Chapitre 2: Les équations et les inéquations polynômes

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1 Chapitre 2: Les équations et les inéquations polynômes
MHF4U

2 Les parties d’une division
43 / 6 = 7 + 1/6 Identifier le: Quotient Diviseur Dividende Reste

3 2.1: Le théorème du reste Divisions avec chiffres: Ensemble
/ 12 / 12 Individuellement / 15 / 15

4 Division d’un polynôme par un binôme
Division de polynôme par un binôme (sans reste) (6x x + 7) / (2x + 1) Division de polynôme par un binôme (avec reste) (-3x2 + 2x3 + 8x – 12) / (x – 1)

5 Exemple #3: Application de la division longue (p.86)
Le volume V (en centimètres cubes) d’une boîte rectangulaire est défini par l’équation V(x) = x3 + 7x2 + 14x + 8. Détermine les expressions qui représentent les dimensions possibles de la boîte si la hauteur h (en centimètres) est définie par x + 2.

6 Votre travail Terminer le travail distribué hier.

7 Énoncé correspondant *
L’énoncé correspondant, qu’on peut utiliser pour vérifier une division, est: P(x) = (x - b) ∙ Q(x) + R P(x) = polynôme Q(x) = quotient R = reste

8 Théorème du reste * Lorsqu’on divise une fonction polynôme P(x) par x – b, le reste de la division est P(b) et lorsqu’on la divise par ax – b, le reste de la division est P(b/a), où a et b sont des nombres entiers et a ≠ 0.

9 Exemple #4: Appliquer et vérifier le théorème du reste (p.89)
Sers-toi du théorème du reste pour déterminer le reste lorsqu’on divise P(x) = 2x3 + x2 – 3x – 6 par x + 1. Vérifie ta réponse à l’aide de la division par méthode extensive. À l’aide du théorème du reste, détermine le reste lorsqu’on divise P(x) = 2x3 + x2 – 3x – 6 par 2x – 3.

10 Exemple #5: Résoudre une équation à coefficient inconnu
Détermine la valeur de k de telle sorte que lorsqu’on divise 3x4 + kx3 – 7x – 10 par x – 2, le reste égale 8.

11 Votre travail P.91 #5, 7, 8, 10, 14

12 2.2: Le théorème des facteurs

13 Le théorème des facteurs *
X – b est un facteur d’un polynôme P(x) si et seulement si P(b) = 0. De la même manière, ax – b est un facteur de P(x) si et seulement si P(b/a) = 0, où a et b sont des entiers et a ≠ 0.

14 Exemple #1: Appliquer le théorème des facteurs (p.95)
Parmi les binômes suivants, lesquels sont des facteurs du polynôme P(x) = 2x3 + 3x2 - 3x – 2? Sers- toi de ta réponse pour présenter P(x) sous forme factorisée. X – 2 X + 2 X + 1 X – 1 2x + 1

15 Comment décider quels facteurs essayer?
Si P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6…

16 Le théorème du zéro entier *
* Si x – b est un facteur d’une fonction polynôme ayant un coefficient dominant 1 et que le reste des coefficients sont des nombres entiers, alors b est un facteur du terme constant.

17 Exemple #2: Diviser pour factoriser un polynôme de 2 manières (p.97)
Factorise entièrement x3 + 2x2 – 5x – 6.

18 Exemple #3: Combiner le théorème des facteurs et la factorisation par regroupement (p.99)
Factorise l’expression x4 + 3x3 – 7x2 – 27x – 18.

19 Votre travail P.102 #4, 5

20 2.3: Les équations polynômes

21 Quelle est la différence entre A et B?
F(x) = x3 – x2 – 2x Y = 3x3 + x2 – 12x – 4 x3 – x2 – 2x = 4 3x3 + x2 – 12x – 4 = 0 Dans quelle catégorie mettrais-tu les éléments suivants? 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 9 H(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6

22 Quelle est la différence entre A et B?
Fonction Équation F(x) = x3 – x2 – 2x Y = 3x3 + x2 – 12x – 4 x3 – x2 – 2x = 4 3x3 + x2 – 12x – 4 = 0 La réponse peut être n’importe quel chiffre. Dans quelle catégorie mettrais-tu les éléments suivants? 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 9 H(x) = 2x3 + 3x2 – 11x – 6

23 Que remarques-tu? * Abscisses à l’origine Zéros
Racines de l’équation f(x) = 0 f(x) = x4 – 13x2 + 36 F(x) = (x-3)(x-2)(x+3)(x+2) X = 3, 2, -3, -2 0 = x4 – 13x2 + 36 0 = (x-3)(x-2)(x+3)(x+2) Un GRAPHIQUE a une abscisses à l’origine. Une FONCTION a un zéro. Une ÉQUATION a une racine.

