SUITES GEOMETRIQUES. ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 :

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1 SUITES GEOMETRIQUES

2 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central.

3 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

4 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

5 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

6 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples. Etape 1 : soit un triangle Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés. On colorie le triangle central. Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à létape 1.

7 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI Déterminer le nombre de triangles non coloriés pour chaque génération.

8 U 1 = 1 Génération 1 : Génération 2 :

9 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 :

10 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 :

11 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 U 4 = 27 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 : Génération 5 :

12 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 U 4 = 27 U 5 = 81 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 : Génération 5 :

13 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI Quelle est la relation permettant de calculer U 2 à partir de U 1 ? U 3 à partir de U 2 ? …

14 U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 9 U 4 = 27 × 3 U 5 = 81 × 3 Génération 1 : Génération 2 : Génération 3 : Génération 4 : Génération 5 :

15 ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI Exprimer le nombre de triangles non coloriés U n à la génération n en fonction de U n-1.

16 Exprimer U 2 en fonction de U 1 ; U 3 en fonction de U 1 ; U n en fonction de U 1 …

17 Exprimer U 2 en fonction de U 1 ; U 3 en fonction de U 1 ; U n en fonction de U 1 …

18 A RETENIR Une suite géométrique est une suite de nombres dont chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre constant appelé raison et noté q. Chacun des termes est désigné par U n, n indiquant le rang dans la suite.

19 EXEMPLE Les premiers termes dune suite de nombres sont : 2 ; 8 ; 32 ; 128 ; 512 ;... Montrer que cette suite est géométrique. Déterminer U 1 et la raison q. Calculer U 6. Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 4 donc la suite est géométrique. U 1 = 2 et q = 4 U 6 = U 5 × q = 512 × 4 =2 048 Calculer U 20. U 20 = U 1 q 19 = 2 4 19 = 549 755 813 888

20 APPLICATION

21 1) Combien avez-vous dancêtres à la quatrième génération ? ARBRE GENEALOGIQUE

22 moi GENERATION : 1

23 pèremère moi GENERATION : 1 2

24 pèremère pèremèrepèremère moi GENERATION : 1 3 2

25 pèremèrepèremèrepèremèrepèremère pèremère pèremèrepèremère moi GENERATION : 1 4 3 2 Nous avons huit ancêtres à la quatrième génération.

26 ARBRE GENEALOGIQUE 2) Combien avez-vous dancêtres à la quarantième génération ? Il nest pas concevable de compter le nombre dancêtres de chaque génération. Que proposez-vous comme méthode ? Le nombre dancêtres forme-t-il une suite arithmétique ou géométrique?

27 pèremèrepèremèrepèremèrepèremère pèremère pèremèrepèremère moi 1 8 4 2 Nombre dancêtres :

28 ARBRE GENEALOGIQUE 2) Combien avez-vous dancêtres à la quarantième génération ? Le nombre dancêtres de chaque génération forme une suite géométrique de premier terme U 1 = 1 et de raison q = 2. Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 2 donc la suite est géométrique. U 40 = U 1 q 39 = 1 2 39 = 549 755 813 888 Calculons U 40 :