Moment d’une force, théorème du moment cinétique

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1 Moment d’une force, théorème du moment cinétique
Un corps est en équilibre et au repos si : la somme des Forces qui lui sont appliquées est nulle : la somme des Moments des forces appliquées est nulle: la vitesse du corps est nulle: Remarques: et rotation et translation et mouvement général Moment de la force appliquée au point P, calculé par rapport à un point O ici le point P n'est pas en équilibre car , si OP n'est pas rigide, le moment de la force n'est nul que si q = 0°.

2 si , ici , mais : le système des deux points n'est pas en équilibre.
P1P2 est une barre rigide reposant sur un "couteau" O. En O s'appliquera alors la Réaction du "couteau" sur la barre. Le moment de cette réaction par rapport à O est nul car : P2 P1 On a: Par conséquent pour ce système, P1.x1 = -P2.x2

3 Théorème du moment cinétique :
Pour un système de deux particules M1 et M2 de masses m1 et m2 et soumises à des forces externes respectivement et interagissant avec la force interne , les moments cinétiques par rapport à un point fixe O, sont : et le moment cinétique total du système par rapport à O des deux points sera : d'où, en dérivant par rapport au temps or : d’où : Le théorème du moment cinétique pour un ensemble de N points matériels s'écrit alors :

4 Conservation du moment cinétique :
pour un système de points isolé ( , ou si la résultante des forces externes est nulle, d'où Lo = Cste), le moment cinétique se conserve. pour un système soumis à une force dont le point d'application passe par un point fixe O tout au long du mouvement (Force centrale), le moment cinétique sera conservé, car le moment de cette force par rapport à O sera toujours nul. Le mouvement des planètes autour du soleil est un exemple de force centrale (la force d'attraction exercée sur une planète passe toujours par le centre du soleil). Exemple : q O M Soit un pendule simple, les moments des forces appliquées sont : Le moment cinétique du point matériel M est : Soit : Si q est petit on a :

5 Exemple : mouvement dans un champ de forces centrales, lois de Képler
Pour une force centrale est toujours colinéaire à Par application du théorème du moment cinétique : Le moment cinétique est constant. 1ère loi de Képler : Le point M est par conséquent toujours dans le plan passant par O et orthogonal au moment cinétique : le mouvement est plan. les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers (Képler1609)

6 Dans le plan du mouvement, on a :
2ème loi de Képler : Dans le plan du mouvement, on a : On en déduit : M(t) M’(t+dt) dq r L’aire balayée par le point M pendant l’intervalle de temps dt est : l’aire balayée par unité de temps est alors : les aires balayées par le rayon vecteur joignant le centre du Soleil au centre d'une planète sont proportionnelles aux temps employés à les décrire (Képler1609) 3ème loi de Képler : nous verrons ultérieurement que : les carrés des périodes de révolution sidérale des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites (Képler 1619)