de l’information quantique

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1 de l’information quantique
Approche semi-classique de l’information quantique Je vais donc vous présenter le résultats des travaux que j’ai réalisés durant ma thèse avec le professeur Daniel Braun Sous la supervision de Daniel Braun Soutenue par la DGA Intéressé à l’IQ Et en particulier à l’étude de sa limite semi-classique dans deux problèmes d’intérêt pour l’IQ : le clonage d’un qubit et l’amplification de spin Benoit ROUBERT

2 INTRODUCTION … rapide présentation de l’information quantique et des objectifs de cette thèse

3 Théorie de l’information Théorie de l’information quantique
Mécanique quantique Planck, Bohr, Schrödinger, Pauli, … Théorie de l’information 1940 Shannon, Turing Théorie de l’information quantique 1980 Feynman, Benett, Benioff, Deutsch Unité de base : Qubit - Electron : spin U/D - Atome avec deux niveaux d’ énergie: fondamental/excité - Photon : polarisé horizontalement/verticalement Système quantique présentant deux niveaux distincts L’IQ comme le laisse apparaître son nom, est née de la rencontre entre deux théories Théorie de l’information : années 1940 : Shannon, Turing Théorie de la mécanique quantique : Planck, Bohr, Schrödinger, Pauli, Heisenberg LANDAUER : Information is physical -> On va utiliser des systèmes quantiques pour transporter de l’information A l’instar de l’information classique pour laquelle on a le concept du bit (0 ou 1), l’information quantique nécessite l’introduction d’un concept équivalent: qubit Bit VS qubit : SUPERPOSITION COHERENTE Bit Qubit Bit VS Qubit

4 Propriété de l’information quantique
Accélérations potentiellement exponentielles Pour de nombreux problèmes : meilleurs efficacité algorithmes quantiques Factorisation d’un nombre (Shor) Problème du sous-groupe caché (Simon) Résolution de systèmes d’équations linéaires (Loyd) Quelle est la nature des ressources physiques qui permettent cette accélération ? Deux propriétés de l’information quantique sont à mettre en exergue Problèmes pour lesquels on a une accélération exponentielle Shor : factorisation d’un nombre Sous-groupe caché : trouver les générateurs d’un sous-groupe vérifiant certains propriétés Problème de marche aléatoire : Un marcheur quantique peut traverser un graphe exponentiellement plus vite que n’importe quel marcheur aléatoire classique Grover : recherche d’un élément dans une base de donnée O(N) -> O(srt(N)) Qubit : Son état physique est décrit par un vecteur dans un espace de Hilbert de dimension 2 Dans cet exposé, nous allons en particulier nous intéresser au rôle joué par l’interférence dans le cadre du clonage quantique Comment faire pour lire …. : alors que cela implique une action extérieure et des phénomènes de décohérence Nous allons montrer que si l’on décide d’utiliser le spin comme qubit, l’amplification de spin peut servir à répondre en partie à cette problématique Interférence Intrication

5 Problématique de la thèse
Etudier deux problèmes d’intérêt pour l’information quantique - Clonage d’un qubit et le rôle joué par l’interférence - Amplification de spin Situations semi-classiques - Cloneurs sans interférence : se situent entre les cloneurs parfaitement quantiques/cloneurs classiques - Amplification de spin dans des chaînes de grand nombre de spin Cloneurs : … c’est dans ce sens que l’on comprendra semi-classique Amplification : le grand nombre de spins considéré justifie le caractère semi-classique du problème Lien entre les deux problèmes Dans les deux cas on s’intéresse à reproduire l’information d’un qubit initial (sur un seul, ou sur une très grande quantité de qubits).

