Concepts avancés en mathématiques et informatique appliquées

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1 Concepts avancés en mathématiques et informatique appliquées
MAP-6014

2 Amélioration des images par filtrage spectral
Lissage d’images (élimination du bruit) Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image) Filtrage spectral: FFT et OpenCV Transformée par ondelettes Filtre de Gabor

3 Filtrage spectral Fondements Transformée de Fourier (TF)
Série de Fourier (synthèse du signal d’une onde carrée 1-D) Transformée de Fourier (représentation du signal dans le domaine spectral) Transformée de Fourier (TF) Propriétés utiles

4 Série de Fourier (synthèse du signal d’une onde carrée 1-D)
Fig. 377 et 378 [rf. N.PISKOUNOV, Calcul différentiel et intégral, p ]

5 Série de Fourier (synthèse d’un signal 1-D)
+ + +

6 Transformée de Fourier (représentation du signal dans le domaine spectral)
Spatial 1 2 3 -1 -2 -3 Spectral

7 Transformée de Fourier (représentation du 
signal dans le domaine spectral: signaux stationnaires)

8 Transformée de Fourier (représentation du 
signal dans le domaine spectral: signaux stationnaires)

9 Transformée de Fourier (représentation du 
signal dans le domaine spectral: signaux non-stationnaires)

10 Transformée de Fourier (TF)
où x, y : coordonnées spatiales u, n : coordonnées spectrales

11 Transformée de Fourier (TF)
La transformée de Fourier d’une gaussienne Nous multiplions le membre de droite par

12 Transformée de Fourier (TF)
F(u) devient alors

13 Propriétés IMPORTANTES de la transformée de Fourier

14 Définitions de la transformée de Fourier

15 Définitions de la transformée de Fourier

16 Propriétés de la transformée de Fourier

17 Propriétés de la transformée de Fourier

18 Propriétés (translation) de la transformée de Fourier

19 Propriétés (rotation) de la transformée de Fourier

20 Transformée de Fourier de la gaussienne
CAS CONTINU CAS DISCRET

21 Transformée de Fourier de la gaussienne

22 Transformée de Fourier de la gaussienne
Forme générale du filtre gaussien spectral

23 Lissage d’images (élimination du bruit)
OTF PSF Profil d’une ligne nc ® cutoff frequency nc nc FIGURE 1-12 [rf. SCHOWENGERDT, p. 26]

24 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

25 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
H ( u, n) H ( u, n) 1 D ( u, n) D0 n u (a) Tracé en perspective de la fonction de transformation d’un filtre passe-bas idéal (b) section transversale du filtre. Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

26 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

27 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

28 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

29 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
H ( u, n) H ( u, n) 1 0.5 D ( u, n) D0 1 2 3 u n (a) Un filtre passe-bas de Butterworth (b) section radiale transversale pour n = 1. Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

30 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

31 Filtre spectral PASSE-BAS (PB)
Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

32 Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image)
Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)

33 Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)
H ( u, n) H ( u, n) 1 D ( u, n) D0 u n Tracé en perspective et section radiale transversale du filtre passe-haut idéal. Figure 4.37 [rf. GONZALEZ, p. 212]

34 Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)
H ( u, n) H ( u, n) 1 0.5 D ( u, n) D0 1 2 3 u n Tracé en perspective et section radiale transversale du filtre passe-haut Butterworth pour n = 1. Figure 4.38 [rf. GONZALEZ, p. 213]

35 Filtre spectral gaussien PB/PH
Figure 4.38 [rf. GONZALEZ, p. 213]

36 Filtrage spectral: FFT et OpenCV
Voir les utilitaires de la transformée de Fourier dans le répertoire fourier sur le site ftp. Voir plus spécifiquement les fichiers: fourier.c procFourier.c

37 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (fourier.c)

38 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (procFourier.c)

39 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

40 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

41 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

42 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

43 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

44 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

45 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

46 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

47 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

48 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

49 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

50 Filtrage spectral: FFT et OpenCV (dftFiltSpec.c)

51 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Détails grossiers VS fins)

52 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform)
Fonctionnelles de base mise à l’échelle et translatées

53 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform)
Transformation discrète par ondelettes directe et inverse

54 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform)
Transformation discrète par ondelettes directe et inverse

55 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: fast wavelet transform)
Sachant que les fonctions 2D d’échelle  et d’ondelette  sont séparables Leurs formes digitales 1D h() et h() peuvent être appliquées (par convolution) aux rangées et colonnes d’une image et ce indépendamment h() peut être déduite de h() par: order-reversed modulated of h

56 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: processus de décomposition)
Détails diagonaux (passe-haut) Détails verticaux (passe-haut) Détails horizontaux (passe-haut) Approximation (passe-bas)

57 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: processus de décomposition)

58 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: processus de recomposition)

59 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (FWT: processus de recomposition)

60 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (décomposition à 3 niveaux)

61 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Forme des filtres)
Coefficients du filtre de Daubechies du 4ième ordre Filtres de décomposition h(-n) et h(-n) Filtres de recomposition h(n) et h(n) (forme inverse)

62 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Forme des filtres)
Coefficients du filtre de Daubechies du 4ième ordre

63 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution

64 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution (Détection des arêtes et contours)
Élimination des coefficients de l’image d’approximation (passe-bas) Élimination des coefficients de l’image des détails Verticaux aux deux résolutions

65 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution
Image MRI Image reconstruite après suppression de détails

66 Transformation par ondelettes: Analyse multirésolution

67 Filtre de Gabor Le filtre de Gabor découle de la multiplication d’une fonction cosinus (forme symétrique) et d’une gaussienne Le filtre de Gabor sert à détecter des régions de contenu fréquentiel et d’orientation donnée dans une image Lors du processus de convolution, le filtre de Gabor répond fortement dans les régions contenant certaines fréquences et orientation

68 Filtre de Gabor Image originale, avec l’image résultant de l’application du filtre de Gabor pour différentes fréquences (2) et orientations (2)

69 Résumé Amélioration des images par filtrage spectral Filtrage spectral
Lissage d’images (élimination du bruit) Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image) Filtrage spectral: FFT et OpenCV Transformation par ondelettes Filtre de Gabor