Lois de probabilités Intervalle de fluctuation

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1 Lois de probabilités Intervalle de fluctuation
Jeudi 18 Avril 2013 PARTIE 2 : Intervalle de Fluctuation – Intervalle de Confiance

2 Formation Probabilités et Statistiques
Intervalle de fluctuation – Intervalle de confiance Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance

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1 – Intervalle de fluctuation - Intervalle de confiance On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ou si l’on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d’un échantillon). La fréquence f observée dans un échantillon « doit » appartenir à l’intervalle de fluctuation considéré. On utilise un intervalle de confiance lorsque l’on veut estimer une proportion inconnue p dans une population à partir de la fréquence f observée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d’un sondage). À retenir Intervalle de fluctuation d’une fréquence Intervalle de confiance d’une proportion

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Prudence avec les manuels : On peut y trouver des confusions (Indice Seconde Bordas)

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1 – Intervalle de fluctuation - Intervalle de confiance La notion d’intervalle de fluctuation est un "fil rouge" des programmes de lycée. Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance dans les programmes (résumé) : Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance Seconde Sensibilisation Première Avec la loi binomiale xxx Terminale Conditions sur n et p : En seconde : En terminale :

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2 – Intervalle de fluctuation Dans le sens commun (sondages par exemple), un échantillon est un sous-ensemble obtenu par prélèvement aléatoire dans une population. 2 – 1 Intervalle de fluctuation en seconde En seconde, un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience. La fréquence f des individus possédant le caractère dans l’échantillon varie d’un échantillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Les fluctuations diminuent lorsque la taille des échantillons augmente.

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2 – 1 Intervalle de fluctuation en seconde Définition Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : centré autour de p (proportion du caractère dans la population), il contient, avec une probabilité (environ) égale à 0,95, la fréquence observée dans un échantillon de taille n. Il existe, pour un même seuil, plusieurs intervalles de fluctuation. On peut vérifier que, pour une même valeur de p, ces intervalles sont de plus en plus proches lorsque n augmente.

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2 – 2 Intervalle de fluctuation – Loi Binomiale(Première) L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire, d’une variable aléatoire X de loi B(n ; p) est l’intervalle : défini par : a est le plus petit entier tel que ; b est le plus petit entier tel que . Pour on observe que l’intervalle de fluctuation est sensiblement le même que celui proposé en seconde.

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2 – 2 Intervalle de fluctuation – Loi Binomiale(Première) L’intervalle de fluctuation vu en première est certes exact mais présente un défaut majeur : Pas de formule donnant ses extrémités en fonction de n et de p ! Il faut donc le déterminer au cas par cas, soit à l’aide d’un tableur, soit à l’aide d’un algorithme. Cela peut s’avérer très long lorsque n est grand et l’espérance np aussi. De plus, absence de formule à inverser pour obtenir un intervalle de confiance.

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2 – 3 Intervalle de fluctuation en terminale On détermine un intervalle de fluctuation au seuil de de la loi normale N( 0 ; 1 ). On rappelle que : (programme de TS) Théorème : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N(0;1) alors, pour tout réel , il existe un unique réel tel que : Deux valeurs particulières :

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2 – 3 Intervalle de fluctuation en terminale Fn = variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence d’apparition du caractère dans cet échantillon. intervalle de fluctuation = asymptotique au seuil de Fn. Il contient Fn avec une probabilité d’autant plus proche de que n est grand. En terminale ES/L, STI2D, STL, STMG :

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2 – 3 Intervalle de fluctuation en terminale Lien avec l’intervalle de fluctuation de seconde D’après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taille n fournissent une fréquence f appartenant à l’intervalle : En seconde, on majore par 1( majoration de 1,96 par 2 et de p(1-p) par ¼); l’intervalle contient le précédent.

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2 – 4 Plusieurs intervalles de fluctuation Soit X une variable aléatoire suivant une loi et un réel dans l’intervalle ]0;1[. Dans le cadre général, tout intervalle [a;b] tel que: peut-être considéré comme un intervalle de fluctuation au seuil de Ainsi l’intervalle [0;n] est un intervalle de fluctuation au seuil 1 mais il est de toute évidence sans intérêt.

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2 – 4 Plusieurs intervalles de fluctuation Exemple : Intervalle de fluctuation au seuil de 95% de . Amplitude minimale: [22;39] de probabilité 0,9502. Le plus petit intervalle centré autour de l’espérance np (centré sur 30) comme dans le théorème de Moivre-Laplace : (valable sous certaines conditions) [21;39] de probabilité 0,9625. Celui qui symétrise avec une probabilité inférieure à 0,025 que X soit à gauche et inférieure à 0,025 que X soit à droite de l’intervalle(1ère). [21;39] de probabilité 0,9625. Celui de seconde (valable sous certaines conditions) [20;40] de probabilité 0,9710.

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3 – Prise de décision En fonction de l’appartenance ou non de f à l’intervalle de fluctuation à 0,95 que l’on a déterminé, on prend une décision concernant la conformité de l’échantillon : si f n’appartient pas à l’intervalle, on rejette, au risque d’erreur de 5 %, l’hypothèse que l’échantillon soit compatible avec le modèle ; dans le cas contraire, on ne peut pas rejeter l’hypothèse.

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3 –1 Prise de décision : un exemple en seconde Une pièce de monnaie supposée bien équilibrée amène « PILE » avec une probabilité de p= 0,5. On la lance 500 fois et on calcule la fréquence de « PILE » sur l’échantillon obtenu Conditions : Intervalle de fluctuation : La fréquence f de « PILE » fournie par un échantillon de taille 500 appartient à l’intervalle de fluctuation I avec une probabilité environ égale à 0,95. Fréquence de « PILE » associées à 200 échantillons:

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3 – Prise de décision : un exemple en première On se demande si un dé est truqué. On le lance 90 fois et on obtient une fréquence d’apparition de la face 6. Que devons-nous conclure ?

