Méthodes Numériques appliquées à la

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1 Méthodes Numériques appliquées à la
physique Bibilographie: - Samir Al-Amer, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Saudi Arabia - François Mauger, Université de Caen, France - Michael T. Heath ( - Mark H. Holmes, Introduction to Numerical Methods in Differential Equations, © 2007, Springer Science+Business Media, LLC - - - Calcul Scientifique, Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et Octave, Alfio Quarteroni, Paola Gervasio and Fausto Saleri

2 Introduction Méthode numérique, algorithme Une méthode numérique est l’algorithme, c’est-à-dire la suite finie et non-ambiguë d’instructions pour obtenir une solution numérique à un problème mathématique. On utilise une méthode numérique lorsque il n’existe pas de solution analytique ou celle-ci existe mais est difficile à obtenir. Une méthode numérique doit être: Pratique: la solution doit être calculée en un temps raisonnable. Précise: La solution doit être une bonne approximation de la solution vraie. Des informations concernant l’erreur commise doivent pouvoir être évaluées.

3 Introduction Erreur de troncature (et), de « schéma »

4 Introduction Erreur d’arrondi (ea), de « représentation »

5 Introduction L’erreur d’arrondi ea génère une perte d’information

6 Introduction Du problème physique à la solution numérique
erreur de modèle Solution numérique erreur de calcul = et + ea Modèle Mathématique erreur d’arrondi erreur de troncature Problème Numérique

7 Introduction lorsque h  0
Erreur absolue, relative, ordre de convergence lorsque h  0

8 ec h Introduction ordre de convergence d’une méthode Ordre 1 Ordre 2
Rq: En fait, l’erreur est inconnue, sinon on pourrait en déduire la solution exacte: Par contre on peut estimer comment l’erreur varie en fonction de h. h

9 Introduction On appelle dérivée de y = f(x) la quantité égale à :
Taylor On appelle dérivée de y = f(x) la quantité égale à : Formule de Taylor : Théorème de Taylor Soient n un entier naturel, f(x) une fonction dérivable n+1 fois dans un voisinage de x=x0 et h un réel, alors il existe  un réel compris entre x0 et x0+h tel que: Rn est un infiniment petit en h

10 Introduction f(x+x) f(x) Taylor: interprétation géométrique
Approximation au 1ier ordre: f(x + x) = f(x) + x.f’(x) En x: pente approximée En x: pente exacte f(x+x) R1 f(x) + x.f’(x) + R1 f(x) f(x) + x.f’(x) f(x) x x x+x

11 Introduction Infiniment petit f(x) est un infiniment petit d’ordre n si il existe un réel non nul  tel que Autrement dit, f(x) = .xn quand x devient petit. L’ordre n caractérise la vitesse avec laquelle la fonction f(x) tend vers zéro lorsque x devient petit. On écrit f(x) = O(xn). Exemples: f(x)=exp(x) n’est pas un infiniment petit puisque exp(x) quand x

12 Approximation de f’(x0)
Introduction Approximations des dérivées  equ. diff., equ. non lin., ... Approximation de f’(x0) Erreur   [x0 , x0 + h] En combinant le théorème de Taylor avec +x et -x , on peut obtenir une approximation de f’(x0) pour laquelle on trouve que l’erreur varie en (x)2 : 2(x)

13 Introduction Différences excentrées
Différences finies Différences excentrées Taylor à l’ordre 1, différence finie à 2 pts DFavant DFarrière fi+1 Effets de bord: f ’(x6) ne peut pas être calculée avec la DFavant car x7 n’est pas défini fi h On pourra écrire:

14 On ne peut pas calculer f ’(x6), ni f ’(x1) avec la DFC
Introduction Différences finies Différences centrées Différence finie à 3 pts On ne peut pas calculer f ’(x6), ni f ’(x1) avec la DFC On pourra écrire:

15 Introduction Différences finies (1) (2) (3) (4) (5) (6)

16 Introduction Erreur générée en utilisant les DF
Exercice: DF Erreur générée en utilisant les DF Calculer la dérivée exacte de f(x)= (1+x)^0.5 en x=zéro . En utilisant un pas x = 0.1, calculer à la main les erreurs commises sur la dérivée en x=0, pour les DF avant (1), arrière (2) et centrée (3). Ecrire des DF a) Retrouver la DFcen (3): f’(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) à partir des DFava (1) et DFarr (2) b) Retrouver la DFcen (6): f’’(n) = [f(n+1)-2f(n)+f(n-1)] / h2 en utilisant le théorème de Taylor jusqu’au deuxième ordre. c) Retrouver les DFava (4) et (5) en utilisant le théorème de Taylor jusqu’au premier ordre. Erreur d’une DFC en fonction du pas Montrer que l’erreur de la Dfcen (3) est E(h)=(h2). Pour cela, développer au 2ième ordre f(x+h) et f(x-h) avec les restes. En déduire l’expression de la DFcen est : f(1)(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) et l’expression de l’erreur E(h) commise sur f(1)(x).

17 Introduction Questions de cours 1/ Quelles sont les 2 principales erreurs générées lors de l’utilisation d’une méthode numérique. Expliquez l’origine de chacune d’elle. 2/ Quand dit-on d’une méthode numérique qu’elle est convergente d’ordre p ? 3/ Donner l’expression de la série de Taylor avec reste pour une fonction f(x). 4/ Qu’est qu’un infiniment petit d’ordre n ? 5/ Donner une approximation par différences finies à 3 points de la dérivée d’une fonction f(x).