 2009

2 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres (299 - 388)
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants ( ) 4.2 Moment d’inertie de surfaces (C-0) 4.3 Flexion élastique des sections symétriques ( ) 4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux ( ) 4.5 Flexion inélastique des sections symétriques ( ) 4.6 Flexion composée de sections symétriques ( ) 4.7 Flexion élastique des sections quelconques ( )

3 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
La paternité de la théorie des poutres revient à Gallilée ( ) Étude de la déformation des poutres Hypothèse fausse : contrainte de tension et de compression uniforme DaVinci l’aurait par contre précédé ( )

4 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
La pièce manque de Gallilée était la théorie développée par Robert Hooke ( ) La loi de Hooke : la contrainte à l’intérieur d’un élément est une fonction linéaire de la déformation Leonhard Euler (en couleur) et Jacques Bernouilli (noir et blanc) ont développé la première théorie utile en Le neveu de Jacques, Daniel, développe l’expression différentielle de cette théorie.

5 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
La théorie des poutres ne fut qu’utilisée à partir des années 1880 avec la construction des grandes roues et de la tour Eiffel (1889).

6 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants ( ) Notions de DET et DMF Équilibre de l’élément dx (« double coupe ») ΣFy = 0 = -V + pdx + (V+dV) ; donc p = - ( dV / dx ) ΣMgauche = 0 = -M + (M + dM) + (V + dV)dx + (pdx * dx/2) puisque dx est petit, dx2 est très près de 0 ; donc dM + Vdx = 0

7 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants Notions de DET et DMF Les conclusions de l’équilibre de l’élément dx sont : dV = -pdx dM = -Vdx

8 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants Propriétés des DET et DMF Le DET et le DMF sont obtenus en intégrant la charge sur la poutre Le DET est la dérivée du DMF, en mathématique, lorsque la dérivée d’une fonction est nulle, il y a présence d’un maximum Il y a un saut dans un DET lorsqu’il y a présence d’une charge concentrée Il y a un saut dans un DMF lorsqu’il y a présence d’un moment concentré Le sens des pentes et le sens de la concavité des graphiques dépendent du « signe » de la fonction Sur une poutre horizontale, la fibre inférieure est tendue et la fibre supérieure est comprimée lorsque le moment est positif et inversement

9 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface (C-0) Surface simple

10 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface Changement d’axes

11 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface Surface composée

12 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface Surface composée

13 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface Surface typique

14 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface Surface typique

15 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques ( ) Hypothèse de calcul Matériau homogène et isotrope Poutres rectilignes Section avec au moins un axe de symétrie Moment agissant dans un plan de symétrie qui n’est pas l’axe de symétrie lorsque la section comporte un seul axe de symétrie Les déformations sont petites La loi de Hooke s’applique Les sections planes restent planes après déformation

16 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques Équation de la contrainte

17 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques Équation de la déformée

18 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques Dimensionnement des poutres en flexion

19 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques Dimensionnement des poutres en flexion

20 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux ( ) Cas général

21 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux

22 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs matériaux

23 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques ( ) Le problème consiste à déterminer sur des sections ayant au moins un axe de symétrie : le moment élastique pour lequel la contrainte maximale en tension ou en compression atteint la limite élastique le moment plastique pour lequel toutes les contraintes en tension ou en compression ont atteint la limite élastique le moment élasto-plastique produisant un état de contrainte élasto-plastique sur la section

24 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques

25 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques

26 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) ( ) la flexion combinée due aux 2 moments de flexion autour des 2 axes de symétrie, la flexion déviée pour laquelle le moment de flexion se décompose en 2 moments de flexion autour des axes de symétrie, la flexion produite par des charges axiales excentriques, la flexion combinée avec un effort axial (murs de soutènement), la flexion combinée dans le domaine plastique.

27 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion élastique déviée

28 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion élastique déviée suite

29 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion élastique combinée

30 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion élastique combinée

31 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion composée inélastique

32 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion composée inélastique

33 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2 axes de symétrie) Flexion composée inélastique

34 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques ( )

35 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Axes principaux d’inertie

36 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Axes principaux d’inertie

37 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Axes principaux d’inertie

38 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’

39 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’

40 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’

41 Chapitre 4 : Contraintes normales de flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques Équation des contraintes par rapport aux axes principaux d’inertie