6 Clonage quantique à 2 qubits sans interférence

7 Particularités du clonage quantique
Nature probabiliste d’un état quantique Avant d’effectuer une mesure, le système n’existe dans aucun état classique en particulier (interprétation de Copenhague) Classique : copie de l’état classique (~ photocopie) Quantique : copie de l’état quantique (matrice densité) Définition du clonage Alors que le clonage classique … Clonage classique : agit comme une photocopieuse : peut reproduire de l’information fidèlement et autant de fois qu’on le souhaite Clonage quantique : cherche à copier un état quantique de nature probabiliste, c’est sa matrice densité que l’on va chercher à reproduire Cependant , comme l’on montré … impossible … Ce théorème de non-clonage, trouve sa démonstration de façon très simple dans la propriété de linéarité de la M.Q. Théorème de non-clonage 1982 : Wootters – Zurek Impossible de cloner parfaitement :

8 Fidélités de clonage : Matrice densité totale d’un système à 2 qubits
Matrices densités réduites : Sphère de Bloch Fidélité simple On voit donc qu’un cloneur parfait n’existe pas, ce qui nous pousse à nous intéresser au degré d’efficacité avec lequel se fait le clonage, et à définir une mesure de la fidélité de ce dernier. Matrices densités réduites pour le sous-système A ou B la trace de la matrice densité du système total sur le sous-système complémentaire Avant de définir les fidélités, on introduit le concept de la sphère de Bloch. On va définir la fidélité simple de copie d’un état psi(theta,phi) sur le système A ou B, comme la projection sur cet état de la matrice densité réduite … : Vecteur initial Fidélité moyenne

9 Types de cloneurs Cloneurs universels / symétriques / optimaux
Cloneur universel : Cloneur symétrique : Cloneur optimal : fidélités maximales autorisées Cloneurs classiques / quantiques Classiques : Ne propagent que les termes diagonaux des matrices densités Quantiques : Propagent les termes diagonaux et les cohérences des matrices densités Les fidélités précédemment définies permettent de classifier différents types de cloneurs Il est important de souligner les valeurs maximales atteintes par les fidélités moyennes Dans les deux sections suivantes, je vais vous montrer : - Très simple d’égaler ou de dépasser la limite du clonage classique par des techniques de clonage triviales - Puis la forme qui est celle d’un cloneur symétrique universel optimal Fidélités moyennes maximales pour des cloneurs symétriques universels Pour les cloneurs classiques : [1] Pour les cloneurs quantiques : [2] [1] : M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki. : Phys. Rev. A, 60, (1999) [2] : V. Buzek and M. Hillery. : Phys. Rev. A, 54, 1844 (1996)

10 Cloneur de Buzek-Hillery
Définition A et B peuvent être échangés Même forme Cloneur symétrique et universel Matrices densités réduites On présente donc le cloneur de BH qui atteint la limite quantique pour un cloneur symétrique universel Après définition : ce cloneur nécessite l’introduction d’un qubit supplémentaire Si on s’intéresse aux matrices densité réduites, on voit que ces dernières correspondent à la somme de deux projecteurs (un sur psi, un sur psi perp.), avec respectivement des préfacteurs de 5/6 et 1/6 - Quelles sont les ressources physiques qui expliquent la meilleure efficacité du clonage quantique ? - Meilleure efficacité : deux candidats : l’intrication et l’interférence. Comme le clonage quantique prend en compte les cohérences des matrices densités, il paraît naturel de faire l’hypothèse que l’interférence soit nécessaire pour permettre de cloner mieux qu’avec des cloneurs classiques. Fidélités Valeur maximale pour un clonage quantique symétrique et universel

11 Clonage et interférence
Propagateur d’une matrice densité Traduit le passage Propriétés attendues d’une mesure d’interférence Qu’elle mesure le degré de cohérence de la propagation Qu’elle mesure l’équipartition de la propagation Qu’elle dépende de la base dans laquelle l’on se place Comme nous l’avons dis précédemment, nous nous intéressons en particulier au rôle joué par l’interférence dans le clonage quantique ORAL : Interférence : propriété non pas de l’état lui-même mais de sa propagation : donc nécessaire de caractériser comment un état est propagé d’un état initial vers un état final -> Propagateur Les élément Pij,kl du propagateur relient les éléments des matrices densités initiale et finale (exprimés dans la base computationnelle) Propriétés attendues + degré de cohérence : dans quelle mesure l’information de phase de l’état initial hest conservée lors de la propagation + degré d’équipartition : dans quelle mesure les amplitudes et phases initiales des éléments de la matrice densité initiale contribuent aux amplitudes et phases finales des éléments de la matrice densité finale Explication physique de l’interférence : S’intéresse à la propagation des cohérences Pii,kl k \neq l On s’assure de l’équipartition : grâce au |…|² Mesure d’interférence [I] [I] : D.Braun, B.Georgeot – Quantitative measure of interference Phys. Rev. A 73, , (2006)

