III: Hydrostatique des fluides

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1 III: Hydrostatique des fluides
III.1 Équations de la statique La statique des fluides concerne les fluides au repos. Dans ce cas, la vitesse est nulle, mais la pression varie au sein du fluide du fait de son poids propre. x y z Statique Dans toute la suite de ce chapitre, on se place dans le cas particulier mais très important de l’hydrostatique: r = cste Les isobares, les isochores et les isothermes sont horizontales en prenant la température comme une fonction de la pression et de la masse volumique T = T( p, r) La pression augmente linéairement avec la profondeur Hydrostatique r = Cte La loi de l’hydrostatique est très simple: P + rgz = cste. Cette constante se retrouve sous des vocables différents suivant les ouvrages. C’est la pression motrice – étoilée ou modifiée. On trouve très souvent pression étoilée, notée p*. Sa valeur dépend des références prises pour la pression et la cote z. rggvcv 31/03/2017

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P h Exercice: Montrer que le niveau h dans le tube vertical est une mesure de la pression relative (/ à Patm) dans l’écoulement. Exercice: On aspire de l’eau avec une paille recourbée. Dans chaque cas, discuter l’évolution de la pression relative le long de la paille et expliquer ce qu’il se passe si on relâche la paille. Exercice: Baromètre à mercure de Torricelli (1643) Schématiquement, ce baromètre est constitué d’un long tube rempli de mercure que l’on renverse dans une cuve de mercure en faisant attention à ce que l’air ne pénètre pas dans le tube. On constate alors que le tube ne peut se vider complètement; la surface libre dans le tube se stabilise à une hauteur h au dessus du niveau de la cuve. -1 Expliquer pourquoi le tube ne se vide pas et dire ce qu’il y a entre le haut de la colonne de mercure et le haut du tube. -2 La pression atmosphérique standard étant de Pa, calculer h. -3 Calculer h si on remplace le mercure par de l’eau, conclusion… h Mercure (Hg) rHg=13600 Kg/m3

3 Calcul d’une composante horizontale Calcul de la composante verticale
III: Hydrostatique des fluides III.3 Poussée sur une surface (ouverte) Patm ds dsi S S1 S2 Si P z Z=0 La résultante des efforts exercés par l’eau sur la surface S est: Calcul d’une composante horizontale de la résultante Ri z Patm Z=0 Calcul de la composante verticale de la résultante Rz ds Patm dsv Poids d’eau entre la surface S et la surface libre

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Poids d’eau contribution sur b,c Application: Cas S1 Cas S Cas S2 a b Poids d’eau contribution sur a,b Poids d’eau Poids d’eau c Exercice: Une vanne demi-cylindrique de centre O (sur la berge du bassin) de rayon R de largeur L (perpendiculairement à la feuille) est dans sa position fermée. L’axe de rotation de la vanne est l’axe horizontal passant par O. La berge du bassin fait un angle de 45° avec l’horizontal. Air, Patm = 0 -1 Calculer la composante sur , Ri, de la résultante des efforts sur la vanne -2 Calculer la composante sur , Rz, Surface libre a=45° Eau Vanne ½ cylindrique H Applications numériques : H=4m , L=2m , R=1m, a=45 degrés R O Berge du bassin

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Exercice: Donner l’action du fluide sur la surface dans les cas suivants: cas 1: Citerne remplie moins que la moitié cas 2: Citerne remplie plus que la moitié cas 3: Caillou dans l’eau cas 4: Ballon de rugby sur l’eau Exercice: Dans chacun des cas ci-dessous, la surface S de la face horizontale inférieure est identique. Donner dans chaque cas l’action de l’eau sur cette face; conclusion…

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III.4 Poussée sur une surface fermée, théorème d’Archimède Le théorème d’Archimède a été mis en évidence à travers les exemples du caillou et du ballon de rugby. Il s’énonce de la façon suivante: « Tout corps plongé dans un liquide reçoit une poussée de bas en haut égale au poids du volume de liquide déplacé » V S Iso-r M ? Notons que r n’est en aucun cas la masse volumique du corps, mais celle du fluide. Si la masse volumique du fluide varie, la masse du volume de liquide déplacé est obtenue en prolongeant les isochores à l’intérieur du corps III.5 Centre de poussée P sur une surface plane (ouverte) P est le barycentre des forces élémentaires p(N)ds P N S

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Patm = 0 z x L q Exercice: -1 Montrer que le centre de poussée sur une vanne plane rectangulaire de longueur L (largeur 1m), affleurante en surface, se situe au tiers inférieur de celle-ci. Ce résultat est indépendant de l’inclinaison de la vanne q. -2 Donner le vecteur résultante. Patm = 0 z L h q Exercice: La même plaque est maintenant immergée d’une profondeur h. -1 expliquer qualitativement comment évolue la position du centre de poussée lorsque h augmente de 0 à l’infini; quelle est sa position limite pour h tendant vers l’infini ? -2 On remarque que le champ de pression sur la vanne est obtenu par la somme d’un champ uniforme de valeur rgh et du champ de l’exercice précédent. -2.1 donner le vecteur résultante et le centre de poussée de chaque contribution. -2.2 donner la position du centre de poussée; vérifier le cas limite h tendant vers l’infini.

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Calcul pratique du centre de poussée sur une surface plane de forme quelconque (pour illustrer, on présente le cas d’une forme triangulaire) z Vue  à la plaque Patm =0, z =0 O O ho hG L S On nomme h0 la position du sommet de la plaque On nomme hG la position du centre de gravité géométrique de la plaque. On nomme hP la position du centre de poussée sur la plaque. On nomme h’ l’abscisse comptée à partir du centre de gravité géométrique. On montre que: hP b h h h’ Exercice: Plaque rectangulaire: -1 Donner hG et I -2 Retrouver l’expression de d trouvée lors de l’exercice précédent. Exercice: Plaque triangulaire: Donner hG , I et d Donner d pour une plaque affleurante

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III.6 Centre de poussée sur une surface fermée Enoncé complet du théorème d’Archimède: Le torseur équivalent des forces de pression sur un corps immergé est donné par la résultante et le moment résultant créés par la gravité inversée sur le volume de fluide placé fictivement à l’intérieur du corps. P => Le centre de poussée P est le centre de masse (gravité) du fluide placé fictivement à l’intérieur du corps et tous les points P’ alignés. O z Froid Chaud Exercice: On crée une gradient de température vertical constant dans un réservoir d’huile. Ce réservoir contient un barreau homogène libre en rotation autour de son centre géométrique. On néglige la compressibilité de l’huile devant sa dilatabilité, supposée constante dans la gamme des températures de l’expérience. -1 Donner, sans rien calculer, l’allure des variations de T (température), r et p . -2 Positionner les forces s’appliquant sur le barreau, dans quel sens a t-il tendance à tourner dans la position du schéma ? -4 Quelle(s) est (sont) sa (ses) position(s) d’équilibre. Discuter la stabilité de cette (ces) position(s).