Les Systèmes Linéaires Continus Invariants

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1 Les Systèmes Linéaires Continus Invariants
Automatique : Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Présentation des systèmes automatisés Introduction Différents systèmes automatisés Les systèmes asservis Modélisation des SLCI (domaine de Laplace) Analyse temporelle de SLCI particuliers Identification temporelle à un modèle Analyse harmonique

2 I. 1. Introduction Définition:
Un système automatisé est un système pour lequel tout ou une partie des opérations sont effectuées sans l'intervention de l'homme. Centre d’usinage Capsuleuse INDEXA Ligne 14

3 I. 2. Les différents systèmes automatisés
♦ Systèmes à évènements discrets dont l’état change seulement à certains instants, et dont les variables sont discrètes, c’est-à-dire ne pouvant prendre qu’un nombre fini de valeurs possibles. Système LOGIQUE : dont les variables sont toutes logiques, c’est-à-dire ne pouvant prendre qu’une valeur parmi deux possibles (ex: 0 ou 1). Système NUMERIQUE: dont les variables sont numériques, c’est-à-dire ne pouvant prendre qu’une valeur parmi un nombre fini possible (ex: nombre entier entre 0 et 1023 pour un codage 10 bits).

4 I. 2. Les différents systèmes automatisés
♦ Systèmes à évènements discrets Système COMBINATOIRE: sans mémoire. Les grandeurs de sortie s’expriment uniquement comme une combinaison des grandeurs d’entrée. Exemple : Bouton bascule On/Off Système SEQUENTIEL: mémorisent l’état précédent. Les grandeurs de sortie s’expriment comme une combinaison des grandeurs d’entrée ET de l’état précédent des grandeurs d’entrée et de sortie. Exemple : Bouton pression On/Off

5 I. 2. Les différents systèmes automatisés
♦ Systèmes linéaires, continus et invariants Les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent de manière continue en fonction du temps

6 Les Systèmes Linéaires Continus Invariants
Automatique : Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Présentation des systèmes automatisés Les systèmes asservis Structure Limites Critères Schématisation par schémas-blocs Modélisation des SLCI (domaine de Laplace) Analyse temporelle de SLCI particuliers Identification temporelle à un modèle Analyse harmonique

7 II. 1. Structure Problématique:
Un système automatique bien conçu peut parfaitement fonctionner tant qu'il n'est pas perturbé, mais présenter un comportement inadapté lorsqu'une perturbation intervient. La sortie obtenue n'est alors plus la valeur attendue initialement. Exemple : chauffage d’une pièce Il est donc nécessaire de vérifier la valeur de la température de la pièce pour adapter le débit d'eau chaude envoyé dans les radiateurs. C'est ce que l'on appelle un asservissement (ou régulation).

8 II. 1. Structure Définition:
Définition : Un système asservi est un système pour lequel on asservit la valeur de la sortie à la valeur de la consigne. C'est un système automatisé bouclé. On va donc comparer les valeurs souhaités (entrées) et les valeurs obtenues (sorties) Chaîne d’énergie Chaîne d’info Boucle de retour Exemple : chauffage automatisé d’une pièce

9 Régulateur niveau piscine
II Structure Types de systèmes asservis: Systèmes de régulation Pacemaker Clim automatique Régulateur niveau piscine Consigne constante

10 Missile à tête chercheuse
II Structure Types de systèmes asservis: Systèmes suiveurs Missile à tête chercheuse Suiveur solaire Consigne variable

11 II. 2. Limites d’étude C’est quoi ?
Invariant : Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, …) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas"). t e1(t-τ) e1(t) s1(t) s1(t-τ) si à une entrée e1(t) correspond une sortie s1(t), alors à une entrée e1(t-τ) correspondra la sortie s1(t-τ)

12 II. 2. Limites d’étude C’est quoi ?
Invariant : Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, …) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas"). Segway Maxpid Clim automatique Quelques exemples de SLCI

13 II. 2. Limites d’étude C’est quoi ?
Continu : entrées et sorties sont des fonctions continues du temps Analogique Numérique

14 Approximation linéaire
II Limites d’étude C’est quoi ? Linéaire : Répond aux principes de proportionnalité superposition sortie entrée Zone d’approximation Approximation linéaire Cette linéarisation ne sera pertinente que sur un intervalle précis des entrées, autour du point de fonctionnement. Au delà, un nouveau modèle devra être appliqué.