12 Matrice dynamique Opération de Reshuffling
Lien matrice dynamique – Propagateur : Nous introduisons maintenant le concept de matrice dynamique qui nous a permis de simplifier considérablement le problème d’optimisation des fidélités moyennes en absence d’interférence Nous définissons dans l’espace des matrices carrées l’opération de Reshuffling qui a pour action de réorganiser les éléments d’une ligne, sous la forme d’un carré rempli de gauche à droite et du haut vers le bas. Par exemple pour une matrice 4*4 … et est une matrice complexe 16*16 qui Traduit comment sont obtenus les 4*4 éléments de \rho^{in} à partir des 4*4 éléments de \rho^{OUT} Propriétés de Hermitienne : Bloc – positive : Conserve la normalisation de :

13 Reformulation en terme de matrice dynamique
Fidélités moyennes : Fonctions linéaires des éléments Interférence Nous reformulons les différentes quantités observées en terme de matrice dynamique On peut donc écrire les fidélités moyennes comme le produit de deux matrices A et B avec la matrice dynamique M.D : compris comme une produit scalaire termes à termes entre deux matrices Dij,kl=0 : qui signifie que les blocs diagonaux de la matrice dynamique doivent être eux-mêmes diagonaux D d’interférence nulle : - Matrice hermitienne complexe dont les éléments hors-diagonaux des blocs diagonaux sont nuls - Dont les éléments diagonaux vérifient les relations de normalisation précédentes - Dont DIJ sont des matrices 4*4 complexes Forme générale d’une matrice dynamique d’interférence nulle

14 Cas d’un clonage classique
Définition Pas accès aux cohérences Seuls les termes diagonaux des matrices densités (probabilités) sont reliés entre eux Fidélités moyennes d’un clonage classique Bloc-positivité de Conditions de normalisation Avant de présenter le problème d’optimisation auquel on s’est intéressé, on fait une petite parenthèse sur le cas du clonage classique On voit que les fidélités moyennes classiques ne dépendent que d’un très petit nombre d’éléments Dij,kl (4 chacunes)

15 Problème d’optimisation
Données : Matrice hermitienne, bloc-positive : grand nombre d’éléments indépendants , : Fonctions linéaires des éléments matriciels pour un donné Trouver qui optimise Problème On s’est intéréssé au prob . dopt suiv. On cherche donc la forme de la matrice dynamique - Ensemble des matrices bloc-positives : convexe + fonction que l’on souhaite op. convex car lin + le fait d’imposer des valeurs de FB et FA données, ne faisant que rajouter des contraintes linéaires supplémentaires (donc convexes)  Problème d’optimisation convexe Si on rajoute D positive, également semi-positive, on rentre alors dans la classe des problèmes de programmation semi-défini Problème d’optimisation convexe Condition supplémentaire : positive Problème de programmation semi-définie Qui assure qu’un extremum local est également global

16 Domaine convexe des Cloneurs sans interférence
Domaine convexe grisé : Ensemble convexe de cloneurs sans interférence possédant une matrice dynamique positive Frontière noire : Fidélités moyennes minimales et maximales pour un cloneur sans interférence Domaine gris foncé : Cloneurs meilleurs que les cloneurs classiques Point rouge : Cloneur symétrique optimal B.Roubert, D.Braun –Phys. Rev. A, 78, (2008) Role of interference in quantum cloning -Dans le cas asymétrique : la fidélité moyenne peut atteindre 1 si l’autre système est dans un état complètement aléatoire - Il existe tout un domaine de cloneurs asymétriques de fidélités moyennes supérieures à 2/3 On retrouve que le meilleur cloneur symétrique a une fidélité moyenne de 5/6 Matrice Dopt : matrice relativement vide. Néanmoins c’est la présence de ces derniers qui contribuent à l’optimalité de ce clonage Matrice dynamique pour le cloneur symétrique optimal

