Exercice 11 : Résoudre 2 - x > x + 1.

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1 Exercice 11 : Résoudre x > x + 1

2 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si 2 - x ≥ 0 - x ≥ - 2 x ≤ 2
donc x est dans E = ] - ∞ ; 2 ].

3 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si 2 - x ≥ 0 - x ≥ - 2 x ≤ 2
donc x est dans E = ] - ∞ ; 2 ]. 1er cas : x + 1 est un positif. x + 1 ≥ x ≥ - 1 donc x est dans Scas1 = [ - 1 ; + ∞ [.

4 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si 2 - x ≥ 0 - x ≥ - 2 x ≤ 2
donc x est dans E = ] - ∞ ; 2 ]. 1er cas : x + 1 est un positif. x + 1 ≥ x ≥ - 1 donc x est dans Scas1 = [ - 1 ; + ∞ [. La fonction carré est strictement croissante sur les positifs, donc [√( 2 - x )]² > [x + 1]²

5 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si 2 - x ≥ 0 - x ≥ - 2 x ≤ 2
donc x est dans E = ] - ∞ ; 2 ]. 1er cas : x + 1 est un positif. x + 1 ≥ x ≥ - 1 donc x est dans Scas1 = [ - 1 ; + ∞ [. La fonction carré est strictement croissante sur les positifs, donc [√( 2 - x )]² > [x + 1]² 2 - x > x² + 2x x² - 3x + 1 > 0

6 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si 2 - x ≥ 0 - x ≥ - 2 x ≤ 2
donc x est dans E = ] - ∞ ; 2 ]. 1er cas : x + 1 est un positif. x + 1 ≥ x ≥ - 1 donc x est dans Scas1 = [ - 1 ; + ∞ [. La racine est un positif. La fonction carré est strictement croissante sur les positifs, donc [√( 2 - x )]² > [x + 1]² 2 - x > x² + 2x x² - 3x + 1 > 0 Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4(-1)(1) = 13 > 0 donc deux racines x1 = [ - b + √Δ]/(2a) = [ - (-3) + √13 ]/(2(-1)) ≈ - 3,30… et x2 = [ - b - √Δ]/(2a) = [ - (-3) - √13 ]/(2(-1)) ≈ 0,30… et le polynôme est du signe de a = - 1 < 0 à l’extérieur des racines. On veut que le polynôme soit > 0, donc x est dans Sdernière inéquation = ] x1 ; x2 [ ≈ ] - 3,30… ; 0,30… [

7 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si x est dans E = ] - ∞ ; 2 ].
1er cas : x est dans Scas1 = [ - 1 ; + ∞ [. x est dans S1 = ] x1 ; x2 [ ≈ ] - 3,30… ; 0,30… [ -1 - 3, ,

8 2 - x > x + 1 S1 = E inter Scas1 inter Sder inéq = [ - 1 ; [
L’énoncé n’existe que si x est dans E = ] - ∞ ; 2 ]. 1er cas : x est dans Scas1 = [ - 1 ; + ∞ [. x est dans S1 = ] x1 ; x2 [ ≈ ] - 3,30… ; 0,30… [ -1 - 3, , -3+√13 S1 = E inter Scas1 inter Sder inéq = [ - 1 ; [ 2

9 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si x est dans E = ] - ∞ ; 2 ].
2ème cas : x + 1 est un négatif x + 1 ≤ x ≤ - 1 donc x est dans Scas2 = ] - ∞ ; - 1 ].

10 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si x est dans E = ] - ∞ ; 2 ].
2ème cas : x + 1 est un négatif x + 1 ≤ x ≤ - 1 donc x est dans Scas2 = ] - ∞ ; - 1 ]. La racine est un positif, x + 1 est un négatif, un positif est toujours supérieur à un négatif. Sdernière inéquation = R

11 2 - x > x + 1 L’énoncé n’existe que si x est dans E = ] - ∞ ; 2 ].
2ème cas : x + 1 est un négatif x + 1 ≤ x ≤ - 1 donc x est dans Scas2 = ] - ∞ ; - 1 ]. La racine est un positif, x + 1 est un négatif, un positif est toujours supérieur à un négatif Sdernière inéquation = R S2 = E inter Scas2 inter Sder inéq = ] - ∞ ; - 1 ]