15 II. 3. Critères de performance
Distinction des régimes Régime transitoire: régime d'évolution d'un système qui n'a pas encore atteint un état stable. Temps courts Régime permanent: régime se maintenant au cours du temps. Temps Longs

16 II. 3. Critères de performance
Distinction des régimes Transitoire Permanent

17 II. 3. Critères de performance
Régime permanent Précision : écart entre les valeurs souhaitée (consigne) et obtenue (sortie) ε(t)=s(t)-e(t) Attention : L’écart éventuel s’exprimera toujours dans la même unité que la grandeur de sortie. Il faudra donc toujours faire attention à comparer des valeurs de même dimension.

18 II. 3. Critères de performance
Régime transitoire Rapidité : caractérisée par le temps mis pour arriver en régime permanent

19 II. 3. Critères de performance
Régime permanent Stabilité : stable si la sortie est bornée, pour une entrée bornée Stable Instable

20 II. 3. Critères de performance
Régime transitoire Amortissement : caractérisé par la diminution de l’amplitude des oscillations

21 II. 4. Schématisation par schéma-blocs
Trois éléments de base: Bloc Comparateur (sommateur) Point de prélèvement

22 II. 4. Schématisation par schéma-blocs
Exemple : régulateur (limiteur) de vitesse

23 II. 4. Schématisation par schéma-blocs
Exemple : régulateur (limiteur) de vitesse

24 II. 4. Schématisation par schéma-blocs
Schéma général d’un système asservi Chaîne direct (d’action) Boucle de retour

25 II. 4. Schématisation par schéma-blocs
La boucle de retour permet de mesurer la sortie et de la comparer à l'entrée. La commande qui est passé au système est donc l'écart entre la consigne donnée et l'état réel du système. Ce type de systèmes permet de compenser les imprécisions des performances de la chaîne directe et/ou l'influence des perturbations. Attention: Le comparateur doit toujours comparer des valeurs comparables... c'est à dire de même unité (Volts généralement), et représentant le même type de grandeur (vitesse, température, dimension...).

26 II. 4. Schématisation par schéma-blocs
Exercice : Vérin électrique asservi en position

27 Les Systèmes Linéaires Continus Invariants
Automatique : Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Présentation des systèmes automatisés Les systèmes asservis Modélisation des SLCI (domaine de Laplace) Démarche de modélisation Modélisation par équations différentielles Transformées de Laplace et fonctions de transfert Manipulation des schémas-blocs et des fonctions de transfert Analyse temporelle de SLCI particuliers Identification temporelle à un modèle Analyse harmonique

28 III. 1. Modèles de connaissance/comportement
Définition: Modélisation : dans le cas qui nous intéresse, modéliser veut dire trouver l'équation mathématique reliant la grandeur d'entrée du système à la grandeur de sortie. Remarque : toute modélisation comporte des erreurs. L'objectif d'un modèle, est donc de représenter au mieux un phénomène physique, tout en estimant les erreurs commises. C'est ce que l'on nomme la validation/vérification de modèle. Exemple simple : l’accélération de pesanteur «  g » devrait dépendre de la distance au centre de la terre. Cependant, dans les applications courante, cette variation est très faible, donc la valeur 9,81 m/s² est acceptable.

29 III. 1. Modèles de connaissance/comportement
Modèle de connaissance : Il s'établit directement à partir de l'analyse structurelle (interne) du système, en mettant en œuvre les lois fondamentales de la physique au niveau de chacun de ses composants. Les hypothèses choisies pour écrire ces lois sont alors primordiales, et des hypothèses trop simplificatrices (sans frottement, système linéaire sans seuil ni retard ni saturation…) peuvent engendrer des écarts importants entre modèle de connaissance et comportement expérimental effectif.

