Matrices de Leontief 2°) Modèle ouvert de Leontief :

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1 Matrices de Leontief 2°) Modèle ouvert de Leontief :
Il y a une production B extérieure au pays qui s’ajoute à la production intérieure, qui ne suffit pas pour équilibrer l’économie.

2 Matrices de Leontief 2°) Modèle ouvert de Leontief :
Il y a une production B extérieure au pays qui s’ajoute à la production intérieure, qui ne suffit pas pour équilibrer l’économie. consomme … unités de l’agriculture … unités de services … unités d’énergie besoins en supplément 1 unité de l’agriculture 0,2 0,3 0,1 5,44 unités 1 unité de services 0,4 13,19 unités 1 unité d’énergie 0,05 2,63 unités

3 On obtient pour satisfaire les besoins :
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z consomme … unités de l’agriculture … unités de services … unités d’énergie besoins en supplément 1 unité de l’agriculture 0,2 0,3 0,1 5,44 unités 1 unité de services 0,4 13,19 unités 1 unité d’énergie 0,05 2,63 unités

4 On obtient : 0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z

5 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x
0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1

6 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 M × P - P = - B
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3× M × P - P = - B

7 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 M × P - P = - B
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3× M × P - P = - B M × P - I × P = - B ( M - I ) × P = - B

8 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 M × P - P = - B
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3× M × P - P = - B M × P - I × P = - B ( M - I ) × P = - B si ( M - I )-1 existe ( M - I )-1 × [ ( M - I ) × P ] = ( M - I )-1 × (- B)

9 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 M × P - P = - B
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3× M × P - P = - B M × P - I × P = - B ( M - I ) × P = - B si ( M - I )-1 existe ( M - I )-1 × [ ( M - I ) × P ] = ( M - I )-1 × (- B) [ ( M - I )-1 × ( M - I ) ] × P = ( M - I )-1 × (- B)

10 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 M × P - P = - B
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3× M × P - P = - B M × P - I × P = - B ( M - I ) × P = - B si ( M - I )-1 existe ( M - I )-1 × [ ( M - I ) × P ] = ( M - I )-1 × (- B) [ ( M - I )-1 × ( M - I ) ] × P = ( M - I )-1 × (- B) I × P = ( M - I )-1 × (- B) P = ( M - I )-1 × (- B)

11 On obtient : M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3×1 M × P - P = - B
0,2x + 0,3y + O,1z + 5,44 = x 0,4x + 0,2y + O,1z + 13,19 = y 0,05x + 0,05y + O,1z + 2,63 = z qui correspond à 0, , O, x , x 0, , O,1 × y ,19 = y 0, , O, z , z M3×3 × P3×1 + B3×1 = P3× M × P - P = - B M × P - I × P = - B ( M - I ) × P = - B si ( M - I )-1 existe ( M - I )-1 × [ ( M - I ) × P ] = ( M - I )-1 × (- B) [ ( M - I )-1 × ( M - I ) ] × P = ( M - I )-1 × (- B) I × P = ( M - I )-1 × (- B) P = ( M - I )-1 × (- B) ou P = ( I – M )-1 × B La matrice I-M est appelée « Matrice de Leontief ».

12 On obtient à la calculatrice :
17,1 P = ( I – M )-1 × B ≈ 25,7 5,3