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3 – 2 Prise de décision : un exemple en première En utilisant un tableur ( B(90;1/6) ), on lit a = 8 et b = 22. L’intervalle de fluctuation à 95% est est à l’extérieur de cet intervalle. On va donc rejeter l’hypothèse « le dé n’est pas truqué » au risque d’erreur de 5%.

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3 – 2 Prise de décision : un exemple en première Intervalle de fluctuation Zone de rejet

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3 – 3 Prise de décision : un exemple en terminale Un joueur qui doit choisir au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes obtient certains avantages s’il découvre un roi. On constate qu’il a retourné 11 fois un roi sur 50 essais. Peut-on présumer, au risque de 5%, que ce joueur soit un tricheur ? n=50 1/8

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3 – 3 Prise de décision : un exemple en terminale En seconde : Les conditions de terminale sont satisfaites mais pas celles de seconde. p n’est pas compris entre 0,2 et 0,8. En terminale : Ici : n=50 et On rejette l’hypothèse au risque de 5%

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3-4 Exemple 2 sur les intervalles de fluctuation En France 105 garçons pour 100 filles à la naissance En Chine: 120 garçons pour 100 filles à la naissance Peut-on deviner la nationalité de chacun des deux médecins ci-contre?

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3-4 Exemple 2 sur les intervalles de fluctuation En classe de seconde : France Probabilité d'un garçon à la naissance Échantillon de taille : Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : Chine Probabilité d'un garçon à la naissance Échantillon de taille : Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : Cas de la maternité Fréquence de garçons observée f = 0,44 Au seuil de 95 % non étonnant pour la France / étonnant pour la Chine.

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3-4 Exemple 2 sur les intervalles de fluctuation En classe de première: Hypothèse 44 garçons pour 100 naissance n'est pas étonnant, tant en France qu’en Chine. Objectif accepter ou non cette hypothèse, au seuil de 95%. Définition des variables aléatoires France X = nombre de garçons sur 100 naissances, avec une probabilité de 105/205 Chine X = nombre de garçons sur 100 naissances, avec une probabilité de 120/220 Définition Soit un échantillon de taille n, et X la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p). Soit F=X/n la fréquence de réalisation de X L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de F est l'intervalle 1=[a/n, b/n] avec : a est le plus petit entier tel que b est le plus petit entier tel que

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3-4 Exemple 2 sur les intervalles de fluctuation En classe de première:

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3-4 Exemple 2 sur les intervalles de fluctuation En classe de première:

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3-4 Exemple 2 sur les intervalles de fluctuation En classe de terminale : Conditions: suit ; alors converge en probabilité vers Y, de loi N(0,1). En pratique pour : , Y remplace . Au seuil de 95% pour la loi normale : . Correspond à : . Dans notre cas : La fréquence d’apparition d’un garçon appartient à l’intervalle : France : [0,414;0,610] Chine : [0,448;0,643] .

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3 – 5 Résumé sur les intervalles de fluctuation connu : probabilité p, taille de l’ échantillon n but : estimer une fréquence f à partir d’une probabilité construire un intervalle à l’aide de la probabilité p • centré • contenant les fréquences observées à 95% (0, 95 est appelé le seuil ; parfois avec appelé le risque)

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5 – Intervalle de confiance Estimation d’une proportion inconnue p grâce à un échantillon aléatoire. Soit f la fréquence observée dans un échantillon de taille n. On peut faire une estimation ponctuelle en posant p = f . Cette estimation varie d’un échantillon à l’autre du fait de la fluctuation d’échantillonnage. Mieux : On cherche un intervalle de confiance de la proportion p (c’est-à-dire un intervalle contenant « très vraisemblablement » p) à partir de la fréquence f .

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5 – Intervalle de confiance Pour déterminer algébriquement les bornes de l'intervalle de confiance, il faudrait « inverser »l'intervalle de fluctuation : c'est à dire résoudre les équations : d'inconnue p et de paramètres f et n. Les formules obtenues étant inutilisables, on va utiliser l'intervalle de fluctuation simplifié vu en seconde.

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5 – Intervalle de confiance Si et si et , un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0,95 est . Parmi tous les échantillons de taille n possibles, 95 % des intervalles associés contiennent p. Une fois l’échantillon tiré, l’intervalle de confiance associé est entièrement fixé, il n’y a plus d’aléatoire à ce stade. Il est donc incorrect de dire que p a une probabilité 0,95 d’appartenir à cet intervalle (p est inconnu mais pas aléatoire). On dira en revanche « intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau 0,95 »

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5 – En résumé sur les intervalles de confiance connu : fréquence f, taille de l’ échantillon n but : estimer une probabilité p à partir d’observations construire un intervalle à l’aide de la fréquence f contenant la probabilité ou la proportion inconnue p à 95% (avec un niveau de confiance de 95%)

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6 – Exemple 1 sur les intervalles de confiance Un fabricant de feux d’artifices souhaite contrôler la qualité de sa production : il en déclenche 250 choisis au hasard. 89 % fonctionnent correctement. Que peut-on en conclure sur la qualité de la production ? 250 0,89

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6 – Exemple 1 sur les intervalles de confiance L’intervalle est l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 pour la proportion p. p est dans l’intervalle avec un niveau de confiance de 0,95. Avec un niveau de confiance de 95%, on peut dire que la proportion de fusées qui fonctionnent est comprise entre 83 % et 95%.

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6 – Exemple 2 : Sondages électoraux B. Obama a obtenu, en 2008, 55 % des suffrages. Simulation de sondages de taille 1 000