30 III. 1. Modèles de connaissance/comportement
Exemple de Modèle de connaissance d’une découpe laser : Capteur tachymétrique Moteur Réducteur Poulies/C. + – Correcteur VC V Kcor+Ki/p Km/(1+τ.p) Kr KPC 1 Modèles de connaissance de chaque composant (dans le domaine de Laplace) axe « X » VC V Modèles de connaissance global (=> loi entrée/sortie)

31 III. 1. Modèles de connaissance/comportement
Modèle de comportement : Il s'établit sur la base de l'étude des signaux de sorties obtenus en fonction des signaux d'entrée appliqués au système à modéliser. Celui-ci est vu comme une boite noire dont on ne connaît que les flux (signaux) entrant et sortant. Démarche expérimentale

32 III. 1. Modèles de connaissance/comportement
Modèle de comportement : Exemple de test sur la position angulaire de l’axe X de la découpe laser : V (en m/s) 0,1 t (en s) 0,02 0,06 Consigne en échelon u(t)=1 t (en s) VC (en m/s) 0,1 Découpe laser XC X On en déduit la loi entrée/sortie mathématique associée (la fonction de transfert du système, dans le domaine de Laplace) :

33 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Modèle général Les SLCI étudiés seront représentables la plupart du temps par des équations différentielles à coefficients constants liant la grandeur d'entrée e(t) à la grandeur de sortie s(t). Ordre du système

34 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du premier ordre constante de temps du système (s) Gain du système [s]/[e]

35 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du premier ordre Exemple : circuit RL (moteur électrique)

36 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du premier ordre Identification avec Exemple : circuit RL (moteur électrique)

37 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du deuxième ordre Pulsation propre Non amortie (rad/s) Coefficient d’ amortissement (rad/s) Gain du système [s]/[e]

38 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du deuxième ordre Amortisseur Ressort Exemple : Suspension

39 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du deuxième ordre Exemple : Suspension

40 III. 2. Modélisation par équations différentielles
Systèmes du deuxième ordre Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à la masse donne l'équation différentielle : Identification avec Exemple : Suspension

41 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Objectif : Supprimer les équations différentielles dans les calculs (simplifier les équations de modélisation). Démarche:

42 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Démarche (exemple d’un moteur CC) : Si le système est soumis à une consigne u(t) = 8V U(p) = 8/p Stabilité, Temps de réponse, Précision…

43 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Transformée de Laplace : avec p une variable complexe, dont l’unité est en s-1 : p = a + j.b avec j² = -1 F(p) = L(f(t)) : transformée de Laplace de la fonction f. f(t) = L -1(F(p)) : transformée inverse de la fonction F.

44 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Propriétés importantes de la transformée de Laplace : Propriétés f(t) F(p) = L(f(t)) linéarité dérivation intégration retard

45 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Théorème de la valeur initiale : => Pente à l’origine : Théorème de la valeur finale : => Pente finale :

46 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Fonction de transfert (FT) d’un système : La FT d’un système est la traduction dans le domaine de Laplace de l’équation différentielle liant l’entrée et la sortie du système. Transformation dans Laplace Fonction de transfert

47 Équations différentielles entre e(t) et s(t)
III Transformées de Laplace et FT Fonction de transfert (FT) d’un système : Équations différentielles entre e(t) et s(t) e(t) s(t) Domaine temporel Domaine de Laplace L L-1 Fonction de transfert : L SYSTEME S(p) = H(p).E(p) E(p) ε(p) D(p) + - R(p) H(p) S(p) = H(p).E(p) E(p)

48 III. 3. Transformées de Laplace et FT
Forme canonique d’une Fonction de transfert : n : ordre du système = α + n’ : degré du dénominateur ;  : classe du système ; K : gain statique du système.

