Exercice 3 : on utilisera les vecteurs et on fera des figures.

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1 Exercice 3 : on utilisera les vecteurs et on fera des figures.
Soient les points A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) dans un repère orthonormé. G est le milieu de [DC]. 1°) Démontrez que ABCD est un trapèze, mais pas un parallélogramme. Ses diagonales sont-elles de mêmes longueurs ? Se coupent-elles en leurs milieux ? 2°) Déterminez l’équation de la droite (DC), puis celle de la médiatrice de [DC]. D est le milieu de [AE]. Déterminez E. Démontrez que C est le milieu de [EB]. Démontrez que (GE) passe par le milieu H de [AB]. 3°) Déterminez les équations de (CF), (AB) et (DF).

2 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) 1°) Démontrez que ABCD est un trapèze, mais pas un parallélogramme. AB = ( 5 – 1 ; 0 – 0 ) = ( 4 ; 0 ) DC = ( 4 – 2 ; 3 – 3 ) = ( 2 ; 0 ) D C AB ≠ DC donc ABCD n’est pas un parallélogramme. AB = 2 DC donc AB et DC sont colinéaires, ( on aurait pu aussi faire x’ y – x y’ = 0 ) A B donc (AB) et (CD) sont parallèles, donc ABCD est un trapèze. Ses diagonales sont-elles de mêmes longueurs ? AC = ( 4 – 1 ; 3 – 0 ) = ( 3 ; 3 ) Le repère est orthonormé, donc AC = √( x² + y² ) = √( 3² + 3² ) = √18 = 3√2 DB = ( 5 – 2 ; 0 – 3 ) = ( 3 ; - 3 ) donc DB = √( 3² + (-3)² ) = √18 = 3√2 donc les diagonales ont même longueur.

3 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) Se coupent-elles en leurs milieux ?
Soient I et J les milieux respectifs de [AC] et [DB]. donc I = ( (xA + xC)/2 ; (yA + yC)/2 ) = ( 5/2 ; 3/2 ) D C et J = ( (xD + xB)/2 ; (yD + yB)/2 ) = ( 7/2 ; 3/2 ) I J I et J n’ont pas les mêmes coordonnées, donc ne sont pas confondus, A B donc ne peuvent être l’intersection des diagonales, donc elles ne se coupent pas en leurs milieux.

4 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) 2°) Déterminez l’équation de la droite (DC), puis celle de la médiatrice de [DC]. Soit M( x ; y ) un point quelconque de (DC), donc représentatif de tous les points de (DC) D G C DM et DC colinéaires, donc x’ y – x y’ = 0 DM = ( x – 2 ; y – 3 ) et DC = ( 2 ; 0 ) donne – 2 ( y – 3 ) – 0 ( x – 2 ) = 0 donc y = A B La médiatrice passe par le milieu G du segment, donc G = ( (xD + xC)/2 ; (yD + yC)/2 ) = ( 3 ; 3 ) DC = ( 2 ; 0 ) = 2 i + 0 j = 2 i donc un vecteur perpendiculaire à DC est un vecteur du type a j, par exemple j Même méthode : M( x ; y ) donc GM ( x – 3 ; y – 3 ) et j ( 0 ; 1 ) sont colinéaires. x’ y – x y’ = 0 donne 0 ( y – 3 ) – 1 ( x – 3 ) = 0 donc la médiatrice a pour équation x = 3.

5 D est le milieu de [AE]. Déterminez E.
2°) A( 1 ; 0 ) et D( 2 ; 3 ) D est le milieu de [AE]. Déterminez E. A D E

6 D est le milieu de [AE]. Déterminez E.
2°) A( 1 ; 0 ) et D( 2 ; 3 ) D est le milieu de [AE]. Déterminez E. A D E AE = 2 AD

7 D est le milieu de [AE]. Déterminez E.
2°) A( 1 ; 0 ) et D( 2 ; 3 ) D est le milieu de [AE]. Déterminez E. A D E AE = 2 AD ( x – 1 ; y – 0 ) = 2 ( 2 – 1 ; 3 – 0 ) ( x – 1 ; y ) = ( 2 ; 6 ) x – 1 = 2 et y = 6 x = 3 et y = Réponse E( 3 ; 6 )

8 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) 2°) D est le milieu de [AE]. Déterminez E. Soit E( x ; y ) AE = 2 AD donc ( x – 1 ; y ) = 2 ( 1 ; 3 ) D G C ( x – 1 ; y ) = ( 2 ; 6 ) donc x – 1 = 2 et y = 6 donc x = 3 et y = 6 E( 3 ; 6 ) Démontrez que C est le milieu de [EB] A H B ( (xE + xB)/2 ; (yE + yB)/2 ) = ( 4 ; 3 ) = C donc C est le milieu de [EB]. Démontrez que (GE) passe par le milieu H de [AB].

9 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) 2°) D est le milieu de [AE]. Déterminez E. Soit E( x ; y ) AE = 2 AD donc ( x – 1 ; y ) = 2 ( 1 ; 3 ) D G C ( x – 1 ; y ) = ( 2 ; 6 ) donc x – 1 = 2 et y = 6 donc x = 3 et y = 6 E( 3 ; 6 ) Démontrez que C est le milieu de [EB] A H B ( (xE + xB)/2 ; (yE + yB)/2 = ( 4 ; 3 ) = C donc C est le milieu de [EB]. Démontrez que (GE) passe par le milieu H de [AB]. H milieu de [AB] donc H = ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ) = ( 3 ; 0 ) H, G, et E seraient alors alignés, donc GE et EH seraient colinéaires. GE = ( 0 ; 3 ) et EH = ( 0 ; - 6 ) x’ y – x y’ = 0×(-6) – 0×(3) = 0 donc les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés, donc (GE) passe par H.

10 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) 3°) Déterminez les équations de (CF), (AB) et (DF). (CF) : Soit M( x ; y ) un point quelconque de (CF), donc représentatif de tous les points de (CF) D C CM et CF colinéaires, donc x’ y – x y’ = 0 CM = ( x – 4 ; y – 3 ) et CF = ( 0 ; - 2 ) F donne – 2 ( x – 4 ) – 0 ( y – 3 ) = 0 donc – 2 ( x – 4 ) – 0 = 0 donc – 2 ( x – 4 ) = 0 donc x – 4 = 0 / (-2) = 0 donc x – 4 = 0 donc x = 0 + 4 donc x = 4

11 A( 1 ; 0 ), B( 5 ; 0 ), C( 4 ; 3 ), D( 2 ; 3 ) et F( 4 ; 1 ) 3°) Déterminez les équations de (CF), (AB) et (DF). (CF) : Soit M( x ; y ) un point quelconque de (CF), donc représentatif de tous les points de (CF) D C CM et CF colinéaires, donc x’ y – x y’ = 0 CM = ( x – 4 ; y – 3 ) et CF = ( 0 ; - 2 ) F donne – 2 ( x – 4 ) – 0 ( y – 3 ) = 0 donc x = A B (AB) : même méthode AB = ( 4 ; 0 ) et AM = ( x – 1 ; y ) x’ y – x y’ = 0 donne 0 ( x – 4 ) – 4 y = 0 donc y = 0 (DF) : même méthode DF = ( 2 ; - 2 ) et DM = ( x – 2 ; y - 3 ) x’ y – x y’ = 0 donne - 2 ( x – 2 ) – 2 ( y – 3 ) = 0 puis – 2y + 6 – 2x + 4 = 0 donc y = - x + 5