Concepts avancés en mathématiques et informatique appliqués

Présentation au sujet: "Concepts avancés en mathématiques et informatique appliqués"— Transcription de la présentation:

1 Concepts avancés en mathématiques et informatique appliqués
MAP-6014

2 Réseaux de neurones Introduction Réseaux sans couches cachées
Réseaux avec des couches cachées Algorithme de propagation-arrière Réseaux de Hopfield ART CNN

3 Introduction Les réseaux de neurones permettent de simuler l’activité du cerveau humain Des tâches comme la reconnaissance de visages humains est accomplit facilement par un humain mais devient très difficile pour les ordinateurs conventionnels Le cerveau humain est composé de cellules nerveuses (neurones) organisées de façon à travailler en parallèle sur le même problème

4 Introduction Un neurone est constitué d’un corps cellulaire, de dendrites qui reçoivent les signaux en entrée et d’axones qui émettent les signaux en sortie Les dendrites reçoivent des signaux des organes sensoriels (yeux, oreilles) ou d’axones d’autres neurones Les axones émettent des signaux à des organes comme les muscles ou aux dendrites d’autres neuronnes

5 Introduction

6 Introduction Un neurone reçoit des signaux de plusieurs milliers de dendrites et émet au travers de centaines d’axo-nes Avec le haut niveau de redondance des connexions entre neurones, les performances du cerveau sont robustes Dans plusieurs régions du cortex cérébral, les neurones sont organisés en couches Un neurone reçoit généralement des signaux des neurones de la couche adjacente

7 Introduction De plus, les signaux en entrée proviennent de neurones d’une petite région proche du neurone récepteur, et le patron d’interconnexion est similaire pour chaque neurone récepteur Les connexions entre les couches sont générale-ment dans une seule direction, partant du traite-ment bas-niveau (œil, oreille) jusqu’à un haut-niveau de raisonnement

8 Introduction Premier modèle mathématique d’un neurone (McCulloch et Pitts) Les entrées sont définies par x1,…..xM. Calcul d’une somme pondérée s en utilisant les poids w1,…wM. Seuillage de s SI s > T ALORS sortie = 1 SI s <= T ALORS sortie = 0

9 Introduction Les connexions avec des poids positifs sont excitatives et celles avec des poids négatifs sont inhibitives La sortie d’un neurone est 1 SI

10 Introduction Nous pouvons réécrire cette expression
Le poids w0 est un poids biaisé

11 Introduction Ce nouveau modèle est représenté

12 Introduction L’entraînement des réseaux de neurones est l’aspect le plus difficile de leurs utilisations L’entraînement revient à trouver les poids wi permettant aux réseaux de fonctionner avec une performance acceptable

13 Introduction (Taxonomie des réseaux de neurones)

14 Réseaux sans couches cachées
Ces réseaux sont aussi appelés réseaux à deux couches, une couche en entrée et une en sortie xi Dj wij

15 Réseaux sans couches cachées
Rosenblatt a crée un classificateur pouvant être entraîné (PERCEPTRON) L’algorithme d’entraînement permet de déduire les poids du PERCEPTRON qui sont eux, identiques aux coefficients de la fonction discriminante

16 Réseaux sans couches cachées
Par exemple

17 Réseaux sans couches cachées
La fonction discriminante prend la forme

18 Réseaux sans couches cachées
Recherche des poids wi Nous cherchons les valeurs de poids qui minimise la fonction dp: sorties désirées de l’observation p xp1,…., xpM: valeurs caractéristiques de l’observation p Les poids sont optimisés d’un seul coup pour tout l’échantillon d’entraînement en posant les dérivées par- tielles E/wi égale à 0 et en trouvant la solution du système d’équations linéaires résultant pour chaque wi

19 Réseaux sans couches cachées
Recherche des poids wi L’algorithme MSE séquentiel est une technique adaptative avec laquelle les observations d’entraîne-ment sont présentées au système une à la fois Une observation est classifiée par le réseau et le résultat (D) est comparé aux sorties (d) de la vraie classe de cette observation Si l’observation est mal classée, les poids wi sont corrigés proportionnellement aux valeurs caractéris-tiques p multiplié par la différence entre les sorties désirées et celles actuelles

