C1 – Interpolation et approximation

C1 – Interpolation et approximation
C- Ingénierie Numérique

Présentation du problème
Information analogique : Modèle de fonctions continues Information numérique : Modèle de fonctions continues

Problématique Connaissant un nuage de points, comment trouver une expression analytique constituants une bonne approximation Deux cas : La fonction doit passer exactement par les points : interpolation La fonction doit passer à proximité des points au mieux : approximation

Interpolation polynomiale : Idées
Faire passer un polynôme par n points Décomposition sur une base polynomiale de dimension n Solution unique d’un polynôme, mais expressions différentes Exemples du trinôme:

Interpolation polynomiale : Base canonique
Polynômes sous la forme : Trouver les n coefficients passant par les n points Nuage de n points de coordonnées (xi,yi)

Exemple : déterminer le système d'équation et le résoudre pour les points suivants 1 point (2,3) 2 points {(2,3), (4,4)} 3 points {(2,3), (3,3), (4,4)}

Exemple : déterminer le système d'équation et le résoudre pour les points suivants 1 point (2,3) 2 points {(2,3), (4,4)} 3 points {(2,3), (3,3), (4,4)} Solution 1 point : P(x) = 3 2 points : P(x) = 2 + x / 2 3 points : P(x) = x² /2-5x/2+ 6

Interpolation polynomiale : Base de Lagrange
Très pratique pour l’interpolation: Expression des Li à partir du nuage de points (xi,yi)

Exemple : Appliquer la méthode des polynômes de Lagrange avec les points {(2,3), (3,3), (4,4)}

Exemple : Appliquer la méthode des polynômes de Lagrange avec les points {(2,3), (3,3), (4,4)} Rappel : Le polynôme est unique même si son expression est différente et dépend de la base de décomposition

Limite de l’interpolation polynomiale
Lorsque n est très grand, la solution peut fortement osciller ->Phénomène de Runge Exemple : 11 points répartis suivant Interpolation non satisfaisante Coût de calcul élevé en O(n²)

Interpolation par morceaux
Permet d’éviter le phénomène de Runge Seules quelques points pour réaliser une interpolation Ordre 0 : 1 seul point constant, l’interpolation est alors continue par morceaux : Non continue Dérivée non continue Suffisant pour un grand nuage de points

Ordre 1 : 2 points suffises , l’interpolation est linéaire par morceaux et donc continue : Continue Dérivée non continue Très souvent utilisé

Ordre 2 : 3 points suffises , l’interpolation est parabolique par morceaux et donc continue : Continue Dérivée non continue

Permet d’éviter le phénomène de Runge Seules quelques points pour réaliser une interpolation Ordre 0, 1 ou 2 au-delà inutile On peu obtenir une dérivée continue avec une interpolation par Spline Pour des surfaces, objets plus complexes, il existe pleins d’autres interpolations (Béziers, Hermite, …)

Ordre 0 Ordre 1 Spline

Exercice 1 : Proposer une fonction retournant la valeur de f(x) obtenu par une interpolation de degré 0 : y = interpolation(x, Xn, Yn) Xn,Yn : les listes des coordonnées des points Exercice 2 : Modifier votre fonction pour une interpolation de degré 1

Exercice 1 : Proposer une fonction retournant la valeur de f(x) obtenu par une interpolation de degré 0 : y = interpolation(x, Xn, Yn) avec Xn et Yn les listes contenant les points def interpolation(x,Xn,Yn): if x<Xn[0] or Xn[-1]<x: return None i=0 while i<len(Xn) and x<=Xn[i]: i+=1 return Yn[i]

Exercice 2 : Modifier votre fonction pour une interpolation de degré 1 def interpolation1(x,Xn,Yn): if x<Xn[0] or Xn[-1]<x : return None if Xn[-1]==x : return Yn[-1] i=0 while i<len(Xn) and x<=Xn[i]: i+=1 return Yn[i]+(Yn[i+1]-Yn[i])/(Xn[i+1]-Xn[i])*(x-Xn[i])

Exercice 3 Spline : Soit le nuage de n points (xk,yk). On définit le spline quadratique de ce nuage pour x [xk;xk+1] par : Le spline doit assurer la continuité et la dérivabilité

Exercice 3 Spline : Continuité à gauche et à droite Dérivée Au milieu Continuité de la dérivée

Exercice 3 Spline : Continuité à gauche et à droite Dérivabilité Relation de récurrence pour les ck Pour c0=0

Interpolation choix de l’ordre
Choix du degré d'interpolation En interpolation polynomiale, pas la peine de monter trop haut Si la courbe a représenter est continue ordre 1, 2 ou 3 Si la courbe est discontinue, reste en ordre 1 maximum

Approximation : Principe
Faire passer une fonction donnée au mieux autour d'un nuage de points Le choix du modèle de la fonction dépend souvent de la physique du problème

Approximation : Moindres carrés
Méthode des moindres carrés Définie une fonctionnelle qui est la somme des écarts entre les points et la fonction par exemple le polynôme : Cette fonctionnelle est convexe et possède un minimum que l'on trouve en cherchant le point où la “dérivée” est nulle. La fonction possède des paramètres ak, on écrit les équations :

Exemple : faire une régression linéaire sur les 4 points (0,0) (1,1) (2, 1.5) (3,2)

Exemple : faire une régression linéaire sur les 4 points (0,0) (1,1) (2, 1.5) (3,2) Pour a0 Pour a1

Exemple : faire une régression linéaire sur les 4 points (0,0) (1,1) (2, 1.5) (3,2)

Exemple : faire une régression de la réponse d’un premier ordre sur les 4 points (0,0) (13,1) (17, 2) (19,3) Trouver K et Tau minimisant les écarts avec les 4 points vérifiant Ce problème est bien plus complexe car le systèmes à résoudre n’est pas linéaire.

C1 – Interpolation et approximation

Présentations similaires

Présentation au sujet: "C1 – Interpolation et approximation"— Transcription de la présentation:

Présentations similaires

Notre projet

Feed-back

Entrer

S'autoriser via un réseau social:

C1 – Interpolation et approximation

Présentations similaires

Présentation au sujet: "C1 – Interpolation et approximation"— Transcription de la présentation:

Présentations similaires

Notre projet

Feed-back