stellaires Parallaxes ou mesurer la distance de l’inaccessible

stellaires Parallaxes ou mesurer la distance de l’inaccessible
phm Obs Lyon Construction et simulation avec Geogebra

Parallaxe stellaire - Geogebra
Préambule Il y a plus de 2200 ans Aristarque de Samos (310 – 230 av. J.C.) avec des observations d’éclipses de lune et un raisonnement simple parvient à mesurer la distance Terre Lune en rayons terrestres. Il ne connaissait pas la valeur de celui-ci. Toujours le même, en observant les moments des phases de la lune, il tente de déterminer la distance Terre-Soleil. Mais le résultat est incorrect (trop faible) : - observations trop difficiles avec les instruments de mesure de temps et d’angle de l’époque. Il mettait aussi le Soleil au centre du monde. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Raisonnement Connaissant par l’observation - que la Lune met 1 heure pour se déplacer de son diamètre - que pendant une éclipse de Lune centrale, il faut trois fois ce temps : RTerre = 3 RLune D = 19 RTerre Réellement 60 R_T Lien utile : 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Préambule Les romains grands bâtisseurs furent de grands arpenteurs.
Leurs gromaticiens (arpenteurs géomètres) avec quelques instruments, ont su mesurer sur terre de grandes distances souvent inaccessibles à la mesure directe. Usage de Pythagore et Thalès ! Groma 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Préambule Ensuite, pendant de longs siècles, les distances estimés dans l’Antiquité furent les références du savoir. Puis Copernic et son héliocentrisme, Kepler et ses lois, Newton et la gravitation, ne donnaient que des distances relatives par rapport à l’orbite de la Terre. Copernic ( ) Galilée ( ) Kepler ( ) Newton ( ) 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Préambule Pour connaître la distance d’un objet à la Terre, il faut mesurer et calculer l’angle sous lequel on voit le rayon terrestre de cet objet : la PARALLAXE. La quête de la parallaxe solaire qui donnerait les distances dans le système solaire fut un grand travail des XVIIe, XVIIIe et XIXe siècles. parallaxe de Mars passages de Vénus parallaxe de Mars par Cassini et Richer en parallaxe mars :25" parallaxe soleil 9" Passages Vénus : 1761, 1769, 1874, 1882, 2004, 2012 Images : 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Préambule La mesure des parallaxes stellaires fut plus délicate et difficile. Le rayon de la Terre étant trop petit, on se sert de l’orbite de la Terre. Bessel en 1838 estime celle de 61 du Cygne à 0,35 seconde d'arc. Etoile la plus proche : Proxima Centauri ” 1 sec. d’arc = 4/100ème de mm vu à 8 mètres La mise en orbite de satellites spécialisées sur les mesures de parallaxe (Hipparcos, Gaia) a révolutionné leurs mesures grâce à la précision obtenues. Précision : mieux que 7 microsecondes d’arc pour les étoiles les plus brillantes, permettant d’obtenir des distances correctes jusqu’au centre galactique. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Hipparcos High Precision Parallax Collecting Satellite
Satellite dédié à l’Astrométrie pour mesurer  les positions d’étoiles  les parallaxes  les mouvements propres lancé en 1989, observa jusqu’en 1993. Résultats : Mesure les positions de étoiles, précision 0,001 sec. d’arc (") Catalogue Tycho : d’étoiles à 0,005" Nombre d’étoiles de distances connues × 100. Précision × 10 Distance atteinte × 20. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

GAIA Global Astrometric Interferometer for Astrophysics Gaia est une mission spatiale astrométrique (ESA). - mesure des positions - distances - mouvements des étoiles Retenu en 2000 Gaia est lancé le 19 déc. 2013, pour une mission de cinq ans. un milliard d'objets (étoiles, astéroïdes, galaxies, etc.) jusqu'à la mag. 20 ( fois plus faible que les plus faibles visibles à l’œil nu). Dédié à la connaissance de la structure, la formation et l'évolution de la Voie lactée les planètes extrasolaires, le système solaire, les galaxies extérieures ainsi qu'en physique fondamentale. Précision : 7 microsecondes (10-6) d'arc pour V= microsecondes d'arc pour V= microsecondes pour V=20 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