17 Cloneurs symétriques optimaux sans interférence
Trouve extrema globaux Problème de programmation semi-définie N’assure pas leur unicité Propriétés de 10 valeurs propres non nulles Ses V.P. forment une matrice réelle orthogonale dans la base computationnelle Sous-espace des v.p. non nulles nulles - On va montrer qu’il est possible de construire toute une classe de cloneurs … - La matrice Dopt dont nous venons de donner la forme possède …. et comme elle est réelle et symétrique … L’idée est d’appliquer un W qui va conserver l’optimalité de Dopt - Base des V.P. : on choisit une perturbation qui agit uniquement dans le sous-espace des 10 v.p. non nulles de Dopt Forme de dans la base des vecteurs propres de

18 Cloneurs symétriques optimaux sans interférence
: Matrice dynamique optimale perturbée , restent identiques Problème : Trouver Conditions normalisation conservées reste positive On trouve tout un CONTINUUM de matrices dynamiques optimales perturbées - wI,J suffisamment faibles pour conserver la positivité P.S. : Fidélités identiques : A.Wtilde=B.Wtilde=0

19 Résumé des résultats importants
Possible de construire à tout un continuum de cloneurs quantiques - asymétriques universels clonant mieux que classiquement - optimaux symétriques universels Nous arrivons donc a ce résultat plutôt contre-intuitif que l’interférence n’est donc pas une ressource … Enfin les cloneurs sans I étudiés représentent un cas d’étude semi-classique : cas clonage quantique : D potentiellement pleine cas clonage classique D : purement diagonale Clonage sans interférence se situe entre les deux : avec l’obligation pour les blocs diagonaux d’être également diagonaux : signification Physique : Ne lie aucune cohérences aux probabilités, mais lie cohérences aux cohérences - TRANSITION avec seconde partie L’interférence n’est pas une ressource indispensable pour cloner mieux que classiquement Cloneurs sans interférence étudiés : cas semi-classiques

20 Amplification de spins
Après s’être intéressé donc à la copie de l’état quantique d’un qubit unique sur un autre qubit, on va se pencher sur l’étude de la copie de l’état quantique d’un qubit sur un ensemble macroscopique de qubits, ici au travers du phénomène d’amplification de spin

21 pour les systèmes à 1 spin
Problèmes importants pour les systèmes à 1 spin Détection Mesure de son état Transfert spatial Nous allons tout d’abord nous pencher sur trois problèmes importants concernant les systèmes à un seul spin : Détection, la mesure, …

22 Détection/Mesure de spin unique
DETECTION MESURE Plus petits éléments de volume : 1012 (spins nucléaires) 107 (spins électroniques) Limite de résolution : 1 µm Un point quantique Un électron dans deux états possibles Un réservoir de potentiel électrochimique IRM MFRM Capable de détecter un spin unique Force très faible : newton Nous commençons donc par le problème de la détection d’un spin unique. IRM : Imagerie à résonnance magnétique MFRM : Microscopie à force de résonnance magnétique Principe du MFRM : * Tige en silicium + pointe ferromagnétique * Champs magnétique de la pointe + champs externe : domaine de résonance magnétique (forme de bol) * La tige est mise en oscillation : - Si spin rencontré : inversé -> exerce une force sur la tige -> décalage de sa fréquence d’oscillation propre - Gradient du champ pour la pointe : gauss par nanomètre On le voit donc, détecter un spin unique reste donc un problème difficile, mais si ce procédé nous permet de détecter un spin unique, il ne nous permet d’effectuer la mesure de son état quantique. En effet au problème de détection de la présence d’un spin unique, se rajoute celui de la mesure de son état. En effet une mesure directe de l’état d’un électron est particulièrement difficile en raison de la faiblesse de son moment magnétique. Une méthode ingénieuse a été proposée qui corrèle l’état du spin à l’état de charge d’un point quantique, beaucoup plus facilement mesurable Dans certains cas particuliers cependant, on est capable de réaliser une telle mesure. Point quantique : boîte de semi-conducteur Mesure directe de l ’état de spin difficile en raison de la faiblesse du moment magnétique de l’électron Possible dans des cas très particuliers : Ex : les points quantiques Si électron dans état ES peut par effet tunnel sortir du point quantique Mesure de l’état de charge du point quantique : Absence/présence de l’électron [I] [I] : Rugar et al. - Single spin detection by magnetic resonance force microscopy - Nature, (2004)

