Équations - Inéquations

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1 Équations - Inéquations
Cours D 'après

2 I. Égalités et opérations Soient a,b et c trois nombres.
Si a = b, alors a + c = b + c. Si a = b, alors a - c = b - c. Si a = b, alors a c = b c. × 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑐 Si a = b et c est non nul, alors Exemple : Si x = 3, alors: x + 2 = = 5 x - 2 = 3 – 2 = 1 2x = = 6 × = 1,5 𝑥 2 = 3 2 Exercice 1A

3 Remplacer x par 3 dans les deux membres de
Activité 1A.1 Remplacer x par 3 dans les deux membres de l’équation : 4x – 7 = 14 – 3x D’une part : 4x – 7 = 4×3–7= 5 D’autre part : 14 – 3x = 14–3×3= 5 Conclusion (cocher la bonne réponse):  3 est une solution de l’équation.  3 n’est pas une solution de l’équation.

4 Remplacer x par - 2 dans les deux membres de
Activité 1A.2 Remplacer x par - 2 dans les deux membres de l’équation : 5x + 4 = 2x +16 D’une part : 5x + 4 = 5× −2 +4= - 6 D’autre part : 2x +16 = 2× −2 +16= 12 Conclusion (cocher la bonne réponse):  -2 est une solution de l’équation.  -2 n’est pas une solution de l’équation.

5 Remplacer x par - 5 dans les deux membres de
Activité 1A.3 Remplacer x par - 5 dans les deux membres de l’équation : x² + 1 = 4 + 6x D’une part : x² + 1 = −5 ²+1= 26 D’autre part : 4 + 6x = 4+6× −5 = - 26 Conclusion (cocher la bonne réponse):  -5 est une solution de l’équation.  -5 n’est pas une solution de l’équation.

6 On va rechercher des solutions de l’équation : x² + 7x = 4x – 2
Activité 1A.4 On va rechercher des solutions de l’équation : x² + 7x = 4x – 2 Pour cela, on va « tester » l’égalité pour différentes valeurs de x. a. « Tester » l’égalité pour x = 3 : D’une part : x² + 7x = 3²+7×3= 30 D’autre part : 4x – 2 = 4×3–2= 10 Conclusion (rédiger) : 3 n'est pas solution de l'équation. b. « Tester » l’égalité pour x = -1 : D’une part : x² + 7x = −1 ²+7× −1 = - 6 D’autre part : 4x – 2 = 4× −1 –2= - 6 Conclusion (rédiger) : - 1 est solution de l'équation. b. « Tester » l’égalité pour x = -2 : D’une part : x² + 7x = −2 ²+7× −2 = - 10 D’autre part : 4x – 2 = 4× −2 –2= - 10 Conclusion (rédiger) : - 2 est solution de l'équation.

7 deux expressions littérales appelées les membres de l’équation.
II. Équations. Une équation est une égalité de deux expressions littérales appelées les membres de l’équation. Pour la résoudre, il faut trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : Soit l'équation 5x – 6 = 4 + 3x. La solution de cette équation est 5. En effet, si x = 5, 5𝑥−6= 5×5−6= 19 L'égalité est vraie. 4+3𝑥= 4+3×5= 19

8 Comment résoudre une équation ?
Activités Z Comment résoudre une équation ? 79 79 35 + 8 43 43 1000 8 125 125 𝑥 2 45×2 0,90 90

9 Comment résoudre une équation ? Conjecture
Activités Z Comment résoudre une équation ? Conjecture Dans une équation, quand un terme doit changer de côté, - on le soustrait on l'ajoute + il divise en bas il multiplie en haut

10 Exemples Activités Z Comment résoudre une équation ? - 2x + 4 3 9 9 3
2𝑥+1=6𝑥−7 5𝑥−4=2𝑥+5 2𝑥−6𝑥=−7−1 5𝑥……=5……… - 2x + 4 −4𝑥=−8 3 …𝑥=… 9 𝑥= −8 −4 9 =2 𝑥= … … 3 4 5 𝑥+4= −9 10 𝑥–13 𝑥=…… 3 8 3 𝑥+4= 7 3 𝑥–12 4 5 𝑥 𝑥=–13−4 8 3 𝑥………=−12…… − 7 3 𝑥 8 10 𝑥 𝑥=–17 - 4 … … 𝑥=… 1 17 10 𝑥=–17 - 16 3 𝑥= −17×10 17 𝑥=……×…=…… - 16 3 - 48 =−10