GAIA Global Astrometric Interferometer for Astrophysics 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Définitions On appelle parallaxe diurne d’un astre l’angle sous lequel on verrait depuis cet astre le rayon terrestre aboutissant au lieu d’observation. La parallaxe diurne a une valeur maximale. Parallaxe horizontale d’un astre : mesure de l’angle sous lequel on voit le rayon équatorial de la Terre à partir de p OT A La valeur de p donne la distance Astre –Terre. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Définitions Les étoiles La parallaxe d'une étoile est l'angle sous lequel on voit l'orbite de la Terre de celle-ci. p C'est la parallaxe annuelle Pour la mesurer, il faut attendre que la Terre se déplace sur son orbite et faire des mesures à plusieurs moments de l'année. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Définitions Le parsec (parallaxe – seconde) distance de laquelle on verrait une 1 unité astronomique sous un angle de 1 seconde d'arc. 1 parsec = u.a. = 3,262 a.l. = 3, m. 1" 1 pc 1 ua Les angles étant très petits, avec les unités utilisées (ua et "), on a la relation : 1 p" = — d 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

La Maquette Terre - Soleil
Partie I La Maquette Terre - Soleil 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Manipulation • La maquette permet de simuler la révolution annuelle de la Terre autour du Soleil. • L’étoile proche est représentée par le point lumineux. • Le champ d’étoiles lointaines est représenté par l’image d’un champ d’étoiles. Le montage Le champ d'étoiles 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Manipulation On donne la carte du même champ d’étoiles avec des repères destinés à faciliter les identifications et mesures. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Manipulation Identifier les étoiles du champs avec celles de la carte. La projection sur le fond du ciel de la ligne de visée Terre-étoile se fait en repérant le point de la carte où arrive la ligne de visée. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Manipulation Observer et mesurer : 1 - La Terre parcourant son orbite, repérer à l’œil la trajectoire que décrit la projection Terre-étoile sur le fond du ciel. 2 - Quelle est la forme de cette trajectoire ? 3 - Repérer les positions de la plus grande amplitude et les reporter sur la carte. Refaire la mesure pour vérifier la bonne lecture de la visée. 4 - Estimer la précision des mesures. 5 - Quand ont lieu ces maxima d’amplitude ? 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Manipulation Calcul de la parallaxe de l'étoile - La projection décrit une ellipse sur le fond du ciel. - La grandeur du grand axe mesurée dans l'échelle de la carte (secondes d'arc) donne le double de la parallaxe de l'étoile. - Comment varie l'ellipse si l'étoile est plus près ? - Comment varie l'ellipse si l'étoile est plus haut au-dessus de l'écliptique ? 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Champ d'étoiles 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra

Carte du champ d'étoiles 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra

Les coordonnées écliptiques Dans le système solaire, en prenant le Soleil comme centre, le repère simple pour placer la Terre, les planètes et les étoiles est le Système de coordonnées écliptiques en coordonnées polaires : Plan de référence : écliptique Direction origine : point vernal – la distance au Soleil d – la longitude écliptique l – la latitude écliptique b 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Simulation sous Geogebra
Partie II Simulation sous Geogebra 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Le travail ardu sous Geogebra Pour bien illustrer la trajectoire que semble d’écrire les étoiles proches sur le fond du ciel, nous allons simuler au moyen de Geogebra 3D ce que nous avons vu avec la maquette : – un Soleil – une sphère céleste (champ du ciel) – la Terre sur son orbite circulaire parcourue en un an – une étoile de position variable en direction et en distance. Et animer l’ensemble et observer lorsque la Terre tourne autour du Soleil – le mouvement de la projection de l’étoile sur la sphère céleste – la forme de la courbe parcourue – les variations avec la distance, et la direction de l’étoile. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Dans le document, partie Geogebra, les mots en police Arial et gras sont des objets de Geogebra existants ou à construire. La couleur donnée aux objet, leur opacité, leur taille aident à la clarté du graphique et sont donnée à titre indicatif, car des goûts et des couleurs.... Quand l’opacité n’est pas donnée, elle vaut 0. Il est recommandé aussi de cacher les étiquettes des objets quand elles ne sont pas nécessaires. En route, et au travail ! 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Mise en route Lancer Geogebra 3D et ouvrir le fichier parallaxe_stellaire0.ggb Il contient dans la fenêtre Graphique un curseur tps qui permet de faire varier le temps sur une durée de 4 ans. Fenêtre Algèbre Fenêtre Graphique 3D Le jour de l’année s’affiche en gras à côté. Fenêtre Graphique g Le plan xOy représente le plan de l’écliptique ; la direction Ox donne l’origine des longitudes. C’est le point vernal ou point γ. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Le Soleil et le ciel a) Le Soleil sera représenté par un point S à l’origine des abscisses (héliocentrisme) S = (0, 0) Style : couleur jaune , taille 5 b) La sphère céleste Lui donner un rayon de 10 : R_{ciel} = 10 Ciel = Sphère[(0, 0, 0), R_{ciel}] Couleur [175,238,238], Opacité : 25, cacher l’étiquette. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Le Soleil et le ciel c) Le plan de l’écliptique :
plan_{eclp} = OrthogonalPlane[S, axeZ] Couleur [255,215,0], Opacité : 35. Il peut être caché si cela gêne la lisibilité. d) Le cercle écliptique : c_{eclp} = Cercle[S,R_{ciel}] Couleur noire, Taille 2 Sauvegarder avec un nouveau nom personalisé. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

La Terre, son orbite et son mouvement L’orbite de la Terre est assimilée à un cercle de rayon unité (1 ua) dans le plan de l’écliptique : c_T = Cercle[S,1] Couleur [102, 153, 255], Taille 2, Style des lignes cachées invariable, cacher l’étiquette. La Terre tourne autour du Soleil avec une période (en jours) de P = Sa vitesse de rotation est de 360 / P (degrés/jour). 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

La Terre, son orbite et son mouvement Si au temps tps = 0, sa longitude écliptique vaut ° (Ephémérides), sa position à tps sera : lg_T = 360 / P * tps Placera le point T en coordonnées polaires : T = (1 ; lg_T° ) Il faut bien écrire lg_T° avec le "°" sinon elle serai prise des radians. Couleur [153, 153, 255], Taille 3. Facultatif, tracer le segment ST : sST= Segment[S, T] Faire varier le temps avec le curseur tps pour voir la Terre évoluer. Sauvegarder 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

L’étoile et son positionnement a) Les curseurs de positionnement Dans le système écliptique, il y a trois coordonnées : distance, longitude et latitude que l’on doit pouvoir changer pour mettre l’étoile à tout endroit entre la Terre et la sphère céleste. Créer 3 curseurs pour ces trois coordonnées. Deux façons : la commande « curseur » avec l’icône la commande à écrire dans la Ligne de saisie avec la syntaxe nom_curseur = Curseur[ <Min>, <Max>, <Incrément>, <Vitesse>, <Longueur>] 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

L’étoile et son positionnement Caractéristiques des trois curseurs : Coordonnée Distance Longitude éclipt. Latitude éclipt. Nom de Incrément à vitesse Larg. dist_E long_E lat_E 5 0° -90° 0.1 1 10 360° 90° 100 Dans les propriétés on peut mettre des couleurs, changer leur grandeur, etc. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