49 III. 3. Transformées de Laplace de fonctions usuelles
Échelon unitaire, ou fonction d’Heaviside : Échelon unitaire défini par : u(t) = 1 pour t ≥ 0 ; u(t) = 0 sinon. u(t) 1 t Tous les phénomènes physiques que l’on étudiera commenceront à t=0, et seront nuls avant (grâce éventuellement à un changement d’origine). Toutes les fonctions seront donc multipliées par u(t)

50 III. 3. Transformées de Laplace de fonctions usuelles
Échelon (ou « constante ») : e(t)=E0.u(t) E0 t

51 III. 3. Transformées de Laplace de fonctions usuelles
Impulsion (de Dirac) : Impulsion de Dirac définie par : δ(0) = + ; δ(t) = pour t  0 ; (t) t L’impulsion de Dirac est la dérivée de l’échelon

52 III. 3. Transformées de Laplace de fonctions usuelles
Rampe : Droite de pente A A.t.u(t) t La rampe est la primitive de l’échelon

53 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Décomposition en éléments simples : Exemple : pôles réels pôles complexes

54 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Décomposition en éléments simples : Exemple : Pour A : multiplier l’équation par p puis faire p = 0 .

55 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Décomposition en éléments simples : Exemple : Pour C : Multiplier par (p+1)2 puis p = -1 .

56 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Décomposition en éléments simples : Exemple : Pour D et E : Multiplier par p2+2p+2 puis p = une des racines complexes et identification partie réelle et imaginaire. Racine de p2+2p+2 : Δ=22-4*2 = -4 => Une racine:

57 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Décomposition en éléments simples : Exemple : Pour B : Multiplier par p puis faire p→+∞ . p→+∞ :

58 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Décomposition en éléments simples : Exemple : On a donc déterminé A, B, C, D et E. Cherchons maintenant les transformées inverses de chaque élément simple !

59 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Transformées inverses de chaque élément simple : Exemple : L-1 L-1 L-1

60 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Transformées inverses de chaque élément simple : Exemple : L-1 L-1

61 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Transformées inverses de chaque élément simple : Exemple : Au final : L-1 avec A=5/2, B=-4, C=-3, D=3/2, E=2

62 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Exercice du cours : Système de fonction de transfert : axeX Système du 1er ordre avec un correcteur avance-retard de phase mal réglé (ex: moteur corrigé commandé en vitesse) Soumis à une entrée : Échelon de valeur 6 (ex: consigne de 6V sur le moteur) L-1 Aura une sortie : Exemple : vitesse de déplacement de l’axe X, au cours du temps

63 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Exercice du cours - corrigé : Sortie dans Laplace : Factorisation et décomposition en éléments simples : Pour A : multiplier l’équation par p puis faire p = 0 :

64 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Exercice du cours - corrigé : Sortie dans Laplace : Pour C : multiplier l’équation par (p+3)2 puis faire p = -3 :

65 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Exercice du cours - corrigé : Sortie dans Laplace : Pour B : multiplier l’équation par p puis faire p →∞ : (on aurait aussi pu prendre une valeur particulière, p=1 par ex) p →∞ :

66 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Exercice du cours - corrigé : Sortie dans Laplace : Identification aux fonctions connues : L-1 L-1 L-1

67 III. 3. Transformée inverse de Laplace
Exercice du cours - corrigé : Et donc, sortie temporelle : Vitesse s(t), en m/s Temps t (en s) axeX Moteur de l’axe X corrigé (dont le correcteur est mal réglé) commandé en vitesse.

68 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Blocs en série : H1(p) X(p) E(p) H2(p) Y(p) H3(p) S(p) H1(p).H2(p).H3(p) E(p) S(p) Justification : S(p) = H3(p).Y(p) = H3(p).H2(p).X(p) = H3(p).H2(p).H1(p).E(p)

69 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Blocs en parallèle : H1(p) E(p) H2(p) E1(p) E2(p) + S(p) H1(p) + H2(p) E(p) S(p) Justification : S(p) = E1(p) + E2(p) = H1(p).E(p) + H2(p).E(p) = [H1(p) + H2(p)].E(p)

70 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Déplacement d’un point de prélèvement vers la droite : H(p) E(p) S(p) Justification : Schéma 1 : S(p) = H(p).E(p) et E(p) = E(p) Schéma 2 : S(p) = H(p).E(p) et E(p) = H(p).?.E(p) => ? = 1/H(p) H(p) E(p) S(p) ?