23 Transfert de spin N Principe de l’expérience [I] Problème Protocole
Alice souhaite transférer son spin à Bob Protocole Chaîne de Heisenberg (J cts) initialisée dans l’état down Laisse évoluer le système librement suffisamment longtemps A un moment t Bob mesure l'état de son spin (intriqué avec la chaîne) La fidélité moyenne maximale (relativement au moment au bob effectue la mesure de l’état de son spin) Conditions de transfert parfait [II] [I] : S.Bose - Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain - Phys. Rev. Lett. 91,20 (2003) [II] : M.Christandl et al. - Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks - Phys. Rev. Lett. 92, 18 (2004)

24 Amplification de spin Philosophie Effets de bords
Caractère semi-classique Comme nous venons de le voir, la détection ou la mesure de l’état d’un spin unique sont des opérations particulièrement difficiles à réaliser. Quand au transfert d’un spin unique, il représente un phénomène de grand intérêt pour transférer de l’information quantique d’un endroit à un autre. Nous allons voir que le phénomène d’amplification de spin, dont nous allons expliquer dans un premier temps la philosophie, puis souligner dans un second temps l’importance des effets de bords, et le caractère semi-classique, propose de contourner les difficultés des deux premiers problèmes de détection et de mesure, et présente une équivalence formelle avec le troisième problème de transfert de spin.

25 Philosophie de l’amplification de spin
Problème : Détection et mesure de l’ état d’un spin unique = véritable chalenge Solution : Amplifier l’état du spin + Mesurer l’état macroscopique correspondant Exemple pour une chaîne linéaire de N spins Etat GHZ Objet de mesure Amplificateur Méthode : Systèmes à effet de domino quantique Résonance On entend par domino quantique la propriété qu’a un spin situé à la frontière entre deux domaines (de spins up et de spins down) de flipper sous certaines conditions de résonnance LK premiers à présenter un syst phys permettant d’implémenter…. Modèle de Lee-Khitrin [I] Chaîne de spins : temps adimensionné : amplitude du champs irradiant [1] : Lee, Khitrin : Stimulated wave of polarization in a 1D dimensional Ising chain : Phys. Rev. A., 71, (2005)

26 Effets de bords Approche semi-classique
Concernant le transfert de spin : Beaucoup d’études sur les effets géométrie/topologie Chaînes ouvertes/fermées Chaînes traversées ou non par des flux magnétiques Structures étoiles 1D/3D Concernant l’amplification de spin : Pas d’études sur l’importance des effets de bords La plupart du temps : s'évanouissent dans la limite thermodynamique Chaînes de spins : présence/absence d’un simple couplage Chemins classiques : …. et qui correspondant à des propagations d’onde de spins vers la droite ou vers la gauche Comportements macroscopiques très différents Effets de bords importants Approche semi-classique : Justifiée en raison du grand nombre de spins On ne conserve que les chemins classiques qui contribuent de façon privilégiée aux dynamiques observées

27 Modèle physique de Lee-Khitrin Lien transfert/amplification
Nous allons maintenant nous intéresser aux travaux de Lee et Khitrin Puis dans un second temps nous allons caractériser l’équivalence formelle qui existe entre les deux problèmes de transfert de spin et d’amplification de spin.

28 Modèle physique de Lee-Khitrin
Chaîne d’ Ising 1D + Interactions entre plus proches voisins uniquement Irradiée à résonnance par un champs faible transverse monochromatique : Différence d’énergie entre le niveau fondamental et excité d’un spin isolé : Amplitude du champs irradiant : Constante de couplage entre plus proches voisins Hamiltonien séculaire Explication physique de l’action de HLK Base en O(NL) Après plusieurs approximations : Passage dans le référentiel tournant + RWA + Passage en représentation d’interaction + Approximation séculaire La dynamique induite par l’hamiltonien HLK si l’on prépare initialement notre système dans l’état Lambda_1 est la suivante on passe tout d’abord ds l’ état Lambda_2 pour k=2… N_L-2 : L_k est connecté … Enfin L’état L_{NL-1} est atteint qui n’est connecté en retour qu’avec l’état L_{NL-2} On observe donc une dynamique qui se déroule dans l’espace des NL-1 états L_k Dynamique