L’étoile et son positionnement
b) Le point étoile En coordonnées polaire en 3D et en utilisant les valeurs des 3 curseurs : E = (dist_E; long_E°; lat_E°) Couleur [245, 229, 203], Taille 3. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

c) Le point de visée sur la sphère céleste La ligne de visée de la Terre à l’étoile perce la sphère céleste en un point : I I = Intersection[DemiDroite[T, E], Ciel] commande qui, hélas, crée deux points opposés I_1 et I_2 sur la sphère céleste. Renommer le point du côté de E en I. Cacher l’autre. Couleur [175, 238, 238] et taille 1, cacher l’étiquette et le 2ème point. Tracer le segment de T à I sTI = Segment[T,I] Couleur [192, 192, 192] et taille 1 et Invariable. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Trace Pour pouvoir visualiser et suivre les variations de la position sur le ciel, on affiche la trace du point I. – soit en cochant la case dans l’onglet Propriétés/Basique – soit dans le menu qui s’ouvre en cliquant avec le bouton droit de la souris sur le nom de l’objet I dans la fenêtre Algèbre, soir sur l’objet lui-même dans la fenêtre Graphique. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Trace Pour remettre la fenêtre graphique au propre : - appuyer sur les touches CTRL F ou - dans le menu Affichage cliquer sur 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Coordonnées du point d’intersection I Les coordonnées cartésiennes de I sont données par les fonctions de Geogebra : x(I), y(I) et z(I). Mais pour comparer cette position avec celle de l’étoile, il faut utiliser les coordonnées polaires : d_I = R_{ciel} long_I = atan2(y(I),x(I))*180/pi b_I = atan(z(I)/sqrt(x(I)^2+y(I)^2))*180/pi 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

d) Variations relative des coordonnées du point d’intersection I Ecart aux coordonnées de E : Δlg = lng_I - lng_E Δlt = lat_I - lat_E Faire apparaître la fenêtre Graphique 2 et y mettre le point J = (Δlg*cos(lat_E°), Δlt) dont on affichera la trace. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra

Observations Faire varier le temps au moyen du curseur tps lentement pour voir - tourner la Terre T, - changer la direction TE - l’affichage de la trace de I. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Animation Le maniement du curseur à la souris ne donne pas une variation très régulière. On peut soit : - sélectionner le curseur temps avec la souris et utiliser les touches flèches pour avancer ou reculer (voir feuilles Eléments Geogebra) - animer le curseur temps tps. De la même manière que l’on a rendu visible la trace, on Anime la trace d’un curseur. Vitesse Sauvegarder 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Observation et effet de parallaxe Faire tourner la Terre sur son orbite en faisant varier le temps tps. Observer l’évolution du point I sur la sphère céleste. Ce point représente ce que l’observateur voit sur le fond du ciel. Attention : ceci est une simulation. En réalité, les déplacements sont très petits (moins d’une seconde d’arc) et sont extrêmement difficiles à mesurer. Regarder l’influence des trois curseurs de position de E sur la forme et l’amplitude de la trace. Tableau à remplir : 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Observation et effet de parallaxe Lors de la révolution de la Terre autour du Soleil, on voit les coordonnées du point I varier de façon périodique sur un an. Ce sont les observations de ces déplacements par rapport aux étoiles voisines qui permettent de faire la mesure des parallaxes. La parallaxe est l’angle SET. T S E La parallaxe annuelle est la valeur maximale de l’angle SET, lorsque T parcours son orbite. 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Observation et effet de parallaxe
Donner l’angle de la parallaxe dans le graphique de Geogebra : p = Angle[Vecteur[E, T], Vecteur[E, S]] Pour les valeurs de dist_E(5, 6, 7) et pour différentes valeurs de la latitude mesurer le maximum et le minimum de la parallaxe et les dates. Tableau à remplir : 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

Quelle est la relation entre la distance et la parallaxe ? ST 1ua tan p = ––– = ––  prad SE dua Rappel : 1 radian = " T S E On prend comme unité de distance le parsec (pc) qui est la distance sous laquelle on voit une unité astronomique sous 1 seconde d’arc. Cette définition fait que 1 pc = ua. Il s’en déduit qu’avec la seconde d’arc et le parsec, la relation devient : 1 p(") = –– dpc 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra 

En… FIN 2015/09/07 Parallaxe stellaire - Geogebra

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