20 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud L’algorithme MSE utilise la procédure steepest descent minimisation (SDM) pour corriger les poids de chaque observation Les poids sont changés selon les directions qui permettent à la fonction E de décroître rapidement La direction de décroissance maximale de la fonc-tion d’erreur est donnée par le vecteur

21 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud (1 sortie) (procédure SDM) Choisir des poids de départ w1,…wM, et une cons-tante c positive Calculer les dérivées partielles F/wi (E/wi) pour i=1,…,M, et remplacer wi par wi - c F/wi pour i=1,…,M (E/wiE/wi) Répéter l’étape précédente jusqu’à ce que les poids w1,…,wM ne changent plus significati-vement

22 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud (exemple de procédure SDM)

23 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud (exemple de procédure SDM) (c = 0.1)

24 Réseaux sans couches cachées
La procédure SDM (difficultés) Choix de wi au départ Choix de la constante c Le choix de wi peut influencer la convergence vers des minima locaux si wi est trop loin des valeurs wi qui donnent un minimum global Si la constante c est trop petite la convergence est lente, si c est trop grand l’algorithme peut passer par dessus des minima sans converger

25 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud Nous faisons une mise à jour séquentiel des poids en considérant une observation à la fois

26 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud Choix des poids de départ w0,….wM, et une constante c Présenter les observations 1 à N au classificateur, revenant à l’observation 1 après N. En calculant pour chaque observation

27 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à un seul nœud Remplacer wi par wi - c(D-d)xi pour chaque i Répéter les 2 étapes précédentes tant que les wi changent

28 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à nœuds multiples Pour chacune des N observations nous avons: un vecteur de caractéristiques x0, x1, …. xM. Un vecteur en sortie d1, d2, …, dN. Les poids wij correspondent à la connexion entre l’entrée i et le nœud de sortie j

29 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à nœuds multiples

30 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à nœuds multiples Choix des poids de départ w0,….wM, et une constante c Présenter les observations 1 à N au classificateur, revenant à l’observation 1 après N. En calculant pour chaque observation

31 Réseaux sans couches cachées
L’algorithme MSE séquentiel à nœuds multiples Remplacer wij par wij - c(Dj-dj)xi pour chaque i Répéter les 2 étapes précédentes tant que les wij changent Les algorithmes MSE séquentiel à un et multiples nœuds sont reconnus pour être efficace lorsque les classes sont bien séparées

32 Réseaux avec couches cachées
En général, un réseau à plusieurs couches est caractérisé: K+1 couches de nœuds, dénotées 0, 1, …., K La sortie du nœud i de la couche k est dénotée xi(k) et représente la valeur seuillée de la somme pondé-rée des entrées La couche 0 est appelée couche rétine (entrée) La couche K est la couche de sortie Les couches entre les deux sont les couches cachées

33 Réseaux avec couches cachées
Réseau à plusieurs couches

34 Algorithme de propagation-arrière
L’entraînement d’un réseau multicouche ne peut être fait par la méthode SDM puisqu’une variation d’un poids ne change généralement pas les sorties du réseau La sortie d’un nœud sera changée seulement si les poids changent suffisamment pour que la somme pondérée change de signe Même si une sortie change de valeur dans une couche donnée cela ne signifie pas que les sorties de la prochaine vont changer

35 Algorithme de propagation-arrière
Les sorties finales du réseau sont alors résistantes aux petites variations des poids dans le réseaux Pour éliminer le besoin des seuils T nous pourrions être tenté d’éliminer ces seuils et de calculer sim-plement la somme pondéré à chaque nœud Par contre, les réseaux à couches multiples devien-nent inutiles puisque dans ce contexte nous pou-vons déduire un réseau à 2 couches équivalents

36 Algorithme de propagation-arrière
Réseaux sans seuil

37 Algorithme de propagation-arrière
Réseaux sans seuil

38 Algorithme de propagation-arrière
Nous pouvons trouver un compromis entre l’utili-sation d’un seuil discontinu ou d’une combinaison linéaire à chaque nœud en utilisant une fonction sigmoïde de la forme

39 Algorithme de propagation-arrière
La fonction R à chaque nœud permet aux sorties du réseau d’être des fonctions différentiables des poids. L’ensemble des poids peut alors être détermininé par la méthode SDM