12 2 - x > x + 1 = ] - ∞ ; (-3+√13)/2 [
L’énoncé n’existe que si x est dans E = ] - ∞ ; 2 ]. 2ème cas : x + 1 est un négatif x + 1 ≤ x ≤ - 1 donc x est dans Scas2 = ] - ∞ ; - 1 ]. La racine est un positif, x + 1 est un négatif, un positif est toujours supérieur à un négatif Sdernière inéquation = R S2 = E inter Scas2 inter Sder inéq = ] - ∞ ; - 1 ] Réponse : S = S1 U S2 = [ - 1 ; (-3+√13)/2 [ U ] - ∞ ; - 1 ] = ] - ∞ ; (-3+√13)/2 [

13 Exercice 12 : Résoudre x < 3 - x

14 2x + 1 < 3 - x L’énoncé n’existe que si 2x + 1 ≥ 0 x ≥ - ½
donc x est dans E = [ - ½ ; + ∞ [. 1er cas : 3 – x est un positif. 3 – x ≥ x ≥ x ≤ 3 donc x est dans Scas1 = ] - ∞ ; 3 ]. La racine est un positif. La fonction carré est strictement croissante sur les positifs, donc [√( 2x + 1 )]² < [3 – x]² 2x + 1 < 9 – 6x + x² x² + 8x – 8 < 0 Δ = b² - 4ac = (8)² - 4(-1)(-8) = 32 = (4√2)² Δ > 0 donc deux racines [ - b + √Δ]/(2a) = [ √2 ]/(2(-1)) = 4 - 2√2 ≈ 1,17… et [ - b - √Δ]/(2a) = 4 + 2√2 ≈ 6,82… et le polynôme est du signe de a = - 1 < 0 à l’extérieur des racines. On veut que le polynôme soit < 0, donc x est dans Sdernière inéquation = ] - ∞ ; 4 - 2√2 [ U ] 4 + 2√2 ; + ∞ [

15 2x + 1 < 3 - x ≈ ] - ∞ ; 1,17 [ U ] 6,82 ; + ∞ [
L’énoncé n’existe que si x est dans E = [ - ½ ; + ∞ [. 1er cas : x est dans Scas1 = ] - ∞ ; 3 ]. x est dans S1 = ] - ∞ ; 4 - 2√2 [ U ] 4 + 2√2 ; + ∞ [ ≈ ] - ∞ ; 1,17 [ U ] 6,82 ; + ∞ [ 3 - ½ , ,82

16 2x + 1 < 3 - x ≈ ] - ∞ ; 1,17 [ U ] 6,82 ; + ∞ [
L’énoncé n’existe que si x est dans E = [ - ½ ; + ∞ [. 1er cas : x est dans Scas1 = ] - ∞ ; 3 ]. x est dans Sder inéq = ] - ∞ ; 4 - 2√2 [ U ] 4 + 2√2 ; + ∞ [ ≈ ] - ∞ ; 1,17 [ U ] 6,82 ; + ∞ [ 3 - ½ , ,82 S1 = E inter Scas1 inter Sder inéq = [ - ½ ; 4 - 2√2 [

17 2x + 1 < 3 - x L’énoncé n’existe que si 2x + 1 ≥ 0 x ≥ - ½
donc x est dans E = [ - ½ ; + ∞ [. 2ème cas : 3 – x est un négatif 3 – x ≤ x ≤ x ≥ 3 donc x est dans Scas2 = [ 3 ; + ∞ [. La racine est un positif, 3 – x est un négatif, un positif n’est jamais inférieur à un négatif. Sdernière inéquation = Ø S2 = E inter Scas2 inter Sder inéq = Ø

18 2x + 1 < 3 - x Réponse : S = S1 U S2 = [ - ½ ; 4 - 2√2 [
L’énoncé n’existe que si x est dans E = [ - ½ ; + ∞ [. 2ème cas : 3 – x est un négatif 3 – x ≤ x ≤ x ≥ 3 donc x est dans Scas2 = [ 3 ; + ∞ [. La racine est un positif, 3 – x est un négatif, un positif n’est jamais inférieur à un négatif. Sdernière inéquation = Ø S2 = E inter Scas2 inter Sder inéq = Ø Réponse : S = S1 U S2 = [ - ½ ; 4 - 2√2 [