71 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Déplacement d’un point de prélèvement vers la gauche : E(p) H(p) S(p) Justification : Schéma 1 : S(p) = H(p).E(p) Schéma 2 : S(p) = H(p).E(p) et S(p) =?.E(p) => ? = H(p) S(p) H(p) E(p) S(p) ?

72 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Déplacement d’un comparateur vers la droite : Justification : Schéma 1 : S(p) = A(p).E(p) + A(p).Y(p) Schéma 2 : S(p) = A(p).E(p) + ?.Y(p) => ? = A(p) A(p) E(p) + S(p) Y(p) E(p) A(p) + S(p) Y(p) ?

73 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Déplacement d’un comparateur vers la gauche : E(p) A(p) + S(p) Y(p) Justification : Schéma 1 : S(p) = A(p).E(p) + Y(p) Schéma 2 : S(p) = A(p).E(p) + ?.A(p).Y(p) => ? = 1/A(p) ? E(p) A(p) + S(p) Y(p)

74 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Déplacement entre comparateurs : + X(p) - Y(p) E(p) S(p) Justification : S(p) = E(p) + X(p) – Y(p)

75 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Impossibilité de déplacer un point de prélèvement par rapport à un comparateur S(p) S(p) ? E(p) + S(p) S(p) E(p) + ? ? Y(p) ? Y(p) Justification : S(p) = E(p) + Y(p) S(p) = ?.E(p) impossible

76 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Utilité des manipulations de schéma-blocs Manipuler un schéma-bloc n’a pas de sens physique, mais permet simplement de réécrire un schéma-bloc de façon plus simple pour mieux l’étudier (le modéliser). Exemple de l’Axe X de la découpe laser, commandé en vitesse avec un capteur tachymétrique sur l’axe moteur, schéma-blocs réel: Kcor Km/(1+τ.p) + – VC V Correcteur Moteur Réducteur Kr Kcapt KPC Poulie- courroie Kcapt / (Kr.KPC) Transducteur Capteur Schéma-blocs simplifié: Kcapt Kcor / (Kr.KPC) Km/(1+τ.p) + – VC V Correcteur’ Moteur Réducteur Kr 1 KPC Poulie- courroie axeX

77 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
FTBO et FTBF : FTBF Chaîne directe D(p) E(p) + - ε(p) S(p) E(p) S(p) Y(p) R(p) FTBO = chaîne directe + chaîne de retour

78 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
FTBO et FTBF : D(p) E(p) + - ε(p) S(p) E(p) S(p) Y(p) R(p) ! Signe « – » pour le retour Sinon : E(p) D(p) R(p) + ε(p) S(p) Y(p) E(p) D(p) - R(p) + - ε(p) S(p) Y(p)

79 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
FTBO et FTBF : D(p) E(p) + - ε(p) S(p) E(p) S(p) Y(p) R(p) ! Pour que le système soit bouclé, le point de prélèvement doit être situé après le comparateur (alors seulement le « retour » existe) E(p) D(p) R(p) + - S(p) Y(p) Ceci n’est pas une boucle !!!

80 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
FTBO et FTBF : Exemple de l’Axe X de la découpe laser, commandé en vitesse : Capteur tachymétrique Moteur Réducteur Poulies/C. + – Correcteur VC V Kcor+Ki/p Km/(1+τ.p) Kr KPC 1 axe « X »

81 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Système multi-entrées (théorème de superposition) : E(p) K(p) R(p) + - ε(p) S(p) Y(p) G(p) T(p) : Perturbation Fonction de transfert entre E(p) et S(p) : prendre T(p)=0 : E(p) K(p) R(p) + - S1(p) G(p)

82 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Système multi-entrées (théorème de superposition) : E(p) K(p) R(p) + - ε(p) S(p) Y(p) G(p) T(p) : Perturbation Fonction de transfert entre T(p) et S(p) : prendre E(p)=0 : K(p) R(p) S2(p) - + G(p) T(p) !