40 Algorithme de propagation-arrière

41 Algorithme de propagation-arrière
Pour l’entraînement du réseau l’algorithme PA utilise la procédure SDM et une fonction sigmoïde Les couches sont dénotées k=0,1,….K avec k=0 pour la couche d’entrée et k=K pour la couche de sortie La sortie du noeud j dans la couche k est dénotée par xj(k) pour j=1,…Mk ou Mk est le nombre de nœuds de la couche k (sans compter le nœud avec un poids biaisé)

42 Algorithme de propagation-arrière
Pour la couche d’entrée: xj(0) = xj pour j=1,…M0 Pour chaque couche sauf la couche de sortie la sortie du nœud à poids biaisé est x0(k)=1 pour k=0,…,K-1 Les sorties sont xj(K) pour j=1,…,MK Les poids des connexions entre le nœud i de la couche k-1 et le nœud j de la couche k est wij(k)

43 Algorithme de propagation-arrière
Les poids des connexions entre le nœud i de la couche k-1 et le nœud j de la couche k est wij(k)

44 Algorithme de propagation-arrière
Étapes de l’algorithme PA Phase d’alimentation-avant (feed-forward) par laquelle les sorties des nœuds sont calculées à partir de la couche 1 vers la couche K Phase de propagation arrière où les poids sont ajustés pour que les sorties x1(K) , …., xMK(K) et les sorties désirées d1,…dMK soient en accord

45 Algorithme de propagation-arrière
1) Initialisation des poids wij(k) à de petites valeurs aléatoires et choix d’une constante c positive 2) Pour chaque observation 1 à N, initialisée les entrées x1(0) , …. , xM0(0) , revenant à l’observation 1 après avoir atteint l’observation N 3) Alimentation-avant. Pour k=0,…,K-1 calculer

46 Algorithme de propagation-arrière
4) Propagation-arrière. Pour les nœuds de la couche de sortie j= 1,…, MK calculer Pour les couches k = K-1, …, 1 calculer

47 Algorithme de propagation-arrière
5) Remplacer les poids 6) Répéter les étapes 2 à 5 TANT QUE les poids changent significativement

48 Algorithme de propagation-arrière
Si la valeur de sortie d’un nœud est proche de 0 ou 1 la valeur de j(k) -> 0, cela signifie alors que la valeur des poids est stable La phase de PA utilise la méthode SDM pour ajus-ter les poids de façon à minimiser la fonction d’er-reur

49 Algorithme de propagation-arrière
Les dérivées partielles de E sont calculées par rap-port aux poids de la couche K et ainsi de suite jus-qu’à la couche 1 De plus, les dérivées partielles de la couche k découlent de celles calculées de la couche k+1

50 Algorithme de propagation-arrière
La fonction de correction j(K) découle

51 Application (Reconnaissance de visage)
Image initiale du visage de 30X30 en 256 niveaux de gris Compression des données 900->40 Réseau de classification à une couche cachée Réseau entraîné avec 80 visages Réseau testé avec 10 visages

52 Application (Reconnaissance de visage)

53 Application (OCR)

54 Application (Reconnaissance vocale)
Reconnaissance de mots Enregistrement Analyse spectrale (60 harmoniques)

55 Application (Reconnaissance vocale)
Entrainement du réseau Observations présentées en entrée de chaque personne (2) Ajustement des poids

56 Application (Reconnaissance vocale)
Observations inconnues présentées en entrée Sorties correspondent à la personne qui dit le mot

57 Réseaux de Hopfield Le cerveau humain est capable de reconnaître des formes même si elles sont réprésentées de façons imparfaites De plus, la reconnaissance d’une forme particulière peut amener la résurgeance d’autres évènements mémorisés Ce concept fait référence aux mémoires associati-ves par lesquelles une forme même imparfaite est associée à d’autres formes

58 Réseaux de Hopfield Un réseau de Hopfield est une mémoire associative simple Les formes sont représentées par des séquences de n-bits de 1 et de -1 Contrairement à la plupart de réseaux qui sont à alimentation-avant, chaque nœud du réseau de Hopfield est connectés aux autres nœuds du réseau De plus, chaque connexion possède un poids et est bidirectionnelle

