Résistance des matériaux

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1 Résistance des matériaux
Poutre Efforts intérieurs Contrainte Déformation Traction Torsion Flexion Essais des matériaux Concentration de contrainte

2 Conditions cinématiques
Résistance des matériaux Poutre A B (S) (G) G Solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe (G) orientée de A vers B. (S) reste toujours orthogonale à (G). A est l’origine de la poutre, B son extrémité ; (G) s’appelle la ligne moyenne ; (S) est la section droite de la poutre en G ; Liaisons Type de liaison Schéma Torseur statique Conditions cinématiques Encastrement A x y Liaison pivot ou articulation A x y x A y Liaison glissière Liaison ponctuelle A x y

3 Résistance des matériaux
Etude statique préliminaire Elle est destinée à déterminer les actions extérieures agissant sur la poutre étudiée : modèle isostatique : efforts de liaison déterminés ; modèle hyperstatique de degré h : tous les efforts de liaison s’expriment en fonction de h d’entre eux. Torseur des efforts intérieurs A B (S) (P) E1 E2 G Mise en place d’une section droite, paramétrage de sa position, définition des tronçons (E1) et (E2) (P) s G (E1) (S) Traction Torsion Flexion simple suivant y Flexion simple suivant z s G A B (S0) (S1) Equations de continuité

4 Résistance des matériaux
Contraintes (P) s G (E1) (S) M dS txy sy sx sz txz tyz tyx tzy tzx M Champ des contraintes On montre qu’il y a réciprocité des contraintes tangentielles : txy = tyx tyz = tzy tzx = txz Relation contraintes – efforts intérieurs

5 Résistance des matériaux
sx x exdx y -n ex dx A’ B dx -sx Avant déformation Après déformation B’ A Déformations, lois de Hooke Relations entre contrainte normale et allongements relatifs : E : module d’Young (MPa) Elasticité longitudinale n : coefficient de Poisson (0,3 pour les métaux usuels) x y H H’ B B’ M A txy tyx Avant déformation Après déformation -txy -tyx Relations entre contrainte tangentielle et distorsion G : module de Coulomb (MPa) Elasticité transversale Relation entre E et G Hypothèses de la RdM Hypothèse de Bernoulli : toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après l'application des charges. Hypothèse de Barré de Saint Venant : dans les zones éloignées des points d'applications des charges, les contraintes et les déformations sont indépendantes de leur mode d’application. Hypothèse sur les déformations : les déformations sont supposées petites (déplacements des points petits devant les dimensions de la poutre et de la section). Les déplacements d’une section droite peuvent être représentés par un torseur des petits déplacements. Hypothèse sur le matériau : le matériau constituant la poutre est supposé continu, homogène et isotrope.

6 Résistance des matériaux
Sollicitation de traction L O G B R (S) p0 A Définition A B (S) (P) E1 E2 G Illustrations Hypothèse M I (S) Expression de la contrainte Allongement relatif Cas particulier : poutre droite soumise à deux forces opposées, de section constante L B A x

7 Résistance des matériaux
Sollicitation de torsion Illustration Définition L Ød B A A B (S) (P) E1 E2 G Répartition de contrainte G0 (S0) (S) M G M0 r Hypothèse Expression de la déformation Cas particulier Poutre droite, de section constante, sollicitée en torsion par deux couples opposés L B A x

8 Résistance des matériaux
Sollicitation de Flexion simple Définition A B (S) (P) E1 E2 G Répartition de contrainte Hypothèse M I (S) y Expression de la déformation Moment quadratique Section circulaire ØD: Section rectangulaire b x h : Cas particulier L B (S) G l A y = f(l) Déformée en flexion d’une poutre initialement droite : Deux constantes d’intégration, déterminées par les conditions de liaison.

9 Résistance des matériaux
Contrainte normale s (N/mm²) Allongement relatif e Rm Rr Re A B C D E Rupture e permanent H K S0 L Essai de traction Re : limite élastique Rr : limite de rupture Rm : Limite mécanique Carré 10 x 10 Entaille 5 x 2 Essai de résilience (résistance aux chocs) Essais de dureté Essai Brinell Essai Vickers Essai Rockwell Enfoncement e Matériaux de faible dureté Matériaux de dureté moyenne Matériaux de grande dureté a1 x a2 Ød

10 Résistance des matériaux
Concentration de contrainte Définition Lorsqu’une poutre possède une discontinuité (de géométrie ou de matériau) , il se produit un phénomène de «concentration de contrainte». Au voisinage de la discontinuité, la contrainte maximale est supérieure à la contrainte nominale calculée avec les outils de la RdM. Calcul de la contrainte maxi «réelle» La contrainte maxi est déterminée en multipliant la contrainte nominale calculée par la RdM par un coefficient Kt qui dépend : de la nature et des dimensions de la discontinuité (rainure, gorge, épaulement…) de la sollicitation (traction, torsion, flexion). Les valeurs de Kt,déterminées expérimentalement, sont extraites de tableaux ou abaques.

11 C’est tout pour aujourd’hui…