83 III. 4. Manipulation des schéma-blocs et des FT
Système multi-entrées (théorème de superposition) : E(p) K(p) R(p) + - ε(p) S(p) Y(p) G(p) T(p) : Perturbation Au final, la sortie pourra donc s’écrire : On étudiera donc séparément les effets des différentes entrées sur la sortie ! Concrètement nous n’étudierons qu’une seule entrée à la fois.

84 Les Systèmes Linéaires Continus Invariants
Automatique : Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Présentation des systèmes automatisés Les systèmes asservis Modélisation des SLCI (domaine de Laplace) Analyse temporelle de SLCI particuliers Gain pur Intégrateur 1er ordre 2e ordre Identification temporelle à un modèle Analyse harmonique

85 IV. 1. Analyse temporelle d’un gain pur
Système à action proportionnelle = gain pur Fonction de transfert indépendante de p (et donc identique dans le domaine temporel ou de Laplace : K E(p) S(p) Réponse indicielle Réponse à une rampe

86 IV. 1. Analyse temporelle d’un gain pur
Système à action proportionnelle = gain pur Exemple d’un réducteur à engrenages : 1/10 Ωm(p) Ωr(p) La vitesse de sortie sera toujours exactement 1/10 de la vitesse d’entrée, quel que soit la vitesse d’entrée et le temps. Réponse indicielle Réponse à une rampe

87 IV. 2. Analyse temporelle d’un intégrateur
Système intégrateur Un intégrateur est souvent une simple opération mathématique virtuelle, par exemple pour passer d’une vitesse à une position 1/p E(p) S(p) s(t)=E0.t.u(t) e(t)=E0.u(t) t E0 Attention, un intégrateur pur diverge en réponse indicielle, et n’est donc pas stable ! Réponse indicielle

88 IV. 2. Analyse temporelle d’un intégrateur
Système intégrateur Exemple : position angulaire en sortie de motoréducteur tournant à 1,5 rad/s : 1/p Ωr(p) r(p) Attention, les échelles d’entrée et de sortie sont forcément différentes ! 4,5 rad 3 s r(t) 3 rad 2 s 1,5 rad/s 1,5 rad 1 s ωr(t) t Réponse indicielle

89 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Système du 1er ordre (forme canonique) : H(p) E(p) S(p) avec : τ : constante de temps (unité : seconde) K : gain statique (unité : [s] / [e])

90 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Réponse indicielle d’un 1er ordre : H(p) E(p) S(p) e(t)=E0.u(t)

91 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Réponse indicielle d’un 1er ordre : Exemple : vitesse d’un moteur CC : Hm(p) U(p) Ω(p ) uSI : rad/s/V Le moteur démarre immédiatement, mais sa vitesse n’augmente que progressivement pour atteindre sa vitesse en régime finale (60 rad/s) 60 rad/s 57 rad/s ω(t) 38 rad/s u(t)=5.u(t) 5 V t (en s) 0,1 0,3 0,5

92 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Réponse indicielle d’un 1er ordre : Exemple : vitesse d’un moteur CC : u(t) 5 V 0,1 0,3 0,5 t (en s) ω(t) 60 rad/s

93 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Allure de la réponse d’un 1er ordre à une rampe : H(p) E(p) S(p) Pour K = 1 :

94 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Allure de la réponse d’un 1er ordre à une rampe : H(p) E(p) S(p)

95 IV. 3. Analyse temporelle d’un 1er ordre
Allure de la réponse d’un 1er ordre à une impulsion : H(p) E(p) S(p)

96 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Système du 2e ordre (forme canonique) : H(p) E(p) S(p) avec : ω0 : pulsation propre non amortie (unité : rad.s-1) ; ξ : (« xi ») coefficient d'amortissement (sans unité) (on emploie aussi les notations z ou m) ; K : gain statique (unité : [s] / [e] ).