29 Equivalence transfert /amplification
Hamiltonien Pour avoir des tailles de bases identiques : spins : spins Dynamique Dynamique induite par dans la base des La forme de l’hamiltonien qui permet de transférer un spin down unique d’un spin k à un spin k+1 a la forme suivante - Afin de comparer pour des mêmes tailles de base, on considère pour le problème de transfert de spin une chaîne de NL-1 spin et pour celui d’amplification de spin une chaîne de NL spins. Si l’on considère maintenant la dynamique dans la base des NL-1 état phi_k … et que l’on commence initialement avec l’état dans phi_1 Conclusion : Ce résultat est important car il nous montre qu’il est possible d’utiliser des résultats obtenus dans l’un des domaines pour approfondir la compréhension de l’autre domaine Dynamique induite par dans la base des

30 Systèmes étudiés Bases importantes

31 Nature des systèmes - Etude va se faire en deux temps :
Etude comparative des systèmes de bases en O(N) : HL/HC3 Etude comparative des systèmes de bases en O(N²) : HC1/HC2 A ce stade pas de façon physique simple d’obtenir HC3

32 Nature des systèmes

33 Nature des systèmes

34 Introduction des états et
Etats : spins down consécutifs dont le dernier en position Important d’introduire deux bases d’états qui sont important pour la description de la dynamiques des diff. syst. étudi és Dans le sens des aiguilles d’une montre N(N-1) : Gamma_k,l N-1 : Lambda_k - Chacun des systèmes étudiés possède une base qui est un sous-ensemble des N(N-1) états Gamma_k,l Etats Etats , : Etats miroirs

35 Comparaison des systèmes
/

36 Polarisations totales /individuelles
Polarisations individuelles Polarisations totales moyennes On commence donc par la présentation d’une étude comparative des systèmes HL et HC3 qui évolue dans des bases de tailles linéaires par rapport aux tailles de chaînes Dans cette section tous les résultats ont été obtenues numériquement à partir des propagateurs exacts

37 Relation de dispersion des spectres
Pour une même taille de base Dispersion d’un modèle de liaisons fortes 1D Pour une même taille de chaîne On se pose donc naturellement la question de la raison de ces différences de comportements que l’on observe, alors que finalement (comme nous allons le voir dans la diapo suivante), on ne fait que rajoute un simple couplage dans l’hamiltonien HC3 par rapport à l’hamiltonien HL. On observe donc la dispersion des différents spectres, pour voir si on peut trouver dans la comparaison entre ces derniers une explication aux différences observées. Si on observe pour une même taille de base, suffisemment importante, on Seule différence notable : dégénérescence des v.p. pour

38 Etude détaillée / Hamiltonien Hamiltonien Dynamique Dynamique
Afin d’expliquer les différences de comportements macros. observées on va donc faire une étude quantuplus poussée des deux systèmes HL et HC3 Seule différence entre les deux systèmes réside en la présence d’un couplage supplémentaire pour HC3 qui a l’action suivante Si on commence pour chacun des systèmes dans l’état L1, on observe les dynamiques suivantes HL : parcoure la base des états Lk HC3 : parcoure la base de états Lk et celle de leurs états miroirs On voit donc que c’est la présence du couplage supplémentaire de HC3 qui donne accès à la partie de l’espace de Hilbert engendré par les états miroirs

39 Etude détaillée / Représentation matricielle
(dans la base de la dynamique) Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) On reconnaît l’hamiltonien d’un modèle de liaisons fortes pour une chaîne 1D ouverte On reconnait un modèle de liaisons fortes pour une chaîne 1D fermée Valeurs propres – Vecteurs propres Représentations matricielles comparées pour une même taille de base : 9-1= 2*(5-1) = 8 Pour la chaîne fermée : analogue des fonctions de Bloch Valeurs propres – Vecteurs propres