59 Réseaux de Hopfield L’assignation des poids représente la phase d’ap-prentissage du réseau par laquelle les formes à as-sociées sont emmagasinées dans le réseau Par la suite, dès qu’une forme est présentée au réseau , celui-ci recherche la forme emmagasinée la plus semblable à celle introduite en entrée

60 Réseaux de Hopfield Étapes de la classification
Les n nœuds du réseau sont initialisés aux n valeurs caractéristiques d’une forme Chaque nœud calcule la somme pondérée des valeurs des autres nœuds et change sa valeur à 1 si la somme pondérée est + ou à -1 si cette somme est - Dès que les poids cessent de changer le réseau à alors atteint un état stable qui correspond à la forme stockée la plus proche de celle introduite en entrée

61 Réseaux de Hopfield Le réseau converge alors vers la forme dont la dis-tance est minimale. La distance étant donnée par le nombre de positions de 2 chaînes (formes) x et y dont les valeurs sont différentes Les résultats expérimentaux démontrent que les réseaux de Hopfield peuvent emmagasinés approximativement 0.15n formes, où n est le nombre de nœuds du réseaux

62 Réseaux de Hopfield

63 Réseaux de Hopfield Exemple de réseau de Hopfield avec comme forme en entrée:

64 Algorithme de stockage
Les poids wij sont déduits des formes à emmagasi-ner Le poids entre les nœuds i et j dépendent de la similarité entre les bits i et j des formes emmaga-sinées Nous pouvons représenter une forme p pour 1<=p<=m

65 Algorithme de stockage
Les poids wij entre les nœuds i et j sont calculés par Le poids entre les nœuds i et j est alors le nombre de fois que le bit i et j d’une forme sont pareilles moins le nombre de fois qu’ils diffèrent et ce additionner sur l’ensemble des formes emmagasinées

66 Algorithme de retrait Si nous avons une forme à recherchée donnée par
Le traitement commence en initialisant chaque nœud i par les valeurs yi. Ensuite, chaque valeur de yi choisie aléatoirement est mise à jour tant que le réseau ne conver- ge pas vers un état stable. La mise à jour de yi devient:

67 Algorithme de retrait Pour comprendre comment une forme y est mise à jour de façon itérative nous réécrivons Si une forme y (INPUT) est semblable à une forme x(p) la quantité entre parenthèse sera proche de n si ces formes sont très différentes cette même quantité sera proche de -n

68 Algorithme de retrait (convergence)
Pour démontrer la convergence nous écrivons Ce qui représente la fonction Liapunov du réseau. Quand un nœud k déclenche, E ne doit pas augmenter. Pour voir cela supposons que le nœud k déclenche et que yk change de 1 à -1. E peut être réécrit

69 Algorithme de retrait (convergence)
Si E est la différence entre la valeur originale de E (quand yk = +1) et sa nouvelle valeur (quand yk = -1) et y la différence entre la valeur originale de yk (+1) et sa nouvelle valeur yk (-1) alors E s’écrit

70 Algorithme de retrait (convergence)
Si E est la différence entre la valeur originale de E (quand yk = +1) et sa nouvelle valeur (quand yk = -1) et y la différence entre la valeur originale de yk (+1) et sa nouvelle valeur yk (-1) alors E s’écrit

71 Algorithme de retrait (convergence)
Si E est la différence entre la valeur originale de E (quand yk = -1) et sa nouvelle valeur (quand yk = +1) et y la différence entre la valeur originale de yk (-1) et sa nouvelle valeur yk (+1) alors E s’écrit

72 Algorithme de retrait (convergence)
E est décroissant (par coup de 2) et a une borne inférieure donnée par

73 Algorithme de retrait (convergence)
Le réseau converge vers un état stable Après avoir atteint un état stable, cet état ne change pas même si les noeuds continus de déclencher Un état stable vers lequel le réseau converge n’est pas nécessairement unique et peut ne pas être une des formes enmagasinées Ces situations surviennent lorsque le nombre de formes stockées par rapport au nombre de noeuds du réseau

74 Adaptive Resonance Theory

75 Adaptive Resonance Theory

76 Convolutional Neural Network

77 Convolutional Neural Network

78 Convolutionnal Neural Network