97 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Réponse indicielle d’un 2e ordre : H(p) E(p) S(p) 2e ordre amorti (ou « non-oscillant ») :  > 1 Seule différence visible entre 1er ordre et 2e ordre non-oscillant e(t)=E0.u(t)

98 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
non-oscillant

99 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Si τ1 << τ2 :

100 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Réponse indicielle d’un 2e ordre : H(p) E(p) S(p) 2e ordre sous-amorti (ou « oscillant ») :  < 1 D2 E0.K D3 pente nulle à l’origine T T/2 abaque e(t)=E0.u(t)

101 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Réponse indicielle d’un 2e ordre, en fonction de  : Temps de réponse à 5% minimal d’un 2e ordre : Sans dépassement (donc non-oscillant) :  = 1 Peu importe les dépassements :  ≈ 0,7

102 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Exemple de réponses indicielles d’un 2e ordre non-oscillant : Moteur CC asservi en position, avec correcteur proportionnel faible (lent, non-oscillant, ressemble à un 1er ordre). Consigne demi-tour (3,14 rad) : Angle, en rad consigne moteur

103 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Exemple de réponses indicielles d’un 2e ordre : Moteur CC asservi en position, avec correcteur proportionnel faible (lent, non-oscillant, ressemble à un 1er ordre). Consigne demi-tour (3,14 rad) : moteur

104 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Exemple de réponses indicielles d’un 2e ordre oscillant : Moteur CC asservi en position, avec correcteur proportionnel fort (rapide mais oscillant, ne ressemble pas à un 1er ordre). Consigne demi-tour (3,14 rad) : moteur consigne Angle, en rad

105 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Exemple de réponses indicielles d’un 2e ordre oscillant : Moteur CC asservi en position, avec correcteur proportionnel fort (rapide mais oscillant, ne ressemble pas à un 1er ordre). Consigne demi-tour (3,14 rad) : moteur

106 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Allure de la réponse d’un 2e ordre à une rampe : H(p) E(p) S(p)

107 IV. 4. Analyse temporelle d’un 2e ordre
Allure de la réponse impulsionnelle d’un 2e ordre: H(p) E(p) S(p) 2e ordre oscillant (<1) 2e ordre non-oscillant (>1)

108 Les Systèmes Linéaires Continus Invariants
Automatique : Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Présentation des systèmes automatisés Les systèmes asservis Modélisation des SLCI (domaine de Laplace) Analyse temporelle de SLCI particuliers Identification temporelle à un modèle Modélisation Identification à un 1er ordre Identification à un 2e ordre apériodique (non-oscillant) Identification à un 2e ordre oscillant Analyse harmonique

109 V. 1. Modélisation d’une identification
Identifier = - Envoyer une entrée bien connue à un système (souvent un échelon), - Analyser la réponse obtenue et choisir le modèle (1er ordre, 2e ordre apériodique, 2e ordre oscillant, gain pur ou intégrateur…) qui lui correspond le mieux, - Déterminer les caractéristiques de ce modèle qui s’approchent le mieux de la réponse observée (gain statique, constante de temps, coef d’amortissement…)

110 V. 1. Modélisation d’une identification
Choix du modèle (consigne en échelon) : apériodique 2e ordre oscillant

111 V. 2. Identification à un 1er ordre
Gain statique K s(∞)=K.E0 τ s(t) Pente en un point quelconque On pourrait aussi utiliser 0,95. s(∞) à l’instant 3. τ mais c’est trop imprécis ! 0,63.s(∞) e(t) E0 t τ Pente à l’origine

112 V. 2. Identification à un 1er ordre
Exercice : Identifier le système à partir de sa réponse à un échelon 2,5uSI

113 V. 3. Identification à un 2e ordre apériodique
Point d’inflexion (changement de sens de courbure)

114 V. 3. Identification à un 2e ordre apériodique
Exercice : Identifier le système à partir de sa réponse à un échelon 2,5uSI

115 V. 4. Identification à un 2e ordre oscillant
abaque Gain statique K D1 s(∞)=K.E0 Ta t Ta/2 Ta

116 V. 4. Identification à un 2e ordre oscillant
Exercice : Identifier le système à partir de sa réponse à un échelon 2,5uSI

117 V. 4. Identification à un 2e ordre oscillant
Exercice : Identifier le système à partir de sa réponse à un échelon 2,5uSI