24 Exemple #1 (p.105) Trouve les racines des équations suivantes:
X3 – x2 – 2x = 0 3x3 + x2 – 12x – 4 = 0

25 Exemple #2: Appliquer le théorème des facteurs pour résoudre une équation polynôme (p.105)
Résous l’équation 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 0. Que représentent les valeurs de x par rapport à la fonction polynôme correspondante?

26 Quels sont les racines de cette équation?
(x - 3)(x2 + 1) = 0 Quels seraient le(s) abscisse(s) à l’origine?

27 Quels sont les racines de cette équation?
(x - 3)(x2 + 1) = 0 X=3 ou x=± −1 Puisque la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel, la seule racine réelle est x = 3. Une racine peut être complexe, mais une abscisse à l’origine ne peut pas.

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29 Ex. #3: Résoudre un problème par la détermination des racines
Pour sculpter les ailes d’un dragon, une sculpteure se sert d’un bloc de glace dont le volume V (en centimètres cubes) peut être modélisé par la fonction V(x) = 9x3 + 60x x, où x est l’épaisseur du bloc (en centimètres). Quelle est l’épaisseur maximale des ailes si elles sont sculptées dans un bloc de glace dont le volume est de cm3?

30 Votre travail P.110 #1, 2, 10, 11, 14

31 Vrai ou faux? Si la représentation graphique d’une fonction quartique admet deux abscisses à l’origine, alors l’équation quartique correspondante admet quatre racines réelles.

32 Vrai ou faux? Toutes les racines d’une équation polynôme correspondent aux abscisses à l’origine de la représentation graphique de la fonction polynôme correspondante.

33 Vrai ou faux? Une équation polynôme de degré trois doit admettre au moins 1 racine réelle.

34 Vrai ou faux? Toutes les équations polynômes peuvent être résolues algébriquement.

35 Vrai ou faux? Toutes les équations polynômes peuvent être résolues graphiquement.

36 Réponses Question Réponse 1 Faux. 2 3 Vrai. 4
Vrai (équation quadratique). 5

37 2.4: Les familles de fonctions polynômes

38 Activité de départ (5 mins)
Trouvez 3 fonctions qui ont les zéros suivants: -1, 3 et 5.

39 Famille de fonctions polynômes
Déf: Groupe de fonctions qui ont des caractéristiques communes, ex. les mêmes zéros. Exemple: Y = (x – 1)(x + 2) Y = 2(x – 1)(x + 2) Y = ½(x – 1)(x + 2) Ne pas changer les fractions en décimales.

40 Exemple #1 (p.115) Les zéros d’une famille de fonctions quadratiques sont 2 et -3. Détermine une équation qui représente cette famille de fonctions. Écris les équations de deux fonctions quelconques qui appartiennent à cette famille. Détermine l’équation de la fonction de cette famille passant par le point (1, 4).

41 Exemple #2 (à vous, 5 mins) Les zéros d’une famille de fonctions sont -2, 1, et -3. Détermine une équation qui représente cette famille de fonctions. Écris les équations de 2 fonctions quelconques qui appartiennent à cette famille. Détermine l’équation qui représente la fonction de cette famille passant par l’ordonnée à l’origine -15.

42 Exemple #4 (p.117) Détermine une équation qui définit une fonction quartique à partir d’un graphique. (voir graphique p.117)

43 Votre tâche P.119 #1 à 6, 14 , 18 a-b-c

44 2.5: La résolution d’inéquations à l’aide d’outils technologiques

45 Activité de départ (10 mins)
P.123 #1 et 4 SVP écrire la notation avec ≤, >, etc. (au lieu des parenthèses).

46 Résoudre les inéquations sur la feuille (5 mins)

47 Exemple #1(p.126) Résous l’inéquation polynôme suivante à l’aide d’une calculatrice graphique. Arrondis tes réponses au dixième près. 2x3 + x2 – 6x ≥ 0 Écrire la fonction. 2) Graph 3) Calc (2nd Trace) 4) Utiliser les flèches pour un point à sa gauche. Enter. 5) Utiliser les flèches pour un point à sa droite. Enter. 6) Guess = mettre ton curseur le plus près possible.

48 Votre tâche P.129 #1, 3, 4, 5, 6, 10, 11

49 2.6: La résolution algébrique d’inéquations

50 Exemple (p.132) Résous chaque inéquation ci-dessous. Montre la solution sur une droite numérique. X – 8 ≥ (moi) -4 – 2x < (vous) Quand on multiplie ou divise par un chiffre négatif, l’opérateur est inversé.

51 Exemple #2 (p.133) Résous chaque inéquation:
(x + 3)(2x – 3) > (moi) -2(x + 4)(x – 2)(x + 1) ≤ (vous)

52 Exemple supplémentaire avec facteur constant
Résous l’inéquation ci-dessous: -2(x + 3/2)(x – 4) ≤ 0

53 Votre tâche P.138 #3-4 (20 mins)

54 p.139 #6a) Résous l’inéquation suivante: X3 + 9x x + 24 < 0

55 Votre tâche P.139 #8-9