40 Etude détaillée / Propagateur en terme de fonctions de Bessel
A partir v.p. /V.P. analytiques : expression analytique des propagateurs : Propagateur en terme de fonctions de Bessel Approximation du propagateur : temps faibles Dans la limite N -> infinity, l’approximation devient exacte Régimes de temps faibles : Seuls les premiers termes donnent une contribution non négligeable Correspondent à la propagation de fronts de spins vers la gauche ou la droite

41 Etude détaillée / Approximation semi-classique
de la fonction de Bessel : phase accumulée le long des chemins classiques Au voisinage du point tournant Approximation WKB s’effondre Fonction de Airy Comportement linéaire de la polarisation totale On approxime la fonction de Bessel par une somme de deux fonctions exponentielles dont l'amplitude et la phase varient lentement On retrouve les valeurs observées numériquement pour les vitesses de spin-flip

42 Comparaison des systèmes
/

43 Etude comparative / Hamiltonien Hamiltonien Dynamique Dynamique
Dire que l’ état de départ est toujours celui avec comme seul spin down S1 Réordonne dans l’ordre lexicographique HC2 : Etats disposés sur NC-1 polygones … Dynamique a lieu dans la base des états Gamma_k,l + ETATS miroirs

44 Etude comparative / Représentation matricielle
(dans la base de la dynamique) Représentation matricielle (dans la base de la dynamique) Explication de la structure en escalier à la main - A partir v.p. /V.P. : propagateurs, … Valeurs propres –vecteurs propres : Obtenus par diagonalisation numérique

45 Comparaison polarisations
Polarisations individuelles Polarisations totales moyennes - Polarisations accélérées pour HC1,HC2 - Spectres : différences : Pour HC1, HC2 : Pentes finies en frontière du spectre – Dégénérescence importance autour du centre

46 Comparaison des systèmes
/ /

47 Polarisations et fidélités totales
Polarisations totales moyennes Fidélités totales de polarisation - Fidélité : Efficacité comme amplificateur de spins - Pris NL=NC=8 volontairement car pour HC3 on est obligé de traiter la problème dans la base computationnelle (sa base propre évoluant en 2^(N-2)) HC3 pas adapté à l’amplification de spin S’explique par le fait que Lambda_D est stationnaire pour HL,HC1,HC2 mais pas HC3 pour lequel il donne naissance à une dynamique dans un espace de taille exponentiel (2^{N-2})

48 Relations de dispersion
Dispersion suivant un modèle de liaisons fortes 1D L’étude des spectres nous permet en partie de comprendre les différences observées entre d’une part les système HL/HC3 et d’autre part les systèmes HC1/HC2 Pentes finies en bornes de spectre Fortes dégénérescence au centre du spectre

49 Raisons des différences de comportements macroscopiques
Différences macroscopiques de comportement entre les différents systèmes Polarisations totales moyennes Fidélités totales de polarisation Différences entre / et / Dimension des bases Relation de dispersion des spectres - Cependant différent de modèle de laisons fortes 2D en raison des géométries particulières …. Différences entre et : et Présence ou non de couplages supplémentaires donne accès aux bases des états miroirs

50 Résumé amplification dans des chaînes de spins
Chaînes de spins = systèmes Qui présentent des effets de bords très importants Pour lesquels on peut réaliser une approximation semi-classique Qui proposent une solution au problème détection/mesure spin unique Effets de bords importants (même dans la limite des chaînes infiniment longues)

51 CONCLUSION/PERSPECTIVES
Clonage sans interférence [I] Deux cas semi-classiques : Amplification de spin dans les chaînes de spins [II] Poursuites intéressantes : Peut-on cloner de façon optimale sans interférence pour des cloneurs à M qubits ? Que se passe-t-il si l’on inclut dans l ’étude de l’interférence le cloneur lui-même ? J’ai donc présenté deux cas semi-classiques de l’information quantique que j’ai étudié Peut-on exploiter les résultats obtenus dans l’amplification pour des mesures de précisions ? [I] : B.Roubert, D.Braun – PRA 78, (2008) Role of interference in quantum cloning [II] : B.Roubert, P.Braun, D.Braun - PRA 82, (2010) Large effects of boundaries on spin amplification in spin chains

52 Remerciements