11 Activité 2.1 a. Donner la troncature et l’arrondi au dixième des nombres suivants : 5,1 7,9 4,1 35,9 78 5,1 8 4,2 35,9 78,1 1 9 8,2 9 4 1 9 8,2 9 4,1

12 Activité 2.1 b. Donner la troncature et l’arrondi au centième des nombres suivants : 5,12 7,98 4,18 35,92 78,09 5,12 7,99 4,18 35,93 78,1 1 9 8,24 9,04 4,09 1,01 9 8,25 9,04 4,09

13 Activité 2.2 a. Entourer parmi ces nombres tous ceux dont la troncature au dixième est 5,3 b. Placer les 10 nombres du a. sur cet axe gradué : 5,2 5,3 5,4 5,25 5,35 5,253 5,342 5,405 5,19 5,248 5,24 5,31 5,33 5,38 5,42 d. Soit x un nombre dont la troncature au dixième est 5,3. Quelle condition (sous la forme d’un encadrement) doit vérifier x ? c. Repasser en couleur la zone dans laquelle la troncature au dixième de tous les nombres est 5,3. …… x < …… 5,3 ≤ 5,4 e. Quelle est l’amplitude de cet encadrement ? 5,4 – 5,3 = 0,1 f. En déduire l’encadrement de x dans chaque cas : 6,7 6,8 3,24 3,25 7,192 7,193

14 Activité 2. 3 a. Entourer parmi ces nombres tous ceux dont l'arrondi au dixième est 5,3 b. Placer les 10 nombres du a. sur cet axe gradué : 5,2 5,3 5,4 5,25 5,35 5,253 5,342 5,405 5,19 5,253 5,24 5,31 5,33 5,38 5,42 d. Soit x un nombre dont l'arrondi au dixième est 5,3. Quelle condition (sous la forme d’un encadrement) doit vérifier x ? c. Repasser en couleur la zone dans laquelle l'arrondi au dixième de tous les nombres est 5,3. …… x < …… ≤ 5,25 5,35 e. Quelle est l’amplitude de cet encadrement ? 5,35 – 5,25 = 0,1 f. En déduire l’encadrement de x dans chaque cas : 6,65 6,75 3,235 3,245 7,1915 7,1925

15 III. Ordre et comparaisons. a. Encadrements (exemples) :
3,5  x  3,6 signifie que x est compris entre 3,5 et 3,6 inclus. 3,5 et 3,6 sont les bornes de l’encadrement. 3,6 – 3,5 = 0,1 0,1 est l’amplitude de l’encadrement. b. Comparaison : Comparer deux nombres revient à étudier le signe de leur différence. « a – b > 0 » signifie que «  a > b » « a – b = 0 » signifie que «  a = b » « a – b < 0 » signifie que «  a < b » c. Opérations : Les nombres « a + b » et « a + c » sont dans le même ordre que b et c. Exemples : x > 3 x + 6 < -7 x + 7 > x + 6 – 6 < -7 – 6 x + 7 > 10 x < -13 Lorsque a est strictement positif (a>0), les nombres « a  b » et « a  c » sont dans le même ordre que b et c. x > 3 3x < -7 2  x > 2  3  x <  (-7) 2x > 6 x <

16 Les nombres « a + b » et « a + c » sont dans le même ordre que b et c.
c. Opérations : Les nombres « a + b » et « a + c » sont dans le même ordre que b et c. Exemples : x > 3 x + 6 < -7 x + 7 > 3 + 7 x + 6 – 6 < -7 – 6 x < -13 x + 7 > 10 les nombres « a  b » et « a  c » sont dans le même ordre que Lorsque a est strictement positif (a>0), b et c. Est-ce toujours vrai ? Exemples : x > 3 3x < -7  3x <  (-7) 𝟏 𝟑 2  x > 2  3 2x > 6 x < −7 3